2023-2024学年江苏省南京市南京师大附中高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省南京市南京师大附中高二上学期期中数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用古典概型及直线方程计算即可.
【详解】由题意可知抛掷两次骰子得出的点数有，
共36种结果，即点有36个.
而满足在上的有3种，故其概率为.
故选：C
2．设为实数，已知直线：，：，若，则（ ）
A．B．2C．2或D．5或
【答案】D
【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，求出的值，再代入检验即可.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以，解得或，
当时直线：与直线：平行，符合题意；
当时直线：与直线：平行，符合题意.
综上可得：或.
故选：D
3．若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式及双曲线的性质计算即可.
【详解】易知双曲线的一条渐近线为，
故到其距离为，
所以.
故选：A
4．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【答案】C
【分析】利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解.
【详解】由，得，
则，整理得，
表示圆心为，半径为的圆，
圆的圆心为为圆心，半径，
两圆的圆心距为，满足，
所以两个圆相交.
故选：C.
5．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件利用等差数列前项和公式推导出，由此能求出的值
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
∵等差数列的前项和为，，
∴，整理得，
∴．
故选：.
6．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若,则抛物线C的方程为（ ）
A．x2＝8yB．x2＝4y
C．y2＝8xD．y2＝4x
【答案】C
【解析】设抛物线方程为,直线方程为再联立,利用韦达定理表示进而求得抛物线方程即可.
【详解】由题意,设抛物线方程为,直线方程为,联立
消去x得,显然方程有两个不等实根.设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则y1＋y2＝2pm,y1y2＝－p2,得,
故得p＝4（舍负）,即抛物线C的方程为y2＝8x.
故选：C
【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线方程利用韦达定理求解平面向量数量积的问题,属于中等题型.
7．设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则此时，则，讨论焦点在轴和在轴上两种情况即可求解.
【详解】因为为正实数，则若椭圆焦点在轴上，即，即时，
则当位于短轴的端点时，取最大值，
要使椭圆上存在点满足，则此时，则，
则，解得；
若椭圆焦点在轴上，即，即时，
则当位于短轴的端点时，取最大值，
要使椭圆上存在点M满足，则此时，则，
则，解得，
综上，m的取值范围是
故选：B.
8．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，满足且，，若的“欧拉线”与圆：（）相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆上点到直线的最小距离为
B．圆上点到直线的最大距离为
C．点在圆上，当最小时，
D．点在圆上，当最大时，
【答案】C
【分析】先根据定义确定的“欧拉线”方程，再根据直线与圆相切求出圆，由圆与直线的位置关系及平行线的距离一一判定选项即可.
【详解】由题意可知，
所以是以A为顶点的等腰三角形，则其欧拉线为BC的中垂线，
易知，BC的中点为，
故的“欧拉线”方程为：，
可设，由或，
即或，
又圆：，可知圆心，
根据圆与欧拉线相切可得到的距离为，
即圆：，
对于A、B选项，显然与平行，两平行线的距离为，
故圆上的点到的距离最大为，最小值为，
故A、B均错误；
对于C、D选项，易知当点为直线与圆的切点时取得最值，此时，故D错误，C正确.
故选：C
二、多选题
9．已知一组样本数据2，4，4，5，7，8，则这组数据的（ ）
A．极差为6B．众数为4C．方差为4D．中位数为5
【答案】ABC
【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的定义计算可得.
【详解】依题意这组数据的众数为，极差为，
中位数为，平均数为，
所以方差为.
故选：ABC
10．下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用二倍角公式、诱导公式、两角和的正切公式，结合特殊角的三角函数值依次判断即可.
【详解】对于A，根据二倍角的正弦公式可得
，A正确；
对于B，，
所以B错误；
对于C，，
所以C正确；
对于D，，
所以D正确；
故选：ACD
11．若抛物线（）的焦点为，其准线与轴交于点.过点作直线与抛物线交于点，且（），直线与抛物线的另一交点为（点在点的左边）.下列结论正确的是（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】CD
【分析】设直线的方程为，，根据（），可得的关系，联立方程，利用韦达定理求出，进而可求出，从而可求出，即可判断A；求出点的坐标即可判断B；根据是否成立即可判断C；根据C选项结合抛物线的对称性即可判断D.
【详解】，
设直线的方程为，，
则，
因为（），
所以，所以，
联立得，
则，
所以，所以，
所以，解得，
即直线的斜率为，故A错误；
由，得，
由，得，
即，
所以，故B错误；
，
所以，
所以直线关于轴对称，
所以，故C正确；
由题意可得都在的左侧，且直线关于轴对称，
根据抛物线的对称性可得，故D正确.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
12．已知曲线：是双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．直线是曲线的一条渐近线
B．曲线的实轴长为
C．为曲线的其中一个焦点
D．当为任意实数时，直线：与曲线恒有两个交点
【答案】ACD
【分析】A选项，根据对勾函数的性质判断；B选项根据对勾函数的性质得到是双曲线的另外一条渐近线，然后联立得到顶点坐标，即可得到实轴长；C选项，根据渐近线的特点得到虚轴长，即可得到焦距，然后求焦点坐标即可；D选项，根据渐近线的性质判断.
【详解】
根据对勾函数的性质可得是双曲线的一条渐近线，故A正确；
当时，双曲线的方程趋近于，所以是双曲线的另外一条渐近线，倾斜角为，所以是双曲线的一条对称轴，
联立得或，
所以点和为顶点坐标，则实轴长为，故B错；
如图，设双曲线的一个焦点为，过双曲线的一个顶点作垂直交于点，
，，所以虚轴长为2，焦距为4，即，
所以，故C正确；
因为，为渐近线方程，所以与双曲线有两个交点，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：对勾函数的渐近线方程：；.
三、填空题
13．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 .
【答案】
【分析】首先求出两直线的交点坐标，设所求直线方程为，代入交点坐标求出的值，即可得解.
【详解】由，解得，
所以直线与的交点为，
设所求直线方程为，则，解得，
所以所求直线方程为.
故答案为：
14．已知椭圆的右焦点为F，点P在椭圆上且在x轴上方．若线段的中点M在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ．
【答案】.
【分析】设椭圆得左焦点为，连接，根据线段的中点M在以原点O为圆心，为半径的圆上，可得，从而可求得，在，利用余弦定理求得的余弦值，从而可得出答案.
【详解】解：设椭圆得左焦点为，连接，
由椭圆得，，
则，，，
因为点M在以原点O为圆心，为半径的圆上，
所以，
因为分别为得中点，
所以，所以，
所以，则，
所以，
因为点P在椭圆上且在x轴上方，则直线的倾斜角与互补，
所以直线的斜率.
故答案为：.
15．设是正实数，已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先用辅助角公式化简函数式，再根据三角函数的性质计算即可.
【详解】由，
由，
因为函数在区间上恰有两个零点，
则
故答案为：
16．双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的左焦点为，过双曲线右支上任意一点作其切线，过点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为 .
【答案】其中
【分析】由双曲线的光学性质，得到为的平分线，延长交于点，根据中位线的性质，得到，结合圆的定义和双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，其右焦点为，且渐近线方程为，
设双曲线右支上任意一点，过点作直线的垂线，垂足为，
则过点的切线为，
根据双曲线的光学性质，可得为的平分线，
延长，设的延长线与的延长线交于点，如图所示，
则垂直平分，即点为的中点，
又因为的中点，所以，
可得点的轨迹表示以原点为圆心，以为半径的圆，
可得点的轨迹方程为，
联立方程组，可得，
因为在双曲线的右支上，且为双曲线的切线，则，
所以点的轨迹方程为其中.
故答案为：其中.
四、解答题
17．某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，.
(1)求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率；
(2)求三人中至少有一人获得决赛资格的概率.
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B表示“乙考生获得决赛资格”，根据题意可判断两事件相互独立.先根据两轮选拔之间相互独立求出、；再根据互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率计算公式即可求出结果.
（2）设事件C表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B、C相互独立.借助对立事件的概率计算公式可得结果.
【详解】（1）设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B表示“乙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B相互独立.
因为两轮选拔之间相互独立
所以，.
则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为：
所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率.
（2）设事件C表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B、C相互独立.
则.
因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格”
所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为
所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率.
18．设等差数列的前项和为.已知，.
(1)求；
(2)当为何值时，最小？并求此最小值.
【答案】(1)
(2)8，4
【分析】（1）设等差数列的公差为d，由，求解；
（2）由，分，，利用二次函数的性质求解.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为d，
又，，
所以，
解得，
所以；
（2）由（1）得，
当时，，
当时，递增，当时，递减，又，
所以的最小值为7；
当时，，在上递增，又，
所以的最小值为4，
综上：的最小值为4.
19．在中，角，，所对的边分别为，，且满足.
(1)求角的值；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用余弦定理求；
（2）根据三角形面积公式得到，根据余弦定理得到，然后求周长即可.
【详解】（1）由正弦定理得，整理得，
所以，
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，则，
由余弦定理得，则，
所以，则，
所以的周长为.
20．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标；
(2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.
【答案】(1)，焦点为
(2)
【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可求出抛物线方程；
（2）设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可.
【详解】（1）抛物线：的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，
所以，解得，
所以抛物线方程为，焦点为.
（2）由（1）可知抛物线的焦点，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，、，
由，消去整理得，
所以，则，，
所以，，
又，所以、，
因为，所以，
即，
即，解得，
所以直线的方程为，即.
21．已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，交圆于，.
(1)若点的坐标为，证明：直线；
(2)求线段的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设切线方程为，联立方程，再根据结合韦达定理证明即可；
（2）分过点的一条切线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，联立方程，再根据结合韦达定理证明即可得出答案.
【详解】（1）由题意切线的斜率存在，设切线方程为，
联立，消得，
则，
所以，即，
所以；
（2）设，则，
椭圆：得长半轴长为，短半轴长为，
当过点的一条切线斜率不存在时，不妨取这条切线方程为，
此时，则，解得，
而直线与椭圆相切，
所以当过点的一条切线斜率不存在时，，
当过点的切线斜率存在时，则，
设切线方程为，
联立，消得，
则，
化简得，
所以，
所以，
综上所述，，
所以线段为圆的直径，
所以.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．已知点，在双曲线：上，过点作直线交双曲线于点，（不与点，重合）.证明：
(1)记点，当直线平行于轴，且与双曲线的右支交点为时，，，三点共线；
(2)直线与直线的交点在定圆上，并求出该圆的方程.
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析；.
【分析】（1）根据题意求出点坐标，求出直线、的斜率相等，得证.
（2）根据题意可求出为定值，也为定值，所以在过的圆上，根据条件确定圆心和半径即可.
【详解】（1）由题意，当直线平行于轴时，方程为，
且与双曲线的右支交点为，则，
的斜率，
的斜率，
所以，，三点共线.
（2）
由题知直线斜率存在，且过，
设，
与双曲线联立得：
，且
则，
设直线与直线的交点为，斜率分别为，
则
，
，
在中，，，
由正弦定理得外接圆半径，
所以在过且半径为的圆上，设其圆心为，
因为，，在线段的中垂线上，
所以在轴上，设，
则由或舍，
所以定圆方程为.