2023-2024学年广东省东莞市实验中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省东莞市实验中学高二上学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】根据斜率公式求得，结合直线的方向向量的定义，即可求解.
【详解】由点，可得直线的斜率为，
因为经过两点的直线的一个方向向量为，所以.
故选：D.
2．若两条不同的直线：与直线：平行，则的值为（ ）
A．B．1C．或1D．0
【答案】B
【分析】两直线与平行的判定方法，但要验证是否重合.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以，解得，
当时，：，：，两直线平行，
当时，：，：，两直线重合，
所以.
故选：B.
3．已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】设，根据向量共面定理，解方程组即可求解.
【详解】因为，且三向量共面，
所以，所以，
所以，解得.
故选：A
4．已知，，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据空间向量的投影计算公式求出在上的投影，进行计算在上的投影向量.
【详解】因为，，所以.
因为，所以
故在上的投影向量为
故选：B
5．圆被过点的直线截得的最短弦长为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】根据点与圆、直线与圆的位置关系即可求得最短弦长.
【详解】圆，圆心，半径
所以，故点在圆内，
则当直线垂直于过C，P的直径时，
最短弦长.
故选：C.
6．已知梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，过点E作与AB所在直线的平行线l.若AB和CD所在直线的方程分别是与，则直线l与CD所在直线的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先求得直线AB和CD之间的距离，再求直线l与CD所在直线的距离即可解决.
【详解】梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，
则有△与△相似，相似比为，
则，点E到CD所在直线的距离为AB和CD所在直线距离的
又AB和CD所在直线的距离为，
则直线l与CD所在直线的距离为2
故选：B
7．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神州十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神州十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神州十六号的飞行轨道的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，，解得，，得到离心率.
【详解】根据题意：，，解得，，
故离心率.
故选：D
8．在平面直角坐标系中，已知定点，，若在圆上存在点P，使得为直角，则实数m的最大值是（ ）
A．15B．25C．35D．45
【答案】D
【分析】根据题意将所求问题转化为两个圆有交点的问题解决.
【详解】以，两点为直径的圆的方程为，
设圆心为N，所以，半径为，
若在圆上存在点P，
使得为直角，则圆M与圆N有公共点，
又圆，
所以，半径为，
所以，
故，解得，
所以m的最大值为45.
故选：D
二、多选题
9．已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率
C．椭圆的短轴长为4D．的面积的最大值是4
【答案】BCD
【分析】由题意可得，即可判断A，B，C；当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，面积最大，求出面积的最大值即可判断.
【详解】解：因椭圆方程为，
所以，
所以椭圆的焦距为，离心率，短轴长为，
故A错误，B,C正确；
对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，为2,
此时的面积取最大为,故正确.
故选：BCD.
10．已知直线过原点，且，两点到直线的距离相等，则直线方程可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由题意先设出方程，根据已知条件建立方程解出直线的斜率即可
【详解】直线过原点，且，两点到直线的距离相等，
斜率必存在，设所求直线的方程为，
由已知及点到直线的距离公式可得：
，
解得或，
即所求直线方程为或.
故选：AC.
11．已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；
连接，因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
连接，设，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
所以，直线与平面所成的角为，故C错误；
因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.
故选：ABD
12．已知圆，直线，P为直线上的动点，过点P作圆M的切线、，切点为A、B，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形面积的最小值为4B．四边形面积的最大值为8
C．当最大时，D．当最大时，直线AB的方程为
【答案】AD
【分析】分析可知当时，四边形面积最小，且最大，利用三角形的面积公式可判断A、B选项，分析出四边形为正方形，利用正方形的几何性质可判断C、D选项.
【详解】如下图所示：
由圆的几何性质可得，，圆，半径为2，
对于A，由切线长定理可得，又因为，，所以，，
所以四边形的面积，
因为，当时，取最小值，
且，所以，四边形的面积的最小值为，故A正确；
对于B，因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，故B错误；
对于C，因为为锐角，，且，
故当最小时，最大，此时最大，此时，故C错误；
对于D，由上可知，当最大时，且，
故四边形为正方形，且有，直线，，则的方程为，
联立，可得，即点，
由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，故D正确．
故选：AD．
三、填空题
13．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为点，则 .
【答案】
【分析】先利用关于原点对称的点的坐标特征求出点，再利用空间两点间的距离公式即可求.
【详解】因为B与关于原点对称，故，
所以.
故答案为：.
14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取，两点，且，到直线的距离，到直线的距离，，则斜坡面与水平面所成角的大小为 ．
【答案】/
【分析】利用空间向量数量积的运算律求解．
【详解】设与的夹角为，
因为，
所以，
又，即，
所以，又，所以，
所以斜坡面与水平面所成的角为.
故答案为：
15．已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ．
【答案】1
【分析】令，由题意可得直线与圆有交点，即可得解.
【详解】方程化为，
则方程表示以为圆心，为半径的圆，
令，则，
由题意可得直线与圆有交点，
则圆心到直线的距离，解得，
所以的最大值为.
故答案为：.
16．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，
则下列结论正确的是 .（填写序号）
①曲线围成的图形的周长是；
②曲线上的任意两点间的距离不超过4；
③曲线围成的图形的面积是；
④若是曲线上任意一点，则的最小值是.
【答案】①③④
【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图象，由图象即可判断.
【详解】由，当，时，，即，表示圆心为，半径的半圆；
当，时，，即，表示圆心为，半径的半圆；
当，时，，即，
表示圆心为，半径的半圆；
当，时，，即，表示圆心为，半径的半圆.
曲线的图象如下图所示：
由图象可知，曲线由4个半圆组成，故其周长为，
围成的图形的面积为，故①正确、③正确；
曲线上的任意两点间的最大距离为，故②错误；
圆心到直线的距离为，
到直线的距离，
若使最小，则有，
所以，故④正确.
故答案为:①③④.
四、解答题
17．已知直线过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程
(2)若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；
（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.
【详解】（1）因为直线与直线垂直，
所以可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为
（2）当直线过原点时，直线的方程是，即．
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点代入方程得，所以直线的方程是．
综上，所求直线的方程为或
18．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC上的动点，且.
(1)求证：；
(2)当时，求点A到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)如图，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出和，再证明即可；
(2)利用空间向量的数量积求出平面的法向量，结合求点到面距离的向量法即可得出结果.
【详解】（1）证明：如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，
故，所以；
（2）当时，，，，，
则，，，
设是平面的法向量，则
由，解得，取，得，
设点A到平面的距离为，则，
所以点A到平面的距离为.
19．已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P为C上一点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：由题意可求得，，由椭圆的定义可得，进而得，即可得解；
解法二：由题意可得，由为椭圆上一点及关系建立方程组，即可求解；
（2）由条件结合余弦定理得及椭圆的定义可求得，然后利用三角形面积公式即可得出答案.
【详解】（1）解法一：设椭圆C的焦距为，
因为，可得，所以，，
则，，
由椭圆的定义可得，
所以，
故椭圆C的标准方程为.
解法二：设椭圆C的焦距为，因为，可得，
因为为椭圆上一点，
所以，解得，.
故椭圆C的标准方程为.
（2）在中，，，
由余弦定理得，
即，
又由椭圆的定义，可得，
两边平方得，
即，解得，
所以的面积.
20．已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.
（1）求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;
（2）求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
【答案】（1）x-y+4=0；5；（2）x2+y2-x+7y-32=0.
【分析】（1）两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，再根据半径、弦心距、弦长的关系求出弦长.（2）可求出两圆的交点坐标，结合圆心在直线x-y-4=0上求出圆心坐标与半径，也可利用圆系方程求解.
【详解】（1）设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解.
①-②，得x-y+4=0.
∵A，B两点坐标都满足此方程，
∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C1的圆心(-3，0)，r=，
C1到直线AB的距离为d=，
∴|AB|=2=2=5，
即两圆的公共弦长为5.
（2）(方法1)解方程组
得两圆的交点A(-1，3)，B(-6，-2).
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4.
则，
解得a=，故圆心为，-，半径为.
故圆的方程为(x-)2+(y+)2=，
即x2+y2-x+7y-32=0.
(方法2)设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1)，
其圆心为(-，-)，代入x-y-4=0，解得λ=-7.
故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查两圆公共弦方程，考查学生计算能力，属于中档题．
21．已知圆的方程为：.
（1）试求的值，使圆的周长最小；
（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）先求圆的标准方程，由半径最小则周长最小；
（2）由，则圆的方程为：，直线和圆线切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与轴垂直和直线与轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.
【详解】（1），
配方得：，
当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小.
（2）由（1）得，，圆的方程为：.
当直线与轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；
当直线与轴不垂直时，设为，
由直线与圆相切得：，解得，
所以切线方程为，即.
综上，直线方程为或.
22．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；
（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【详解】（1）证明：
在正方形中，，因为平面，平面，
所以平面，又因为平面，平面平面，
所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以
因为，所以平面．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，设，
设，则有，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
［方法二］：定义法
如图2，因为平面，，所以平面．
在平面中，设．
在平面中，过P点作，交于F，连接．
因为平面平面，所以．
又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，从而即为与平面所成角．
设，在中，易求．
由与相似，得，可得．
所以，当且仅当时等号成立．
［方法三］：等体积法
如图3，延长至G，使得，连接，，则，过G点作平面，交平面于M，连接，则即为所求．
设，在三棱锥中，．
在三棱锥中，．
由得，
解得，
当且仅当时等号成立．
在中，易求，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．
【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为平面的法向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB与平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；
方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．