2023-2024学年黑龙江省大庆市大庆实验中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省大庆市大庆实验中学高二上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.
【详解】，即
整理得
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得 ，解之得
故选：B
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据倾斜角和斜率的关系求解.
【详解】由已知得，
故直线斜率
由于倾斜的范围是，
则倾斜角为.
故选：B.
3．椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用点差法计算即可求得结果.
【详解】设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，
代入椭圆得，
两式相减得，
即，
即，又
即，
即，
∴弦所在的直线的斜率为，
故选：C.
4．湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假期间两草原供游客休闲旅游，记事件“只去甲草原”，事件“至少去一个草原”，事件“至多去一个草原”，事件“不去甲草原”，事件“一个草原也不去”.下列命题正确的是（ ）
A．E与G是互斥事件；B．F与I是互斥事件，且是对立事件；
C．F与G是互斥事件；D．G与I是互斥事件.
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可；
【详解】依题意基本事件有“去甲草原”、“去乙草原”、 “一个草原也不去”、 “去甲、乙草原”共四个，
事件“至少去一个草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、 “去甲、乙草原”三个基本事件；
事件“至多去一个草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、 “一个草原也不去”三个基本事件；
事件“不去甲草原”包含“去乙草原”、 “一个草原也不去”两个基本事件；
对于A，事件，有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，事件与不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；
对于C，事件与有可能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于D，事件与有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误.
故选：B
5．已知，则圆与直线的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
【答案】B
【分析】由题意，可判断直线恒过定点，而此点在圆的内部，故可得直线与圆的位置关系.
【详解】，
直线转化为，
所以直线恒过定点，
由，所以点在圆内，
故直线与圆相交.
故选：B.
6．已知向量与的夹角为60°，，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】由求解.
【详解】解：因为向量与的夹角为60°，且，，
所以
，
即，
即，
解得或（舍去），
故选：A
7．点到直线的距离为1，且直线与圆相切，若这样的有四条，则的取值范围是（ ）
A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，5）
【答案】C
【分析】直线到点的距离为1等价于直线与圆相切，问题转化为两圆公切线有四条，两圆外离.
【详解】由直线到点的距离为1，所以直线与圆相切，
直线与圆，圆都相切且这样的有四条，
所以圆与圆外离，圆心距大于半径之和，
即，解得，
故选：C.
8．甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．36种
【答案】C
【分析】对该问题进行分类，分成以下情况①3人到队伍检测，②2人到队伍检测，③1人到队伍检测，④0人到队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.
【详解】先进行分类：①3人到队伍检测，考虑三人在队的排队顺序，此时有种方案；
②2人到队伍检测，同样要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
③1人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
④0人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种.
故选：C
二、多选题
9．如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．不存在点Q，使得
B．存在点Q，使得
C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D．对于任意点Q，都是钝角三角形
【答案】ABC
【分析】证明直线与是异面直线判断A，当与重合时，可判断BD，设（），计算出的面积的最大值和最小值后从而可得Q到的距离的最小值和最大值，从而判断C．
【详解】由平面，平面，，平面，∴直线与是异面直线，A正确；
平面，平面，则，又，与是平面内两相交直线，所以平面，又平面，所以，即当与重合时，，B正确，此时是直角三角形，D错；
设（），，，，
，
，
所以，
，
所以时，，或1时，，所以的最大值是，最小值是，
记到的距离为，，因此的最大值是，的最小值是，C正确．
故选：ABC．

10．已知直线：，其中，下列说法正确的是（ ）.
A．若直线与直线平行，则
B．当时，直线与直线不垂直
C．当时，直线在两坐标轴上的截距不相等
D．直线过定点
【答案】CD
【分析】根据直线的平行关系可求得，判断A；利用直线斜率与垂直的关系判断B；求出直线在坐标轴上的截距判断C；求出直线所过定点判断D.
【详解】对于A，直线与直线平行，则，即，
解得或，A错误；
对于B，当时，直线：为，
直线与斜率之积为-1，此时直线与直线垂直，B错误；
对于C，当时，：为，
直线在轴上截距为-1，在轴上截距为1，二者不相等，C正确；
对于D，：即，
由于，令，则，即直线过定点，D正确
故选：CD
11．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B．若直线：，：，则“”是“”的充分不必要条件
C．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．直线必过定点
【答案】BC
【分析】利用直线的方向向量和平面法向量的定义，两直线垂直的性质，空间向量基本定理，直线恒过定点的解法依次判断即可.
【详解】对于选项,由已知得，则，
即直线或者，故选项错误；
对于选项,若直线，则两直线的斜率之积为，即，
解得或，所以“”“”，即“”是“”的充分不必要件，
故选项正确；
对于选项,由空间向量基本定理得三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，若两个非零向量不共线，则存在向量使得与这两个向量不共面，此时这三个向量可成为空间的一个基底，由此可知，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故选项正确；
对于选项,直线必过定点,故选项错误；
故选：.
12．方程（，不全为零），下列说法中正确的是（ ）
A．当时为圆
B．当时不可能为直线
C．当方程为圆时，，满足
D．当方程为直线时，直线方程
【答案】ACD
【分析】对于A、B、D可直接代值确定，对于C，展开化简，根据圆的方程的特点判断.
【详解】对于A，由题可得 或，代入得或，都是圆，故A对；对于B，当时，化简得是直线，故B错；对于C，原式可化为，要表示圆，则必有，故C对；对于D，只有时，方程表示直线，故D对.
故选：ACD.
三、填空题
13．圆心在直线上，并且经过圆与圆交点的圆的方程为 ．
【答案】
【分析】利用圆系方程求解.
【详解】设经过两圆交点的圆的方程为，即，圆心坐标为，将其代入直线解得．所以圆的方程为．
故答案为：
14．圆：与圆：的公切线条数为 .
【答案】3
【分析】将两圆的公切线条数问题转化为圆与圆的位置关系，然后由两圆心之间的距离与两半径之间的关系判断即可.
【详解】圆：，圆心，半径；
圆：，圆心，半径.
因为，所以两圆外切，所以两圆的公切线条数为3.
故答案为：3
15．过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】由题知、，进而求解方程即可.
【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，
所以直线的方程为.
故答案为：
16．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点与两定点的距离之比为(，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点为圆上的动点，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】首先进行转化，假设存在这样的点，使得，则，设点，可得，该圆对照，所以，求得点，再由，即可得解.
【详解】
假设存在这样的点，使得，则，设点，则，
即，
该圆对照，所以，所以点，
所以.
故答案为：
四、解答题
17．已知圆与圆
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据圆与圆圆心距与两半径关系证明；
（2）两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程；
（3）设出经过两圆交点的圆系方程，圆心坐标代入所在直线即可求解.
【详解】（1）圆，圆心坐标为，半径，
圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径，
圆心距，，所以圆与圆相交.
（2）两圆方程相减，得，所以两圆公共弦所在直线的方程为.
（3）设所求圆的方程为，即，圆心坐标为，代入直线可得，解得，所求圆的方程为
18．（1）求两条平行直线与间的距离；
（2）若直线与直线垂直，求的值.
【答案】（1）1;（2）
【分析】（1）利用两平行直线间的距离公式直接求解；
（2）根据两直线垂直的性质即可.
【详解】（1）根据平行线间的距离公式,得.
（2）由题意可知，
因为两直线垂直，所以，解得或（舍去），
经检验时，两直线垂直，满足题意.
19．三角形的顶点，边上的中线所在直线为，A的平分线所在直线为．
(1)求A的坐标和直线的方程；
(2)若P为直线上的动点，，，求取得最小值时点P的坐标．
【答案】(1)，直线的方程为
(2)
【分析】（1）设点A坐标并表示中点D坐标，由点在直线方程建立方程求解即可得A，利用角平分线的性质可得点B关于直线的对称点，从而求方程；
（2）由两点之间的距离公式结合二次函数求最值计算即可.
【详解】（1）由题意可设，则，由直线，的方程可知：
，即，
设点B关于直线的对称点，
则中点坐标为，，
依题意有，解之得，即，
易知在直线上，故由两点式可得，化简得；

（2）由（1）所得方程，不妨设，
则，
由二次函数的性质可知当，上式取得最小值，此时.
20．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.
（1）求乙至多击中目标2次的概率；
（2）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
【答案】（1）；（2）
【详解】分析：（1）根据对立事件的概率公式，即可求解乙至多击中目标次的概率；
（2）设甲恰好比乙多击中目标次为事件，分为甲恰击中目次且乙恰好击中目标次为事件，甲恰击中目标次且乙击中目标 次为事件，即可求解其概率；
详解：（1）乙至多击中目标2次的概率为.
（2）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲恰击中目标2次且乙恰好击中目标0
次为事件，甲恰击中目标3次且乙击中目标1次为事件，则，、为
互斥事件，.
点睛：本题考查了概率的求解，其中解答中涉及到独立重复试验的概率，以及互斥事件的概率的加法公式，对于次独立重复试验，一是在每次试验中事件发生的概率是否均为；二是概率的计算公式表示在独立重复试验中，事件恰好发生次的概率.
21．已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程：
(2)若过点的直线m被圆C截得的弦长为，求直线m的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）利用几何法联立直线刚才得圆心，即可求解，
（2）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以线段的中点坐标为，
直线的斜率，
因此线段的垂直平分线方程是，即.
圆心的坐标是方程组的解.解得，
所以圆心的坐标.
圆的半径长
所以圆心为的圆的标准方程是；
（2）因为直线被圆截得的弦长为，
所以圆到直线的距离.
①当直线的斜率不存在时，，符合题意.
②当直线的斜率存在时，设，
即.
所以，解得
.
直线的方程为或
22．已知函数，
(1)设，讨论函数在上的单调性
(2)证明：对任意的，有
【答案】(1)在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）求的导数，在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（2）令，，即证，由第二问结论可知在上单调递增，即得证．
【详解】（1）因为，所以，
所以
设，所以
因为，所以，所以在上单调递增
又因为，所以，，所以
所以在上单调递增
（2）设=
所以=
又因为在上单调递增，，所以，
所以，所以，故
所以在上单调递增，所以，
而
所以对于，.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题：在本题中通过作差构造函数，通过求函数的最值证得结果；