2023-2024学年安徽省合肥市巢湖市第一中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市巢湖市第一中学高二上学期期中数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由斜率直接求解倾斜角即可.
【详解】设倾斜角为，则，则.
故选：C.
2．若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（ ）
A．2B．3C．6D．7
【答案】B
【分析】先求出椭圆的焦点，再由两曲线的焦点重合，列方程可求出的值.
【详解】因为椭圆的焦点为，
所以双曲线的焦点为，
故，解得.
故选：B.
3．以两点为直径的两个端点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出圆心坐标及半径得解.
【详解】依题意，圆心坐标为中点，即，半径为，
所以圆的方程为.
故选：D
4．堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.
【详解】
由题意得，平面以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以.设异面直线与所成的角为，则.
故选：A.
5．已知椭圆的左､右焦点分别为两点都在上，且关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ）
A．的最大值为10B．为定值
C．的焦距是短轴长的D．存在点，使得
【答案】D
【分析】根据题意，结合椭圆的定义以及几何性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题意得，，所以，而，
，故选项A，C正确；
由椭圆的对称性知，，故选项B正确；
当在轴上时，，则最大角为锐角，所以不存在点，使得，故选项D错误.
故选：D.
6．已知在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用对称将三角形的周长转化为四点共线问题，求出两点之间距离即可.
【详解】设点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，连接交于，交轴于，
则此时的周长取最小值，且最小值为，与关于直线对称，，解得，易求得，，即周长的最小值为.
故选：.
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，与交于点分别为的中点，点满足，若平面，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的坐标运算求解.
【详解】因为平面平面，所以，
又底面是正方形，所以，则两两垂直，
以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，
所以.
设平面的法向量为，
则，
令，得.
设，因为
平面，所以，
即，解得，
故，所以.
故选:B.
8．已知底边长为2的等腰直角三角形是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建系求出D点的轨迹方程，利用圆上动点到直线距离最值的求法求出三角形高的最大值即可得解.
【详解】以的中点为原点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图，
则，设，
因为，
所以，得，
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆.
当点与直线距离最大时，面积最大，
直线的方程为，，
设圆心到直线的距离为，
则点到直线的最大距离为，
所以面积的最大值为.
故选：A.
二、多选题
9．直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则直线与平面所成角的大小为
D．若，则平面的夹角大小为
【答案】ABD
【分析】根据空间向量判断线面关系，即可判断AB，由空间向量计算空间角度，即可判断CD.
【详解】若，则，故A正确；
若，则，故B正确；
因为直线与平面所成角的范围为，若，则与的夹角为，所以直线与平面所成角的大小为，故C错误；
因为两平面夹角的范围为，若，则平面的夹角大小为，故D正确.
故选：ABD.
10．若方程所表示的曲线为，则（ ）
A．曲线可能是圆
B．若，则为椭圆
C．若为椭圆，且焦点在轴上，则
D．若为双曲线，且焦点在轴上，则
【答案】AC
【分析】AB选项，计算出时，曲线表示圆，A正确，B错误；C选项，根据焦点在轴上的椭圆所满足的条件得到不等式，求出答案；D选项，根据焦点在轴上的双曲线所满足的条件得到不等式，求出答案.
【详解】A选项，当，即时，方程为，
表示圆心为原点，半径为的圆，故选项正确，选项错误；
C选项，若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故选项正确；
D选项，若为双曲线，且焦点在轴上，方程即，
则，解得，故选项D错误.
故选：AC.
11．下列有关直线与圆的结论正确的是（ ）
A．过点且在轴上的截距相等的直线方程为
B．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C．若点是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离
D．若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数
【答案】BD
【分析】对于A，分截距为零和截距不为零两种情况求解判断，对于B，由于直线过定点，所以求出可得答案，对于C，求出圆心到直线的距离与半径比较即可，对于D，由题意可得圆心到直线的距离等于1，从而可求出的值.
【详解】对于A，若直线在坐标轴上的截距为零，设直线方程为，则，得，所以直线方程为，即，
若直线在坐标轴上的截距不为零，则设直线方程为，则，得，
所以直线方程为，即，
综上过点且在轴截距相等的直线方程为或，所以A错误
对于B，由，得，
所以直线过定点，
因为，所以，故B正确；
对于C，因为点是圆外一点，所以，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，故C错误；
对于D，由圆的方程，得圆心为，半径为2，
若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，
则圆心到直线的距离等于1，
则，解得，故D正确.
故选：BD.
12．已知为坐标原点，分别为双曲线，的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，为在第一象限上的一点，点的坐标为，为的平分线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为B．双曲线的离心率为2
C．D．点到轴的距离为
【答案】ABD
【分析】由到的距离为以及渐近线方程为可求得，即可得出方程，判断A；根据离心率公式即可判断B，由可求出判断C；利用等面积法可求得点到轴的距离，判断D.
【详解】对于A，由到渐近线的距离为，得，解得，
由渐近线方程为，得，结合可得，，
则双曲线的方程为，故A正确．
对于B，，故B正确．
对于C，为的平分线，则，故C错误．
对于D，由双曲线定义可得，则可得，，
在中，，，
设点到轴的距离为，则
即，解得，故D正确．
故选：ABD．

三、填空题
13．已知圆，过点的直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得过点且弦长最短的弦应是垂直于直线的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果.
【详解】显然点在圆内，过点且弦长最短的弦应是垂直于直线的弦，
又直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为，
故所求直线的方程为，即.
故答案为：
14．在长方体中，底面是边长为1的正方形，为的中点，为上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为 .
【答案】
【分析】先求出平面的法向量，然后再根据点到面的距离公式求出距离即可.
【详解】如图所示，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
，
则，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
所以点到平面的距离，
故答案为：
15．已知双曲线的离心率是分别为双曲线的左､右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则的值为 .
【答案】/
【分析】首先求出点坐标，再由锐角三角函数及离心率计算可得.
【详解】由题意得，，点的横坐标为，将代入双曲线的方程，
得，所以，又，所以，
所以.
故答案为：
四、双空题
16．过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点 ；记线段的中点为，则点到直线的距离的最小值为 .
【答案】
【分析】设，则可得以为直径的圆的方程为，结合点在直线上，也在圆上化简可得，从而可得直线的方程，进而可求得直线过的定点，设，则由可求出点的轨迹方程，从而可求出点到直线的距离的最小值.
【详解】设，因为是直线上一点，
所以，以为直径的圆的方程为，
即，所以，即直线的方程为，
又直线的方程为，故直线过定点.
设，直线过定点为，则，
由，得，
整理得点的轨迹方程为，
因为点到直线的距离，
所以直线与圆相离，
所以点到直线的距离的最小值为.
故答案为：，
五、解答题
17．已知的三个顶点分别是.
(1)求边的高所在的直线方程；
(2)求平分的面积且过点的直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求直线的斜率，进而可得的高所在的直线的斜率，结合点斜式方程运算求解；
（2）由题意可知：所求直线即为边的中线所在的直线，结合点斜式方程运算求解.
【详解】（1）由题意可得：直线的斜率，
则边的高所在的直线的斜率，
所求直线方程为，即.
（2）由题意可知：所求直线即为边的中线所在的直线，
则线段的中点为，可得直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
18．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求出的值，利用点到直线的距离求出的值，即可得出的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）利用点差法可求得直线的斜率.
【详解】（1）解：因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，
且双曲线的渐近线为，则，可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的方程为.
（2）解：若直线轴，则、关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，
设、，设直线的斜率为，则，
则，所以，
化简得.
因为线段的中点为，所以，，
所以，解得，即直线的斜率为.
19．已知点，圆的圆心在直线上，且圆与轴切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设圆心坐标为，则由题意列方程组可求出，从而可求出圆的方程；
（2）先由已知求出圆心到直线的距离，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可.
【详解】（1）设圆心坐标为，
因为圆的圆心在直线上，且圆与轴切于点，
所以，解得，
所以，半径，
所以圆的方程为.
（2）由题意得，圆心到直线的距离为.
若直线的斜率存在，设直线的方程为，
则，解得或.
当直线的斜率不存在，的方程为，
此时圆心到直线的距离为2，不满足题意，舍去.
综上，直线的方程为或.
20．一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)45
【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，由题意可得，从而可得点的轨迹是焦点为，且长轴长等于12的椭圆，进而可求出其方程；
（2）设，则，再结合的取值范围可求得结果.
【详解】（1）设动圆圆心为，半径为，
将圆的方程分别配方得：圆，圆，
当动圆与圆外切时，，
当动圆与圆内切时，，
所以，
所以点的轨迹是焦点为，且长轴长等于12的椭圆.
设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为，
所以，所以，所以，
所以动圆圆心轨迹方程为.
（2）由（1）得，，设，
所以.
因为点在椭圆上，所以，
所以，
所以当时，，
故的最小值为45.
21．如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，由题意可证得，进而得平面；
（2）以为坐标原点，分别以为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面及平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
【详解】（1）连接交于点，连接.
因为分别为的中点，
所以为的重心，所以.
因为为的中点，为的中点，所以，
所以，所以.
又因为平面平面，所以平面.
（2）如图所示，以为坐标原点，分别以为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的法向量为，则，
即，取.
设平面的法向量为，则，
即，取.
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
22．已知椭圆的左､右焦点分别为，该椭圆的离心率为，且椭圆上动点与点的最大距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，若直线与轴､椭圆顺次交于（点在椭圆左顶点的左侧），且，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，再由三角形的面积公式，代入计算，结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】（1）椭圆的离心率为，即.
椭圆上动点与点的最大距离为，
椭圆的方程为.
（2）设，由（1）知，，
，
，化简整理，得.
设直线的方程为，
联立，得，
.
，
，
，
直线的方程为.
点到直线的距离，
.
，即.
令，则，
，
当且仅当时，等号成立，此时，直线存在.
综上，面积的最大值为.