2023-2024学年河北省邢台市五岳联盟高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省邢台市五岳联盟高二上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．椭圆的短轴长是（ ）
A．7B．14C．9D．18
【答案】B
【分析】根据椭圆的方程确定，即可求得答案.
【详解】由于椭圆方程为，设椭圆短半轴长为b，
而，所以，则，
故椭圆的短轴长是，
故选：B
2．若方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解.
【详解】因为方程表示一个圆，所以，解得．
故选：B
3．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一般方程求出斜率,再结合斜率和倾斜角的关系求倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，所以
又，所以，故直线的倾斜角为．
故选：A.
4．若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据离心率的范围计算a的范围即可.
【详解】由题意得，得．
故选：C.
5．若，，，则点A到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得，，再根据点线距离的向量公式即可求解.
【详解】，，则在上的投影向量的模为，
则点A到直线的距离为．
故选：A.
6．过直线上一点P作圆C：的切线，Q为切点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据相切可得，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】因为圆C的圆心到直线的距离，
所以，
当时，此时，所以的最小值为，
故的取值范围是．
故选：C
7．已知双曲线的右焦点为，过作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为（第一象限），并与双曲线交于点，若，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知，可知，再结合双曲线的定义，得，在中用余弦定理可知，又，整理可得，可得的斜率.
【详解】由已知直线的方程为，即，点，
则，
因为，所以为线段的中点，
则，
设双曲线的左焦点为，
则，
在中，
，
又，
所以，
故的斜率为，
故选：B.
8．已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．108D．117
【答案】A
【分析】将转化为动点到，两点距离之和，再结合直线的对称问题，即可解决距离和的最小值.
【详解】∵
∴该式表示直线l：上一点到，两点距离之和的最小值．
易知P，Q两点在l的同一侧，
设点P关于l对称的点，
则，解得，∴，
故．
故选：A.
二、多选题
9．已知是双曲线的上焦点，点在上，则（ ）
A．B．C．的最小值为2D．的最小值为4
【答案】AC
【分析】根据双曲线的简单几何性质即可求解.
【详解】由可得，所以，得，A正确，B错误，
当为上顶点时，此时的最小值为．C正确，D错误，
故选：AC
10．在同一直角坐标系中，直线l：与曲线C：的位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】分，，，，分别进行判断说明.
【详解】若，则曲线C表示坐标原点为圆心，1为半径的圆，并且l与C相交于，两点，A符合；
若，则曲线C表示焦点在轴上的椭圆，直线l过点，该点在椭圆内部，此时l与C相交，B符合；
若，则曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，没有符合的选项．
当时，，表示两条直线，当时，曲线C表示双曲线，
若，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，直线l经过第一、二、四象限，且l经过曲线C的右顶点，D符合．
故选：ABD.
11．已知，分别是椭圆E：的左、右焦点，P是椭圆E上一点，且，，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆E的离心率为
B．椭圆E的离心率为
C．
D．若内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10
【答案】ACD
【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到，从而判断AB，由即可判断C，结合内切圆的半径为2即可得到，从而判断D.
【详解】由，，解得，，则
，整理得，
即，则（舍去）或，故椭圆E的离心率为．A正确，B不正确；
由，得，则，故．C正确．
由，内切圆的半径为2，得．因为，所以，即椭圆E的焦距为10．D正确．
故选：ACD
12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层是正四棱柱，下层底面是边长为4的正方形，在底面的投影分别为的中点，若，则下列结论正确的有（ ）
A．该几何体的表面积为
B．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．点到平面的距离为
【答案】ACD
【分析】根据垂直关系可求解三角形的边长，结合面积公式即可求解A，根据外接球的性质，结合体积公式即可求解B，建立空间直角坐标系，根据向量法即可求解夹角和距离，进而可判断CD.
【详解】设在平面的投影分别为的中点，
由于，，所以到平面的距离为,
由于上、下两层等高，所以到平面的距离为2，
又，
由于,所以,
所以≌,
同理可得≌≌≌，≌≌≌，
则点B到FG的距离为，
则的面积为，的面积为．
故该几何体的表面积．A正确．
将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上，且均在球面上，设球心到下底面的距离为x，
由于四边形为边长为的正方形，四边形为边长为4的正方形，则其对角线长度分别为4，，
则，解得，则该球体的半径为，体积为．B不正确．
以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，
，平面的一个法向量为，
则，设直线与平面所成角为，
则
故直线与平面所成角的正弦值为．C正确．
设平面的法向量为，则，令，
得，则点到平面的距离为．D正确．
故选：ACD
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
三、填空题
13．已知点N是点在坐标平面内的射影，则 ．
【答案】5
【分析】由题可知，，从而可得，再根据模长公式即可求解.
【详解】由题可知，，则，．
故答案为：.
14．已知菱形的四个顶点是椭圆的四个顶点，则菱形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据菱形面积是对角线乘积再结合长轴长和短轴长计算即可.
【详解】
菱形的面积为．
故答案为: .
15．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程： ．
【答案】（答案不唯一，只要方程满足即可）
【分析】求出圆的圆心和半径，利用两圆外切即可求出一个圆C的标准方程.
【详解】由题意，
在中，圆心，半径，
因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆C与圆M：外切，
设半径为，则圆心
所以圆C的方程为．
∴一个圆C的标准方程：
故答案为：.
16．3D打印是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D打印的双曲线塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）上底直径为6cm，下底直径为10cm，高为20cm，则喉部（最细处）的直径为 cm.
【答案】/
【分析】根据题意得到，，然后根据双曲线的标准方程和离心率列方程得到，然后求该塔筒的喉部直径即可.
【详解】
双曲塔筒的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，设A与B分别为上、下底面对应点.
由题意可知cm，cm，cm.
设，则.
设双曲线的方程为，
因为双曲线的离心率为，所以，
方程可化简为（*），
将A和B的坐标代入（*）式可得，解得，
所以，故该塔筒的喉部直径为cm.
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线：与：．
(1)当时，求直线与的交点坐标；
(2)若，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，得到：，：，再联立求解；
（2）根据，由求解.
【详解】（1）解：因为，
所以：，：．
联立方程组，
解得，
故直线与的交点坐标为．
（2）因为，
所以，解得或．
当时，与重合，不符合题意．
当时，与不重合，符合题意．
故．
18．已知点，圆．
(1)判断点与圆的位置关系，并说明理由．
(2)若，过点的直线与圆交于两点，且，求的斜率．
【答案】(1)点在圆外，理由见解析
(2)或
【分析】（1）根据点和圆心的距离大于半径得出点在圆外；
（2）先设直线再计算点到直线距离即可求参.
【详解】（1）点在圆外．
由题意得圆的半径为2，圆心为．
因为，所以点在圆外．
（2）由题意得，设直线，即．
因为，所以圆心到的距离为，
则，得或．
19．已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，利用，得出的坐标，在利用P在圆C：上，即可求出M的轨迹方程.
（2）利用点差法求出直线AB，再联立直线和椭圆方程，利用弦长公式即可求解.
【详解】（1）设，则，
因为，则，
因为P在圆C上，所以，
故E的方程为．
（2）设，，
若A，B是E上两点，则，
两式相减得，即．
因为线段AB的中点坐标为，所以，
所以，则直线AB的方程为．
联立方程组，整理得，其中，
则，，
．
20．如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．

(1)求该圆弧所在圆的方程；
(2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）
【答案】(1)
(2)4辆
【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可圆弧所在圆的方程；
（2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量.
【详解】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，
设该圆的半径为r米，则，解得，
故该圆弧所在圆的方程为．
（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则，
解得．
若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车．
综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．
21．如图，在斜三棱柱中，是边长为的等边三角形，，分别为，的中点，且．
(1)证明：．
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明面，从而可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面与平面夹角的余弦值，从而求解.
【详解】（1）证明：因为是等边三角形，为的中点，所以：．
又，所以：．
因为，，且平面，
所以：平面．
又平面，所以：．
（2）取靠近点的四等分点，连接，，易证：，
所以得：，且．
由，得．
因为，所以，即，
所以得：平面.
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
则，．
设平面的一个法向量为，
则：
令，得：，，所以得：.
由题意及图可知，是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则得：.
故答案为：.
22．如图，已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，是E上一点．
(1)求E的方程．
(2)过直线l：上任意一点T作直线，与E的左、右两支相交于A，B两点，直线关于直线l对称的直线为（与不重合），与E的左、右两支相交于C，D两点．证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点以及点在双曲线上，列方程即可求解，
（2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，进而根据弦长公式求解，，，，即可得三角形相似，进而可求证.
【详解】（1）由题可知，解得，，
则E的方程为．
（2）证明：设，显然直线的斜率存在且不等于0，
设的方程为，则直线的方程，
设，，，．
联立方程组，
整理得．
，
则，．
同理可得，，
，，，，
则
，
同理可得，则，
则，则，即．
【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．