2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合M，N满足，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据集合的交集的定义结合举反例，即可判断出答案.
【详解】对于A，取，满足，而，A错误；
对于B，取，满足，而，B错误；
对于C，根据集合交集的定义可知，，故C正确，
对于D，取，满足，但，不成立，D错误，
故选：C
2．复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】复数，其在复平面上对应的点为，该点位于第二象限．
故选．
点晴:本题重点考查复数的基本运算和复数的概念.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为，虚部为，模为，对应点为，共轭复数为
3．设m为实数，已知直线，，若，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用两直线的方程及平行关系，列式计算作答.
【详解】直线，，且，则有，解得，
所以m的值为2.
故选：B
4．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】方程表示椭圆解得或，根据范围大小判断得到答案.
【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得或.
故“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.
故选：
【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
5．某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.
【详解】设半球的半径为，因为，
所以，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，
所以，
所以该实心模型的体积为，
所以制作该模型所需原料的质量为
故选：C
6．已知函数，则下列说法错误的是（ ）．
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D．函数的对称轴方程为
【答案】D
【分析】化简的解析式，根据三角函数的最小正周期、图象变换、对称轴等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
，所以A选项正确.
的最小正周期为，B选项正确.
的图象向右平移个单位长度得到，
所以C选项正确.
由解得，所以D选项错误.
故选：D
7．已知在各项为正数的等比数列中，与的等比中项为8，则取最小值时，首项
A．8B．4C．2D．1
【答案】C
【分析】由题意可得，可得，由基本不等式和等比数列的通项公式可得结果.
【详解】∵，设公比为，
∴
当且仅当，即时取等号，此时，故选C.
【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有等比数列的性质，利用基本不等式求最值，属于简单题目.
8．曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由曲线方程可知曲线为以为圆心，为半径的圆的的部分，又直线恒过，由数形结合可确定临界状态，分别利用圆的切线的求解和两点连线斜率公式求得临界状态时的取值，进而得到结果.
【详解】可化为
曲线表示以为圆心，为半径的圆的的部分
又直线恒过定点
可得图象如下图所示：
当直线为圆的切线时，可得，解得：
当直线过点时，
由图象可知，当与曲线有两个不同交点时，
故选
【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确曲线所表示的图形和直线恒过的定点，利用数形结合的方式得到临界状态，进而利用直线与圆的知识来进行求解.
二、多选题
9．已知椭圆的离心率为，则的值可能为（ ）
A．B．C．5D．25
【答案】BC
【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后分和两种情况结合离心率的定义列方程求解即可.
【详解】可化为.
当时，，椭圆的离心率为，解得；
当时，，椭圆的离心率为，解得.
故选：BC.
10．已知直线与圆：，则下述正确的是（ ）
A．对，直线恒过一定点
B．，使得直线与圆相切
C．对，直线与圆一定相交
D．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为
【答案】ACD
【分析】由直线方程确定其所过的定点坐标，判断该定点与圆的位置关系即可判断A、B、C；根据直线与圆相交弦长最短，只需定点与圆心的连线与已知直线垂直，几何法求最短弦长判断D.
【详解】由题设，令，
所以直线恒过定点，A对；
又的标准式为，显然，
所以点在圆内，故直线与圆必相交，B错，C对；
要使直线与圆相交弦长最短，只需定点与圆心的连线与已知直线垂直，
此时定点与直线距离为，又圆的半径为2，则最短相交弦长为，D对.
故选：ACD
11．已知数列的前n项和为，则以下命题正确的有（ ）．
A．若数列为等差数列，则为等比数列
B．若数列为等差数列，恒成立，则是严格增数列
C．若数列为等比数列，则恒成立
D．若数列为等差数列，，，则的最大值在n为8或9时取到
【答案】ACD
【分析】用定义法判断数列为等比数列，利用等差数列，等比数列的性质解题.
【详解】选项A：若为等差数列，设公差为，则为常数，
则为等比数列；
选项B：若数列为等差数列，设公差为，首项为， 则，
当时，恒成立，数列为常数列，则不是严格增数列；
选项C：若数列为等比数列，设首项为，公比为，
时，为常数列，，所以，，
时，，
所以若数列为等比数列，则恒成立；
选项D：若数列为等差数列，，，可得，
又等差数列性质有，，由可知，
所以的最大值在n为8或9时取到.
故选：ACD
12．已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（ ）
A．若、、三点共线，则的最小值为
B．若，则的面积为
C．若，则直线过定点
D．若，过的中点作于点，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】设出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理、焦半径公式以及基本不等式可求得的最小值，可判断A选项；求出点的横坐标的绝对值，利用三角形的面积公式可判断B选项；设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理以及求出的值，求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用抛物线的定义以及基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，易知抛物线的焦点为，
当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，则，
易知，，所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，A对；
对于B选项，设点，，可得，所以，，
则，所以，，B对；
对于C选项，易知的斜率存在，设直线的方程为，
设点、，由于直线不过原点，所以，，
联立可得，，
由韦达定理可得，所以，，
因为，则，解得，
所以，直线的方程为，故直线过定点，C错；
对于D选项，过点作于点，过点作于点，
设，，所以，
因为
，
所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立，D对．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
三、填空题
13．正项等比数列中，，则的值是 .
【答案】20
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】在等比数列中，，
，
故答案为:20.
14．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽6m，高0.5m，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法，代入已知点，建立方程，根据准线的公式，可得答案.
【详解】设这条抛物线的方程为，由图可知B点坐标为（3,0.5），所以，得，故这条抛物线的准线方程为．
故答案为：.
15．圆心在直线上，且经过圆与的交点的圆的标准方程是 .
【答案】
【分析】根据题意，设出经过圆与的交点的圆系方程，再利用圆心在直线上，即可求解.
【详解】设所求圆的方程为，
即，其圆心坐标为，
代入直线，得，故所求圆的方程为，
即.
故答案为：.
16．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，且，则此双曲线离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】设圆切、、分别于点、、，推导出，可得出，可得出关于、的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围.
【详解】设、的内切圆圆心分别为、，
设圆切、、分别于点M、N、G，
过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，
由切线长定理可得，，，
所以，则，所以点G的横坐标为．
故点的横坐标也为a，同理可知点的横坐标为a，故轴，
故圆和圆均与x轴相切于，圆和圆两圆外切．
在中，，
即，所以，，
所以，所以，则，
所以，
即，所以，可得，可得，
则，因此.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中三角形内切圆和离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用三角形内切圆的知识点结合双曲线的性质，求得之间的等量关系从而求得结果.
四、解答题
17．已知圆C：x2+y2﹣4x＝0．
（1）直线l的方程为，直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的值；
（2）从圆C外一点P（4，4）引圆C的切线，求此切线方程．
【答案】(1)；(2) x＝4或3x﹣4y+4＝0．
【分析】（1）计算圆心到直线的距离为，再利用勾股定理得到答案.
（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，利用原点到直线的距离等于半径得到答案.
【详解】（1）化圆C：x2+y2﹣4x＝0为：（x﹣2）2+y2＝4，知圆心（2，0）为半径为2，
故圆心到直线的距离，∴；
（2）当斜率不存在时，过P（4，4）的直线是x＝4，显然是圆的切线；
当斜率存在时，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣4）．由，解得．
此时切线方程为3x﹣4y+4＝0．
综上所述：切线方程为x＝4或3x﹣4y+4＝0．
【点睛】本题考查了弦长和切线问题，忽略斜率不存在的情况是容易发生的错误.
18．已知等差数列，前项和为，又．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.
（2）由，令求出的取值范围，再分段求出数列的前项和
【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为，
因为，所以，
所以，由，解得，
又，所以；
（2）
设，的前项和为，得，
，得
当时，，即，所以
当时，得 ，所以，
则
综上所述：
19．在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围．
【答案】(1)60°；
(2)﹒
【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理角化边和余弦定理即可求出csB及B；
(2)根据B=60°和三角形是锐角三角形可求A=120°-C且，利用正弦定理用sinA和sinC表示出a边，利用三角函数值域求出a的范围，根据即可求三角形面积的范围．
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理得，即，即，
即，
由余弦定理得，∵，∴；
（2）∵B=60°，∴，即A=120°-C，又∵，
∴由正弦定理得，
∴，
∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，
从而，∴．
20．设等差数列的前n项和为，且.
(1)若，求的公差；
(2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的公差.
（2）根据数列中的最大项列不等式，从而求得的所有可能取值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则
，解得.
（2）由（1）得，
由于是数列中最大的项，①，
所以，即
即
解得，由于是整数，所以的可能取值是.
21．如图，已知椭圆上一点，右焦点为，直线交椭圆于点，且满足， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知得，由且 ，知，即可求出椭圆的标准方程；
（2）直线的方程为，与椭圆联立求出，求出点到直线的距离为，，联立直线与椭圆方程结合弦长公式求出，求出四边形的面积，整理化简利用二次函数求出最值.
【详解】（1）为椭圆上一点，
又 ，可得，，即
所以椭圆的标准方程是.
（2）由（1）知，，直线的方程为，
联立 ，整理得：，
解得：，
设点，到直线的距离为和，
则，，
直线与椭圆相交于两点，
联立，整理得：，解得：.
.
设四边形面积为，则.
设，则，
当，即，即时，四边形面积有最大值.
【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22．对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍．

(1)求椭圆伴随双曲线的方程；
(2)如图，点，分别为的下顶点和上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若的面积为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为，，依题意可得，，根据离心率公式得到方程，求出，即可得解；
（2）设直线的斜率为，，，直线的方程，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，求出，由求出，再由可得，根据数量积的坐标表示，代入韦达定理，即可得解.
【详解】（1）设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为，，
依题意可得，，
即，即，解得，
所以椭圆，则椭圆伴随双曲线的方程为.
（2）由（1）可知，，设直线的斜率为，，，
则直线的方程，与双曲线联立并消去得，
则，所以，，则，
又，又，
所以，
解得或（舍去），
又，所以
，
因为，所以.