2023-2024学年河南省驻马店市驻马店高级中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省驻马店市驻马店高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．过两点的直线的倾斜角是135°，则等于（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【分析】根据直线的斜率概念，结合斜率的定义和斜率公式，即可求解.
【详解】因为斜率，所以，得.
故选：D.
2．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．内切C．外切D．外离
【答案】C
【分析】根据两圆的方程确定圆心坐标和半径，判断圆心距离和两圆半径的关系，即可知圆的位置关系.
【详解】由题设，，，
∴，；，，
∴，故两圆相切.
故选：C
3．设，若直线与直线平行，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.
【详解】时，容易验证两直线不平行，当时，根据两直线平行的条件可知：，解得或.
故选：C.
4．已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x,0,y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是（ ）
A．(－1，0，2)B．(1，0，2)
C．(1，0，－2)D．(－1，0，－2)
【答案】A
【分析】由题意可得，，的坐标，再由PA⊥平面ABC，得，，即有，，由两向量垂直数量积为0，列出方程求解即可.
【详解】解：由题意可得，，，
又因为PA⊥平面ABC，
，平面ABC，
所以，，
即，，
所以，
即，解得，
所以点P的坐标.
故选：A.
5．已知焦点在x轴上的椭圆的方程为，随着a的增大该椭圆的形状
A．越扁B．越接近于圆C．先接近于圆后越扁D．先越扁后接近于圆
【答案】B
【分析】首先根据椭圆成立的条件求出的取值范围，进一步利用函数的单调性求出椭圆的离心率的变化规律，最后确定结果．
【详解】解：依题意有解得，椭圆的离心率，令，容易判断在上单调递减，则，于是，当a越来越大时，e越来越趋近于0，椭圆越来越接近于圆.
故选：B
【点睛】本题考查的知识要点：椭圆成立的条件，椭圆中、、的关系及函数的性质的应用．属于中档题．
6．已知空间向量，，下列结论不正确的是（ ）
A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数
B．，夹角的余弦值为
C．
D．在上的投影向量为
【答案】C
【分析】对于A，利用的方向向量为平面的法向量共线,即可判断；对于B，利用向量的数量积公式计算即可；对于C，计算出，利用模长公式计算；对于D ，利用在上的投影向量为计算即可.
【详解】对于A，因为，所以，则，解得，故A正确；
对于B，因为，，
所以，，设与的夹角为，
则，故B正确；
对于C，，，故C错误；
对于D，在上的投影向量为，
故D正确．
故选：C．
7．材料一：已知三角形三边长分别为，则三角形的面积为，其中.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apllnius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知中，，则面积的最大值为（ ）
A．6B．10C．12D．2
【答案】C
【分析】用材料一：根据海伦-秦九韶公式化简得，再利用基本不等式求最值.
用材料二：写出椭圆方程，根据（为到的距离），可知当点位于短轴的顶点时，可取到面积的最大值，通过计算即可求解.
【详解】用材料一：根据海伦-秦九韶公式，，其中，
由题意，可知，，，且，
故，
当且仅当，即时取等号.
用材料二：以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴，
由椭圆的定义易知，椭圆方程为，
所以面积（为到的距离），，
可知当点位于短轴的顶点时，取到最大值为4，
所以，
当且仅当时取等号.
故选：C.
8．动直线与抛物线：相交于两点，为坐标原点，若，则的最大值为（ ）
A．B．8C．16D．24
【答案】C
【分析】由题可得点是的中点，进而可得，然后通过换元，利用二次函数的性质即得．
【详解】由题可得，
∴，即点是的中点，
故，
∴，
设，则，
令，则，其对称轴为，
当时，，
.
故选：C．
二、多选题
9．已知直线，则（ ）
A．在轴上的截距为2B．
C．的交点坐标为D．之间的距离为
【答案】BC
【分析】选项A：令，求在轴上的截距；
选项B：根据直线垂直对应系数关系求解；
选项C：解方程组求解；
选项D：根据两平行线间距离求解；
【详解】令 ，易得在轴上的截距为，A错误．
由，得，B正确．
由得所以的交点坐标为，C正确．
易得，则之间的距离为，D错误．
故选：BC.
10．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．直线的方向向量，平面的法向量是，则；
B．若非零向量满足，则有；
C．若是空间的一组基底，且，则四点共面；
D．若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底；
【答案】CD
【分析】利用空间向量基底的概念与向量和向量间的位置关系逐项判断即可．
【详解】对于A：因为，所以，又因为为直线的方向向量，为平面的法向量，所以，故A错误；
对于B：若非零向量满足，则和的关系不确定，故B错误；
对于C：若，，是空间的一组基底，且，则，即,可得A，B，C，D四点共面，故C正确；
对于D：因为，，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使，所以向量，，也是空间一组基底，故D正确，
故选：CD．
11．已知曲线C的方程为，则（ ）
A．当时，曲线C为圆
B．当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
C．当时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
D．不存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为
【答案】ABD
【分析】根据给定的方程，利用选项中的条件计算判断A，B，C；否定结论，导出矛盾判断D作答.
【详解】在曲线C的方程中，且，
对于A，当时，曲线C的方程为，曲线C是原点为圆心，为半径的圆，A正确；
对于B，当时，曲线C的方程为，曲线C是双曲线，其渐近线方程为，B正确；
对于C，由选项B知，当时，曲线C：是双曲线，C不正确；
对于D，假定存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为，
则有，且，显然无解，
所以不存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为，D正确.
故选：ABD
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的面积的最大值为
B．以线段为直径的圆与直线相切
C．恒成立
D．若，，为一个直角三角形的三个顶点，则点P的纵坐标为
【答案】BCD
【分析】对A，根据面积表达式得到点位于上下顶点时三角形面积最大，对B，利用几何法即可判断直线与圆的关系，对C，设，写出向量数量积的表达式即可判断，对D，分类讨论即可.
【详解】对A，，则，
由图得，
显然当点位于椭圆上下顶点时，的面积的最大值，最大值为，故A错误；
对B，以线段为直径的圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，故直线与圆相切，故B正确；
对C，设，则，且，则，
，，
则
，故C正确；
对D，由C选项知，
则，则，
若，令，则有，解得，
同理若，令，则有，解得，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．若直线被圆截得的线段长为2，则实数 .
【答案】
【分析】根据点到直线的距离公式及弦长公式即得.
【详解】由，可知圆心为，半径为3，又直线，
所以圆心到直线的距离为，
所以，
解得，即.
故答案为：.
14．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，写出对应点坐标，利用空间向量的数量积计算即可.
【详解】
不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴
建立空间直角坐标系，则，
则，.
故答案为：.
15．设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上不同的三点，若，为坐标原点，则 .
【答案】14
【分析】解：设，，，根据，得到，再利用抛物线的定义求解.
【详解】解：设，，，
易知，，
则，，.
因为，所以，
即.
由抛物线的定义可得，，，
所以.
故答案为：14
16．如图，分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为

【答案】
【分析】根据椭圆的定义及直径所对的圆周角等于，利用勾股定理及锐角三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式及斜率的定义即可求解.
【详解】连接，如图所示

设则，
由椭圆的定义得
所以
在中，,
所以,即，整理得，
所以，
所以直线的斜率为.
故答案为：.
四、解答题
17．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，设，，．

(1)用，，表示；
(2)求AC1的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由空间向量加法法则得，由此能求出结果．
（2）由即可求出AC1的长．
【详解】（1）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
，，，
．
（2）AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
．
.
AC1的长||.
18．已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点到渐近线的距离为，点为双曲线右支上一动点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)利用给定条件可得，再利用焦点到渐近线距离求出c即可计算作答.
(2)由(1)可得，求出，的坐标，再用数量积的坐标运算结合二次函数性质计算作答.
【详解】（1）因双曲线的渐近线，则，
而右焦点到的距离为，则，解得：，又，于是得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）由(1)知，，，，，
则，
所以当时．取得最小值为.
19．已知圆：和：.
(1)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长；
(2)求过点且与圆相切的直线方程.
【答案】(1)圆和圆的公共弦所在直线的方程为：，弦长为.
(2)或
【分析】(1)将两圆作差可得公共弦方程，再利用垂径定理即可求解公共弦长；
(2)当直线斜率不存在时符合题意，当直线斜率存在时，设其方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】（1）由题意可知：将两圆方程相减可得：，
也即，故圆和圆的公共弦所在直线的方程为，
圆：可化为，
圆心坐标，半径，
由点到直线的距离公式可得：
到公共弦的距离，
由垂径定理可知：公共弦长，
（2）由（1）知：圆： ，
圆心坐标，半径，
过点作圆的切线方程，当切线斜率不存在时，切线方程为；
当切线斜率存在时，设切线方程为，也即，
由点到直线的距离公式可得：，
解得：，所以此时切线方程为：，
综上：过点且与圆相切的直线方程为或.
20．直线交抛物线于、两点，线段中点的横坐标为，抛物线的焦点到轴的距离为.
(1)求抛物线方程；
(2)设抛物线与轴交于点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的焦点到轴的距离求出的值，即可得出抛物线的方程；
（2）分析可知，将直线与抛物线的方程联立，根据求出的取值范围，根据线段中点的横坐标为求出的值，列出韦达定理，利用弦长公式可求得的值，求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）解：抛物线的焦点为，
因为抛物线的焦点到轴的距离为，则，可得，
所以，抛物线的方程为.
（2）解：若，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，则，
设点、，联立，可得，
，解得，
因为线段中点的横坐标为，则，整理可得，
又因为，解得，
易知抛物线交轴于点，则有，可得，
由韦达定理可得，，
由弦长公式可得，
原点到直线的距离为，
所以，.
21．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，点是的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的性质定理得，再根据勾股定理得，从而利用线面垂直的判定定理得平面，从而利用面面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据线面角的定义及正弦值求得边长，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面所成角的余弦值.
【详解】（1）平面平面，.
，由且是直角梯形，
，
即，.
平面平面，平面.
平面，平面平面.
（2）平面平面，.
又，平面平面，平面，
即为直线与平面所成角.
，，则，
取的中点，连接，以点为坐标原点，
分别以为轴､轴､轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
设为平面的法向量，则，
令，得，得，
设为平面的法向量，
则，令，则，得.
.
平面与平面所成角的余弦值的余弦值为.
22．椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程．
(2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点M在定直线上
【分析】（1）根据左右顶点及点在椭圆上列式求解写书椭圆方程即可；
（2）先设直线方程再联立方程组求韦达定理，再求两个直线的交点，确定交点横坐标即得.
【详解】（1）设椭圆E的方程为．
则，解得，
故椭圆E的方程为．
（2）依题可设直线l的方程为，，，．
联立方程组，整理得，
则，
直线AP的方程为，直线BQ的方程为，
联立方程组，得
由，得，得．
所以.
故点M在定直线上．