2023-2024学年广东省深圳市罗湖高级中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省深圳市罗湖高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，且，则x的值为（ ）
A．4B．2C．3D．1
【答案】A
【分析】根据可知，代入坐标公式即可求解．
【详解】因为，所以，
因为向量，，
所以，解得，所以x的值为4，
故选：A．
2．图中的直线的斜率分别为，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.
【详解】由图象可得，，
故选：C
3．已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】分析：先根据圆心坐标求出a的值，再求圆的半径.
详解：由题得所以圆的半径为
故答案为D
点睛：(1)本题主要考查圆的一般方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 当时，表示圆心为，半径为的圆.
4．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.
【详解】因为在平行六面体中，，
所以.
故选：A.
5．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
A．(0，＋∞)B．(0，2)C．(1，＋∞)D．(0，1)
【答案】D
【分析】要利用条件椭圆焦点在轴上，应将椭圆的方程化为标准方程，由椭圆的焦点在轴上，可得，进而可解得实数的取值范围．
【详解】因为方程，即 表示焦点在轴上的椭圆，
所以 ，即 ，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，要判断椭圆焦点的位置，应将椭圆的方程化为标准方程．对于椭圆，①表示焦点在x轴上的椭圆；②表示焦点在y轴上的椭圆．；③表示椭圆．
6．已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据条件设，，由条件求得，即可求得双曲线方程.
【详解】设，则由已知得，，又，，又，，双曲线的标准方程为.
故选：D
7．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AEC1F的法向量，利用点到面距离的向量公式即得解
【详解】以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则，
∴，.
设为平面的法向量，，
由，得，
令z=1，∴，
所以.
又，
∴点C到平面AEC1F的距离d=.
故选：C.
8．已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
二、多选题
9．已知直线与圆有两个交点，则实数的值可能是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】ABC
【分析】由圆心到直线的距离小于半径可得的范围．
【详解】圆的圆心为，半径为，依题意得，解得．
故选：ABC．
10．设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．P到最小的距离是B．
C．面积的最大值为6D．P到最大的距离是9
【答案】BD
【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可.
【详解】由椭圆方程可得：，则，
对于A：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，
最小值为，A错误；
对于B：根据椭圆的定义可得，B正确；
对于C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，
最大值为，C错误；
对于D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，
最小值为，D正确.
故选：BD.
11．如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．平面
D．直线与直线所成角的余弦值为
【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由空间向量的关系判断空间位置关系，A选项，根据得到A正确；B选项，求出平面的法向量，由得到B错误；C选项，根据，得到直线与直线不垂直；D选项，利用空间向量夹角余弦公式进行计算.
【详解】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则.
.
A选项，因为，所以，A正确.
B选项，设平面的法向量为，
则，
令得，，故，
因为，
所以与不垂直，则直线与平面不平行，错误.
C选项，若平面，则.
因为，所以直线与直线不垂直，矛盾，C错误.
D选项，，D正确.
故选：AD
12．已知分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则（ ）
A．双曲线的离心率B．双曲线的渐近线方程为
C．D．直线与双曲线有两个公共点
【答案】ABD
【解析】A．根据以及对应的余弦定理计算出离心率的值；B．根据离心率的值，计算出的值，即可求解出双曲线的渐近线方程；C．根据的大小关系判断出三角形的形状，再根据长度关系判断是否成立；D．联立直线与双曲线，利用一元二次方程的，判断出直线与双曲线的交点个数.
【详解】A．因为，，所以，，
又因为，所以，
所以，所以，所以，故结论正确；
B．，所以，所以，所以渐近线方程为，故结论正确；
C．因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，所以结论不成立；
D．因为，所以，所以，
所以，
所以直线与双曲线有两个公共点，所以结论正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查双曲线性质的综合运用，对分析与计算能力要求较高，难度较难.(1)双曲线渐近线的斜率与离心率之间的关系：；(2)平行于双曲线渐近线的直线(不重合)与双曲线仅有一个交点，斜率绝对值小于渐近线斜率的绝对值的直线，其与双曲线有两个交点.
三、填空题
13．已知与，若两直线平行，则的值为
【答案】
【分析】根据平行直线的斜率相等，建立方程，可得答案.
【详解】因为的斜率为3，两直线平行，
所以，的斜率为，
所以，解得.
故答案为：.
14．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．
【答案】
【详解】试题分析：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，
，即异面直线A1M与DN所成角的大小是
【解析】异面直线所成的角
15．已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ．
【答案】
【详解】试题分析：不妨设，所以，由及，得：，两边同除以，则有，解方程得，（舍去），所以应该填．
【解析】双曲线的简单几何性质．
16．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，则当最大时，的面积为 .
【答案】/
【分析】将对称性和椭圆的定义结合起来，得到PM，PN的和为定值，从而知当M、N、P三点共线时，MN的值最大，然后通过几何关系求出，结合余弦定理即可求出三角形的面积.
【详解】根据椭圆的方程可知，，连接PM，PN，
则，所以当M、N、P三点共线时，|MN|的值最大
此时
又因，可得
在中，由余弦定理可得，，
即，解得，
故答案为：.

【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
四、解答题
17．已知直线l经过两条直线和的交点．
(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两个坐标轴上的截距相同，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）联立方程组，求得两直线的交点为，设直线的方程为，将代入直线方程，求得，即可求解；
（2）根据题意，分当截距为0和截距不为0，两种情况，结合题意，即可求解.
【详解】（1）解：由方程组，解得，
即直线和的交点为，
因为直线垂直于直线，设直线的方程为，
把点代入方程，可得，解得，
所以直线的方程为.
（2）解：①当截距为0时，设直线的方程为，
把点代入方程得，解得2，所以直线的方程为；
②当截距不为0时，设直线的方程为 ，
把点代入方程得，解得3，所以直线的方程为，
所以直线的方程为或.
18．如图，四棱锥的底面ABCD是矩形，平面ABCD，，．
(1)求证：平面；
(2)求二面角余弦值的大小；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明直线所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直；
（2）由题意求出两个平面的法向量，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角即可．
【详解】（1）如图所示，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，
在中，因为，，则，所以，，
可得，，，
因为，，即，，
且，平面，所以平面.
（2）由（1）可得，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
故平面的法向量可取为，
因为平面，则为平面的一个法向量，
可得，
设二面角的大小为，由图易得为锐角，
所以二面角余弦值为.
19．如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
【答案】（1）10或22；（2）.
【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可；
（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.
【详解】解：（1）是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或，
即点到另一个焦点的距离为或；
（2）P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
五、未知
20．如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．
(1)设点是的中点，证明：平面；
(2)求与平面所成的角的余弦值；
(3)求此几何体的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)；
(3) .
【分析】（1）利用空间向量法证明线面平行即可；
（2）利用空间向量法求与平面所成的角；
（3）分别延长至，使，由求解.
【详解】（1）因为直三棱柱，所以面，
又面，所以，，
又因为，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
因为是的中点，
所以，
易知，是平面的一个法向量，
由，且不在平面内，
所以平面·
（2）设与面所成的角为 ，
求得，
设是平面的一个法向量，
则由得，取，得
又因为，
所以，，
则，
所以与面所成的角余弦值为；
（3）分别延长至，使，
则.
故此几何体的体积为．
六、解答题
21．在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆O的方程：
（2）已知圆O与x轴相交于两点，圆O内的动点P满足，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意可知圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程；
（2）根据圆内的动点P满足，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．
【详解】（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．
得圆O的方程为；
（2）不妨设由，即得．
设，由，得
整理得．
由于点P在圆O内，故
由此得，则，
所以的取值范围为．
22．已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）见解析.
【分析】(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.
【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；
因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.
（Ⅱ）设
联立得，
，，.
直线，令得，即；
同理可得.
因为,所以；
，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．