2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】的准线方程为.
【详解】的准线方程为.
故选：D.
2．直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可.
【详解】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为，
则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.
故选：B.
3．直线＝的倾斜角＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．
【详解】∵直线的斜率为，
由斜率和倾斜角的关系可得，
又∵
∴＝，
故选：A.
4．已知双曲线C过点且渐近线为，则双曲线C的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由渐近线方程可设双曲线的方程为，代入点，可得双曲线的方程.
【详解】由，可得，可设双曲线的方程为，
又双曲线经过点，
可得，即，所以双曲线的方程为，
故选：A.
5．已知圆的弦的中点坐标为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出圆心的坐标，设的中点为，由垂径定理可得，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，
设的中点为，由垂径定理可知，
所以直线的斜率为，
所以直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即.
故选：B.
6．已知直线l和抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，且，交AB于点D，点D的坐标为，则p的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】由垂直关系得出直线l方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理以及数量积公式得出p的值.
【详解】，，即
联立直线和抛物线方程得
设，则
解得
故选：B
7．若椭圆的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】记椭圆的焦距为，根据题中条件，得到，进而可求出离心率.
【详解】记椭圆的焦距为，
因为椭圆的短轴长是焦距的2倍，
所以，即，所以，即，即，所以，
因此椭圆的离心率为.
故选：B.
8．已知，为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若为内切圆上一动点，当的最大值为4时，的内切圆半径为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据切线的性质及双曲线的定义，确定M的横坐标，即得出圆心的横坐标，利用圆的几何性质知的最大值即为，即可求解.
【详解】设的内切圆分别与，切于N，B，与切于M，如图，
则,
又点在双曲线右支上，
所以，
故，而，
设M的坐标为，可得: ，
解得，
设内切圆半径为，则内切圆圆心为，
则的最大值为，即，
解得.
故选：C
二、多选题
9．设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】分别在和求得旋转后倾斜角即可.
【详解】直线倾斜角的取值范围为，
当时，旋转后得到的倾斜角为：；
当时，旋转后得到的倾斜角为：.
故选：AC.
10．已知曲线：，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则曲线表示双曲线
B．曲线可能表示一个圆
C．若曲线是椭圆，则其长轴长为
D．若，则曲线中过焦点的最短弦长为
【答案】AD
【分析】由双曲线方程特征知A正确；
假设曲线表示圆，可得所需方程，由方程无解知B错误；
由曲线表示椭圆可确定，进而得到长轴长，知C错误；
由椭圆过焦点最短弦为通径，由通径长为可知D正确.
【详解】对于A，，，，满足双曲线方程，A正确；
对于B，若曲线表示圆，则，方程无解，则曲线不能表示圆，B错误；
对于C，恒成立，若曲线表示椭圆，则，则长轴长为，C错误；
对于D，若，则，则过焦点的最短弦为通径，通径长为，D正确.
故选：AD.
11．已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由题可得，即可得出，进而表示出离心率即可得出答案.
【详解】因为的焦点重合，所以，即，所以，故A正确；
则，故C正确.
故选：AC.
12．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为y=±2xB．双曲线C的方程为
C．为定值D．存在点P，使得+=2
【答案】BCD
【解析】根据双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为和抛物线的准线过双曲线的左焦点，分别求得a，b，验证选项A，B.然后根据斜率公式和点p的坐标，验证选项C，D.
【详解】因为双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为，
所以，，渐近线方程为，故A错误；
又，则，所以双曲线方程为，故B正确；
因为，设，则，故C正确；
，因为点P在第一象限，渐近线方程为，所以，则 ，所以，所以存在点P，使得+=2，故正确；
故选：BCD
三、填空题
13．过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，若线段中点的纵坐标为，则线段的长度为 .
【答案】
【分析】利用抛物线的焦点弦长公式可求得的值.
【详解】设点、，则，所以，.
故答案为：.
14．已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则 .
【答案】3或7/7或3
【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离范围进行求解即可
【详解】由双曲线定义知：，而，即
3或7.
又点在该双曲线上时要满足：或者
所以或.
故答案为：3或7
15．已知点，直线，动圆过点且与直线相切，其圆心的轨迹为曲线，上的动点到轴的距离为到直线的距离为，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由点到点的距离等于点到直线的距离求出曲线的方程，当共线时， 取最小值，求出点到直线的距离，结合抛物线的定义得出，求解得出答案.
【详解】设动圆的圆心为
依题意可知，点到点的距离等于点到直线的距离
则，两边平方化简得
即点的轨迹为抛物线，方程为
由抛物线的定义可知
点到直线的距离为
（当且仅当共线时取等号）
即的最小值为
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由距离公式得出曲线的方程，进而结合抛物线的性质求出最小值.
16．已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线OA（O为坐标原点）与抛物线C的准线相交于点D，则△面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】令：，，根据已知条件求坐标且可得轴，由，进而用参数k表示，再得到△面积关于k的函数式，应用换元法、导数求面积最小值.
【详解】由题设，直线斜率不为0，令：，联立抛物线，
∴，不妨设，
∴，，又抛物线准线方程为，直线，
∴，又，则，
∴，即轴，
综上，，，
而，则，
由，则，
∴，令，
∴，令，则，
当时，，则递增；当时，，则递减；
∴，故最小值为，此时(由对称性最小值也成立).
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：设直线及交点坐标，联立抛物线，结合直线与准线、抛物线交点求证轴，根据，进而得到面积关于参数的函数式，应用导数求其最小值.
四、解答题
17．双曲线（，）的离心率，且过点.
(1)求a，b的值；
(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据已知条件建立关于a、b、c的方程组可解；
（2）巧设与已知双曲线同渐近线的双曲线方程为可得.
【详解】（1）因为离心率，所以.
又因为点在双曲线C上，所以.
联立上述方程，解得，，即，.
（2）设所求双曲线的方程为，
由双曲线经过点，得，即.
所以双曲线的方程为，其标准方程为.
18．已知圆，直线．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）判断直线l与圆C的位置关系；
（3）当时，求直线l被圆C截得的弦长．
【答案】（1）证明见解析；（2）点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）；（3）.
【分析】（1）将直线方程整理为关于参数m的方程，可令求解，即可证结论.
（2）由（1）所得定点，根据定点到圆心距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系；
（3）由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l被圆C截得的弦长．
【详解】（1）证明：直线l的方程可化为，又，
∴，解得，
∴直线l恒过定点．
（2）圆心，，
∴点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）．
（3）当时，直线l的方程为，圆心到直线l的距离．
∴此时直线l被圆C截得的弦长为．
19．已知直线恒过定点且分别交轴､轴的正半轴于两点.
(1)求过定点且与直线垂直的直线的方程；
(2)求当面积最小时，直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知直线确定其所过定点，再由垂直关系确定斜率，应用点斜式写出所求直线；
（2）设直线的方程为，应用基本不等式及面积公式求最小面积对应参数值，即可得直线方程.
【详解】（1）直线，则，
由，得，故直线恒过定点.
又直线与直线垂直，故，
所以直线的方程为，即.
（2）设直线的方程为，则，
又，即，当且仅当时取等号，.
当面积最小时，直线的方程为，即.
20．如图，是过抛物线焦点F的弦，M是的中点，是抛物线的准线，为垂足，点N坐标为.
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积（O为坐标系原点）.
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）由已知得准线方程为：，由此可求得抛物线的方程；
（2）设，代入抛物线的方程作差得，再由M是的中点，求得，由此求得直线的方程，与抛物线的方程联立可求得弦长AB，由三角形的面积公式可求得答案.
【详解】（1）解：点在准线上，所以准线方程为：，
则，解得，所以抛物线的方程为：；
（2）解：设，由在抛物线上，
所以，则，
又，所以点M纵坐标为是的中点，所以，
所以，即，又知焦点F坐标为，则直线的方程为：，
联立抛物线的方程，得，解得或，所以，
所以.
21．已知过的直线l与圆O：相交于不同两点A，B，且点A，B在x轴下方，点.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)证明：；
(3)求三角形ABN面积的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）故设直线l的方程为，联立方程，根据结合得到答案.
（2）设，则，计算，得到证明.
（3）设，根据根与系数的关系计算，设，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1）由题知，故设直线l的方程为，
，故，，
即，故直线l的斜率k的取值范围为.
（2）设，则，
，故.
（3）设，则由（1）知，，
∴
，
设，，则，
，当且仅当，即，时取等号，
故三角形ABN面积的最大值为.
22．已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.
【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为，
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是．
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.