2023-2024学年陕西省汉中市汉台中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省汉中市汉台中学高二上学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】B
【分析】先求出斜率，进而可求出倾斜角.
【详解】直线的斜率为，
所以其倾斜角为.
故选：B.
2．圆心为且过点的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求得圆的半径，从而确定正确答案.
【详解】圆的半径为，
所以圆的标准方程为.
故选：A
3．如图所示，三棱柱中，N是的中点，若，，，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】运用空间向量的加、减、数乘运算即可求得结果.
【详解】.
故选：B.
4．已知椭圆C：的右焦点为，P为椭圆的左顶点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意列式解得，进而可得.
【详解】由题意可得：，解得，
所以C的离心率为.
故选：A.
5．已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的一个顶点求出双曲线方程，再根据渐近线的方程求出的值，综合选项即可得答案.
【详解】解：由题意得：
双曲线的一个顶点是，
焦点在轴上，设双曲线方程为，
渐近线方程为，
，，
该双曲线的标准方程为 ．
故选：C
6．已知空间向量，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的数量积和夹角的坐标表示求解即可.
【详解】因为，
且，所以，
故选:D.
7．设为原点，点在圆上，若直线与圆相切，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意利用勾股定理即可求解．
【详解】由圆的方程可得，故，
为原点，在圆上，与圆相切，
则.

故选:A．
8．设分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用中垂线的性质列出关于的方程，再转化为关于的方程即可.
【详解】由题知，如图所示：

设P，F1（－c，0），F2（c，0），
由线段PF1的中垂线过点F2得｜PF2｜＝｜F1F2｜，
即＝2c，
得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，
又0＜e＜1，所以≤e＜1.
故选：D.
二、多选题
9．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】讨论截距是否为0，应用点斜式、截距式并结合经过的点求直线方程.
【详解】若截距都为0，则直线为；
若截距不为0，令直线为，则，
所以直线为；
综上，所求直线方程为或.
故选：AC
10．已知圆：，直线：，则（ ）
A．直线过定点，坐标为
B．直线与圆的位置关系无法确定
C．直线被圆截得的最短弦长是
D．直线被圆截得的弦长最大时
【答案】AD
【分析】A选项，变形后得到方程组，求出定点坐标；B选项，确定直线所过定点在圆内，从而得到直线与圆的位置关系；C选项，当与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短，由两点间距离公式和垂径定理得到最短弦长；D选项，当直线经过圆心时，被圆截得的弦长最大，将圆心坐标代入直线，得到的值.
【详解】A选项，变形为，
令，解得，
故直线过定点，坐标为，A正确；
B选项，因为，故在圆内，则直线与圆相交，B错误；
C选项，当与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短，

此时，
由垂径定理得，最短弦长为，C错误；
D选项，直线经过圆心时，被圆截得的弦长最大，
将代入中，，
解得，D正确.
故选：AD
11．已知m，n是两条不同直线，方向向量分别是，；，，是三个不同平面，法向量分别是，，，下列命题不正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】ABC
【分析】根据题意，由方向向量以及法向量的定义，逐一分析判断空间线面的位置关系，即可得到结果.
【详解】若，，可知平面同时垂直于平面，
但是无法确定平面与平面的位置关系，故A错误；
若，，可知，，则或，故B错误；
若，，可知或，或，
但是无法确定的位置关系，故C错误；
若，，可知，垂直于同一直线的两个平面平行，故D正确；
故选：ABC
12．已知在平面直角坐标系中，，，，，，为该平面上一动点，记直线，的斜率分别为和，且，设点运动形成曲线，点，是曲线上位于轴上方的点，且，则下列说法正确的有（ ）
A．动点的轨迹方程为B．面积的最大值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】CD
【分析】设，根据题意和两点求直线斜率公式计算化简求出点的轨迹方程，即可判断；结合三角形的面积计算即可判断；根据椭圆的定义和三角形三边的大小关系即可判断；结合椭圆的焦半径公式可得，当时取得最小值，即可判断.
【详解】对于选项：因为已知在平面直角坐标系中，，，
为该平面上一动点，记直线，的斜率分别为和，且，
设点，则，，
由，得，
整理，得，
即动点的轨迹方程为，故错误；
对于选项：当点运动到椭圆的上顶点时，的面积最大，
此时，故错误；
对于选项：
由椭圆的定义，得，
而，
当且仅当、、三点共线且点位于第四象限时等号成立，
所以，故正确；
对于选项：
如图、为椭圆的准线，由圆锥曲线统一定义得，
得，，
(其中)，有，
当即时，取得最小值，
此时，，得，，
所以，故正确.
故选：.
三、填空题
13．已知直线经过点，且与直线平行，则的方程为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用点斜式求解作答.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
又直线经过点，所以直线的方程是，即.
故答案为：.
14．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，写出对应点坐标，利用空间向量的数量积计算即可.
【详解】
不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴
建立空间直角坐标系，则，
则，.
故答案为：.
15．已知圆与圆只有一条公切线，则 .
【答案】16
【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意可知两圆相内切，即可得到，从而得解.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为圆与圆只有一条公切线，
所以两圆相内切，所以，即，
所以.
故答案为：
16．双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】连接，已知条件为，，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．
【详解】由题可知共线，共线，
设，，则，
由得，，
又，
所以，，
所以，
所以，
由得，
因为，故解得，
则，
在中，，即，
所以．
故答案为：．
四、解答题
17．已知三角形的三个顶点是.
(1)求边所在的直线方程；
(2)求边上的高所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两点斜率公式求解斜率，进而由斜截式即可求解方程，
（2）根据斜率公式以及垂直关系得高所在直线斜率，即可求解.
【详解】（1）由题意可得,
由斜截式可得直线方程为；
（2）,所以边上的高所在直线的斜率为，
由点，所以边上的高所在直线方程为.
18．设函数，．
(1)求函数的单调增区间；
(2)当时，求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性即可得解；
（2）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】（1）
，
令，得，
所以函数的单调增区间为；
（2）由，得，
所以，
所以函数的值域为.
19．在中，内角所对的边分别为且．
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可；
（2）由的面积为可得，再根据余弦定理即可得，进而求得周长.
【详解】（1）由正弦定理，即，由余弦定理，且，故.
（2）由题意，解得.
由余弦定理，可得.
故的周长为
20．已知圆经过两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）由待定系数法即可求解，
（2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】（1）设圆的标准方程为，可知其圆心为，
由题意可得，解得，
所以圆的标准方程为．
（2）由题意，过点的直线与圆相交于两点，∵
∴，∴，∴，
若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合要求，
故直线的斜率存在，设直线为，即，
所以，化简得，解得或
所以直线的方程为或．

21．如图.在四棱锥中，底面是矩形，平面为中点，且.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）连接，交于点，连接，

∵为中点，为中点，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
（2）
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，得.
设直线与平面所成角为，且，
∴，∴，
即直线与平面所成角的余弦值为.
22．已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．