2023-2024学年湖南省名校联合体高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省名校联合体高二上学期期中数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数，则的虚部是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用除法运算求出，根据复数的概念可得结果.
【详解】因为，所以的虚部是1.
故选：B
2．等差数列中，，则的前2023项和为（ ）
A．1011B．2022C．4046D．8092
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质和前项和公式，即可求解.
【详解】数列是等差数列，故，故.
故选：C
3．设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据充分不必要条件可确定两个集合的真包含关系，从而通过解不等式组即得.
【详解】若是的充分不必要条件，且等号不同时成立，解得.
故选：A.
4．下列说法正确的是（ ）
A．过，两点的直线方程为
B．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为
C．点关于直线的对称点为
D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
【答案】D
【分析】根据直线方程的形式，结合直线的截距，对称的定义，即可判断选项.
【详解】对于A，当或时，不存在选项中的两点式直线方程，故A错误；
对于B，当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，故B不正确；
对于C，设点关于直线的对称点为，则，
解得，即点关于直线的对称点为，故C错误；
对于D，直线在轴上的截距为4，在轴上的截距为，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故D正确.
故选：D
5．溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算这种苏打水的值．（精确到 0.001）（参考数据：）（ ）
A．8.699B．8.301C．7.699D．6.602
【答案】B
【分析】直接利用所给公式计算求解即可．
【详解】由题意得苏打水的为
．
故选：B
6．已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．9B．12C．16D．25
【答案】D
【分析】将不等式恒成立问题，转化为利用基本不等式求最值问题.
【详解】，
当且仅当，即，时，等号成立.
因不等式恒成立，只需，
因此，故实数的最大值为25.
故选：D
7．已知函数（），则（ ）
A．存在实数，使函数没有零点
B．当时，对，都有成立
C．当时，方程有4个不同的实数根
D．当时，方程有2个不同的实数根
【答案】C
【分析】作出函数和的图象，然后讨论m可判断A和B；
令得，，然后将，作为函数值 的零点个数即可判断C；方程的根的个数等价于与的交点个数，作出图象即可判断，则D可求.
【详解】对于A：作出函数和的图象（如图所示），
当时，函数只有1个零点，
当时，函数有2个零点，
当时，函数只有1个零点，故A错误；
对于B：当，都有成立时，则函数单调递增，
而时，函数先增后减再增，
当时，函数不是增函数，B错误；
对于C：时，令得，，
当时，方程有两个解，当时，方程有两个解，
所以方程有4个不同的实数根，故C正确；
对于D：当时，方程的根为的根，令，
作出，的图象，可得函数与有三个交点，其中包括，即方程有三个根.
\
故选：C.
8．已知双曲线（，）的上下焦点分别为，，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的值可能为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据题意画出草图，结合草图找到不等关系，再利用双曲线的离心率公式化简求范围.
【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，
设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，
所以，即的最小值为，
因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故选：A.
二、多选题
9．某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ）
A．该校高一学生总数为
B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为
C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多80
D．用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人
【答案】AC
【分析】根据政史地人数和占比可确定A正确；计算出物化生的人数后即可确定B错误；分别计算选考历史和物理的人数，则知C正确；确定生史地组合人数占比后，根据分层抽样原则可知D错误.
【详解】对于A，选科为政史地的人数为人，占比为，
该校高一学生共有人，A正确；
对于B，选科为物化生的人数为人，
选科为物化政的人数为，B错误；
对于C，选考历史的人数有人，选考物理的人数有人，
选考物理的人数比选考历史的人数多，C正确；
对于D，选科为生史地的学生人数占比为，
采用分层抽样抽取人，生史地组合应抽取人，D错误.
故选：AC.
10．圆和圆的交点为，，则（ ）
A．公共弦所在直线的方程为
B．线段中垂线方程为
C．公共弦的长为
D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
【答案】AB
【分析】两圆方程相减即可得公共弦的方程，则A可判断；求出其中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程，则B可判断；求出其中一个圆的圆心到直线AB的距离，则公共弦AB的长可求；利用点到直线的距离公式求圆心到的距离，加上半径即为最大值.
【详解】对于选项A，因为圆，，
两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确；
对于选项B，圆的圆心为，，
则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为，整理可得，故B正确；
对于选项C，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以，故C不正确；
对于选项D，为圆上一动点，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D错误.
故选：AB.
11．已知，，为同一平面内的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则（ ）
A．与的夹角B．
C．D．
【答案】AD
【分析】先由题意求出，再对四个选项一一验证：
对于A：利用夹角公式求出与的夹角；对于 B：直接判断；
对于C：直接求出即可判断；对于D：直接求出，即可判断.
【详解】因为,所以.
设，因为与的夹角为锐角，所以.
所以，所以x>0.
因为，，为位向量,所以.
又所以.
所以，又,所以
即，解得：.
所以.
对于A：
设与的夹角为,为锐角.
则，所以.故A正确；
对于 B：由A的推导可知：.故B错误；
对于C：因为，
所以
故C错误；
对于D：因为，
所以
.
故D正确.
故选：AD
12．如图，已知点是棱长为2的正方体的底面内（包含边界）一个动点，下列说法正确的是（ ）
A．过、、三点的平面截正方体所得的截面图形为三角形或四边形
B．当点到、、三点的距离相等时，三棱锥的外接球的表面积为
C．若点到直线的距离与点到的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分
D．若点到点的距离是点到的距离的两倍，则点的轨迹的长度为
【答案】ABC
【分析】对于A项，通过作出不同位置的截面即得；对于B项，需要构建空间图形，利用勾股定理求解；
对于C项，结合条件，运用抛物线定义即可判断；对于D项，建立平面直角坐标系，求出轨迹方程即可求得.
【详解】对于A选项，若点为点（或点），则截面为三角形，若为其它点则为四边形，故A项正确；
对于B选项，如图，满足条件的点P为中点，设中点为，外接球球心为，半径为，
可知三点共线，在 中，，解得：，
则外接球的表面积为，故B项正确；
对于C选项，点到直线的距离与点到的距离相等，即点到的距离等于点到直线点的距离，
所以点的轨迹为抛物线的一部分，故C项正确；
对于D选项，由可知点P满足阿氏圆，故点P的轨迹为一段圆弧，圆弧半径为，圆心角为，
圆弧长为，故D项错误.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：本题主要考查立体图形的应用，属于中档题.常见的解决方法有：
（1）截面法：运用空间图形的相关性质作截面；
（2）建模法：求几何体的外接球问题时，经常建模或者构建图形；
（3）定义法：求轨迹问题时，常常用到圆和圆锥曲线的定义；
（4）解析法：求轨迹问题时，常常需要建立直角坐标系，然后求得轨迹方程来解题.
三、填空题
13．已知，则 .
【答案】/
【分析】利用余弦的二倍角公式结合已知条件直接求解即可.
【详解】因为，
所以
，
故答案为：
14．已知函数的定义域为，且函数为奇函数，若，则 .
【答案】
【分析】由函数为奇函数，对进行赋值即可得到答案.
【详解】已知函数为奇函数，则，
即，
又，则.
又，，
故.
故答案为：.
15．已知动直线与圆相交于点、，点为直线上的动点，则的最小值为 .
【答案】2
【分析】圆心到动直线距离为定值，可求得动点的轨迹，转化为圆外一点到圆上一点的最小距离问题.
【详解】圆心到动直线距离为定值，所以设线段的中点为，则，，点在以为圆心，为半径的圆上，
因为，
则，
因为，所以，所以
当直线时，，
.
故答案为：2
16．已知为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且，点为点在直线上的射影，则点到直线的距离的最大值为 .
【答案】8
【分析】设直线方程，联立直线与抛物线方程，得到，，由得，从而求出直线方程，分和两种情况进行求解即可.
【详解】由题可知直线斜率存在，设直线，，，
联立方程：，整理得：，，
，.
，
得或（舍）.故直线，
当时，点，点到直线的距离为；
当时，直线，又直线，消去整理得：，
即此时点的轨迹方程为，（或者利用直线过定点结合，得出点的轨迹为以为直径的圆），
点到直线距离的最大值为，
综合可知点到直线的距离的最大值为8.
故答案为：8.
四、解答题
17．等差数列满足，，前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件列方程组求出，，从而可求出其通项公式；
（2）由通项公式可知数列有前7项和最大，从而可求得结果.
【详解】（1）设首项为，公差为，
因为等差数列满足，，
所以，解得，
所以；
（2）因为当时，，当时，，
所以的最大值为，
因为，
所以.
18．的内角，，的对边分别为，，，为中点，设.
(1)求；
(2)若的面积等于，求的周长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角差的正弦公式计算可得；
（2）由面积公式求出，利用基本不等式求出的最小值，利用余弦定理及基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】（1）因为.
由正弦定理与诱导公式可得.
显然，所以，所以，
∵，所以，∴.
（2）依题意，即，∴，
所以，当且仅当时取等号，
又由余弦定理得，
∴，当且仅当时取等号，
所以的周长最小值为.
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，
点为棱上的点，且.

(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）运用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）利用证明线面垂直，建立空间直角坐标系，分别求得相关点的坐标，
计算直线的方向向量和平面的法向量，运用空间向量线面夹角公式即可求得.
【详解】（1）由为矩形可知：，又因为，，
，平面，所以平面，又，
所以面，又面，故.
（2）由（1）可知，，，所以，在中，
，所以；
又，，，面，所以面；
故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）.

则，，，，，
又在中，，则，，，.
设面的法向量，则即故，
设直线与面所成角为，则.
故直线与平面所成角的正弦值为：
20．某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求，的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的第65百分位数（分位数精确到0.1）；
(3)在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图的频率的性质即各组频率为相应矩形面积，列式计算，即可求得答案；
（2）确定面试成绩的65%分位数的范围，计算各矩形面积和的65%处对应的数值即为所求；
（3）确定两组各抽取的人数，采用列举法列出选出2人的所有可能情况，再列出这2人来自同一组的情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，所以；
（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第65百分位数在65和75之间，
即为；
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有，，，，，，，，，共有10种情况，
其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共6种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为.
21．函数和的图象关于原点对称，且.
(1)求函数的解析式；
(2)解不等式；
(3)若在上是增函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据对称关系直接求解；
（2）分类讨论解不等式；
（3）利用二次函数的性质分类讨论求解.
【详解】（1）设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，
则即.
∵点在函数的图象上，∴，即，
故.
（2）由，可得，
当时，，此时不等式无解.
当时，，解得.
因此，原不等式的解集为.
（3），
①当时，在上是增函数，∴.
②当时，对称轴的方程为.
(i)当时，，解得.
(ii)当时，，解得.
综上，.
22．在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点（在轴上方），
且.设点在轴上的射影为， 的面积为1（如图1）.
(1)求椭圆的方程；
(2)设平行于的直线与椭圆相交，其弦的中点为.
①求证：直线的斜率为定值；
②设直线与椭圆相交于两点（在轴上方），点为椭圆上异于一点，
直线交于点，交于点，如图2，求证：为定值.
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②证明见解析.
【分析】（1）运用椭圆的对称性将三角形面积转化求出点P的坐标，继而利用条件求出的值，代入点的坐标求出的值，即得方程；
（2）①通过设直线方程与椭圆方程联立，借助于韦达定理和弦的中点公式即得点Q坐标；②由直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，设点P，写出直线和直线的方程，与椭圆方程联立求出点坐标，计算,经化简即得为定值.
【详解】（1）由题意，可设,由椭圆的对称性可得，
所以由解得：，故，即；
又椭圆经过点，即，解得；
故所求椭圆的方程为：.
（2）证明：设平行于的直线方程为，则，
①联立消去可得：，因点Q为弦的中点，
故点Q的横坐标为：，纵坐标为：，
于是，直线的斜率为（定值）.
②由题意可知，，，
联立方程组解得：，.
设点，先考虑直线斜率都存在的情形：直线，
联立方程组：，解得：，
直线，联立方程组：，
解得：，
则，
，
所以

而
故（定值）
再考虑直线的斜率不存在时，有直线
由可得：
直线，
由可得：
于是，
从而，
最后考虑直线的斜率不存在时，有直线
同理求得：
于是，
从而，