2023-2024学年陕西省西安市阎良区关山中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市阎良区关山中学高二上学期期中数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，用空间向量的减法运算即可求.
【详解】由，，可得.
故选：C
2．已知，若，则的值为（ ）
A．B．2C．6D．8
【答案】C
【分析】根据向量垂直的性质计算得到答案.
【详解】，，
则，解得.
故选：C.
3．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系求解即可.
【详解】设直线的倾斜角为，
则直线的斜率，
.
故选：B
4．平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出即可得出动点P的轨迹方程.
【详解】由题意，
平面内点P到、的距离之和是10，
∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上,
, 解得：，
∴，
∴轨迹方程为: ，
故选: B.
5．已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A．B．1C．1或3D．或3
【答案】A
【分析】利用两直线平行即可得，又因为时两直线重合，即可得.
【详解】根据题意，由两直线平行可得，即，
解得或；
经检验时，两直线重合，不合题意；
所以.
故选：A
6．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据为直径得到圆心坐标和半径，然后求圆的方程即可.
【详解】由题意得圆心为，即，半径，
所以圆的方程为.
故选：B
7．椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴相等B．短轴相等
C．焦距相等D．离心率相等
【答案】C
【分析】根据两个椭圆的标准方程，求出焦距即可得到结论.
【详解】因为中的，
所以，焦距为；
因为中的，
所以，焦距为；
故选：C.
8．已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线C上的两点，，则线段AB的中点到x轴的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义求出线段AB的中点纵坐标即得.
【详解】抛物线C：的准线方程为，设，
由抛物线定义，得，由，得，
解得，因此线段AB的中点纵坐标为，
所以线段AB的中点到x轴的距离为4.
故选：B
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．任何直线方程都能表示为一般式
B．直线与直线的交点坐标是
C．两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等
D．直线方程可化为截距式为
【答案】AB
【分析】根据一般式方程判断A，求出方程组的解，即可判断B，根据两直线平行的充要条件判断C，利用特殊值判断D.
【详解】对于A：直线的一般是方程为：，
当时，方程表示垂直轴的直线；
当时，方程表示垂直轴的直线；
当时，方程表示任意一条不垂直于轴和轴的直线；故A正确.
对于B：联立，解得，故B正确.
对于C：两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等（或斜率均不存在）且不重合，故C错.
对于D：若或时，式子显然无意义，故D错.
故选：AB.
10．已知椭圆：.则下列结论正确的是（ ）
A．长轴为6B．短轴为4
C．焦距为D．离心率为
【答案】ABD
【分析】根据椭圆方程确定长短轴、焦距和离心率即可.
【详解】由椭圆方程知：，故长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为.
所以A、B、D对，C错.
故选：ABD
11．已知圆，直线．则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1
C．直线与圆有一个交点
D．若圆与圆恰有三条公切线，则
【答案】AD
【分析】化简直线的方程为，可判定A正确；根据圆心到直线的距离，可判定B错误；根据点在圆内部，可判定C错误；根据两圆的位置关系，列出方程，求得的值，可判定D正确.
【详解】对于A中，因为直线，
可得，令，解得，
所以直线恒过点点，所以A正确；
对于B中，由圆，可得圆心，半径为，
要使得圆上恰有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离，则满足，
当时，直线，
可得圆心到直线的距离为，所以B错误；
对于C中，因为直线恒过点点，设为点，
可得，所以点在圆内部，
所以直线圆圆有两个交点，所以C错误；
对于D中，因为圆，可得，
要使得圆与圆恰有三条公切线，
可得，即，解得，所以D正确.
故选：AD.
12．直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（ ）
A．3B．0C．D．1
【答案】ABD
【分析】通过讨论直线截距是否为的情况，即可得出结论
【详解】由题意，直线过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
当直线的截距为0时，显然满足题意，为：；
当直线的截距不为0时，设横、纵截距分别为，则直线方程为：，
∴，解得：或，
∴直线的纵截距可取.
故选：ABD.
三、填空题
13．若直线的一个方向向量是，则直线的斜率是 .
【答案】
【分析】根据方向向量与直线斜率的关系，直接可以求得斜率.
【详解】因为直线的一个方向向量是，所以直线的斜率.
故答案为：
14．已知点，点Q是直线上：的动点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】的最小值即为点到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解.
【详解】的最小值即为点到直线的距离，
故的最小值为.
故答案为：.
15．已知抛物线上的点到准线的距离为4，则点的横坐标为 .
【答案】3
【分析】首先得到抛物线的准线方程，再设点的横坐标为，即可得到方程，解得即可.
【详解】抛物线的准线为，设点的横坐标为，
由抛物线上的点到准线的距离为4，可得，解得.
故答案为：
16．已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，满足，则 .
【答案】/
【分析】由题意可得出，，再由余弦定理求解即可.
【详解】由椭圆方程知：，，；
若，，，
又，，
又，.
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程
(2)若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；
（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.
【详解】（1）因为直线与直线垂直，
所以可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为
（2）当直线过原点时，直线的方程是，即．
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点代入方程得，所以直线的方程是．
综上，所求直线的方程为或
18．如图，正方体的棱长为，为的中点.（请用空间向量的知识解答下列问题）
(1)证明：.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出，即可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，则，所以，.
（2）解：易知平面的一个法向量为，
所以，.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
19．已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点，且
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求双曲线渐近线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的离心率和焦点坐标求方程；
（2）根据双曲线的渐近线方程进行求解.
【详解】（1）由题意，且，解得，
所以双曲线的标准方程为
（2），焦点在轴上，
故渐近线方程为
20．已知点，圆的圆心在直线上且与轴切于点，
(1)求圆的方程；
(2)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用已知的圆心特征和半径，即可求得圆的方程；
（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，结合弦心距的求解过程即可得出结果.
【详解】（1）圆的圆心在直线上且与轴切于点，
设圆心坐标为，则，
解得，，
圆心，半径，
故圆的方程为.
（2）点，直线过点，
设直线的斜率为存在）则方程为，
又圆的圆心为，半径，弦长为，
故弦心距，
故，解得，
所以直线方程为，
即，
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件，
故的方程为或.
21．在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4
(1)写出点轨迹的方程；
(2)若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用定义法求椭圆方程即可；
（2）利用椭圆与直线位置关系的判断方法即可.
【详解】（1）由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，
故，，，其方程为.
（2）联立得，
因为有两个交点，所以，
解得，所以的取值范围为.
22．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：.
(1)若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；
(2)过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，分别讨论当或，即可求解；
（2）由抛物线的标准方程可得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理及即可求解.
【详解】（1）依题意，联立，消去，得：，即：，
①当时，有：，显然方程只有一个解，满足条件；
②当时，要使得直线与抛物线只有一个公共点，
则方程只有一个解，
所以，解得：；
综上所述，当或时，直线与抛物线只有一个公共点．
（2）由于抛物线：的焦点的坐标为，
所以过点且斜率为的直线方程为：，
设，，
联立，消去，得：，
则由韦达定理得：，，
所以，
所以.