2023-2024学年广东省湛江市高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省湛江市高二上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．英文单词peach所有字母组成的集合记为，英文单词apple所有字母组成的集合记为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据交集的概念与运算直接求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：C
2．设，则（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】C
【分析】先化简，结合共轭复数的定义求得，进而求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
3．若直线的斜率大于，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化一般式为斜截式得到直线的斜率，进而列出不等式求解即可.
【详解】直线，即，
则直线的斜率为，
即，解得.
所以的取值范围为.
故选：A.
4．在空间直角坐标系中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设直线与平面所成的角为，由求解.
【详解】设直线与平面所成的角为，
所以，
因为，所以，
故选：C
5．已知圆的圆心为抛物线的顶点，且圆经过点，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到圆的圆心坐标为，再根据圆经过点求得半径即可.
【详解】解：因为抛物线的顶点坐标为，
所以圆的圆心坐标为，
又圆经过点，所以圆的半径，
所以圆的方程为
故选：B
6．在四面体中，为的中点，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算可得答案.
【详解】因为为的中点，所以．
因为为的中点，所以，
所以．
故选：B.
7．某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（ ）
A．B．32C．D．48
【答案】A
【分析】根据两点间距离公式和点的对称性建立方程组，求解即可.
【详解】
如图，设关于直线对称的点为，
则得即，
易知，
当三点共线时，
取得最小值，
最小值为.
故选：A
8．已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ）
A．B．7C．D．6
【答案】D
【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了，即，由三点共线定理可知，所以，.得.再利用基本不等式解决最值问题即可.
【详解】因为点为的重心，所以，则.
因为三点共线，，
所以，.
所以.
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6.
故选：D
二、多选题
9．若直线与直线垂直，则的值可能是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】AC
【分析】根据互相垂直的两直线方程的性质进行求解即可.
【详解】依题意可得，解得或．
故选：AC
10．广东省2017到2022年常住人口变化图如图所示，则（ ）
A．广东省2017到2022年这6年的常住人口逐年递增
B．广东省2017到2022年这6年的常住人口的极差为1515万
C．从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为
D．广东省2017到2022年这6年的常住人口的第70百分位数为12656.80万
【答案】BCD
【分析】根据图中信息可判断A选项；将这6年的常住人口数按照从小到大的顺序排列，进而求得极差即可判断B选项；结合古典概型公式即可判断C选项；根据百分位数的定义可判断D选项.
【详解】对于A，由图可知，2021年到2022年常住人口在减少，故A错误；
对于B，将广东省2017到2022年这6年的常住人口（单位：万）按照从小到大的顺序排列为
11169.00，11346.00，11521.00，12601.25，12656.80，12684.00，
则极差为万，故B正确；
对于C，因为这6个数据中大于12000万的有3个，所以从这6年中任选1年，
则这1年的常住人口大于12000万的概率为，故C正确；
对于D，因为，所以第70百分位数为12656.80万，故D正确.
故选：BCD.
11．圆与圆的位置关系可能是（ ）
A．内含B．相交C．外切D．内切
【答案】ABD
【分析】由圆的一般方程可求得圆的圆心，由点和圆的位置关系可确定圆心在圆内部，由此可得两圆可能的位置关系.
【详解】由圆的方程可得：圆心，
，圆的圆心在圆的内部，
两圆的位置关系可能是内含、相交或内切.
故选：ABD.
12．在棱长为1的正方体中，，，则（ ）
A．当平面时，
B．的最小值为
C．当点到平面的距离最大时，
D．当三棱锥外接球的半径最大时，
【答案】AB
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
则．
当平面时，，解得，故A正确．
，当时，取得最小值，且最小值为，故B正确．
当是的中点，即时，平面底面，此时，点到平面的距离最大，故C错误．
因为，所以过斜边的中点作平面的垂线，则外接球的球心必在该垂线上，所以球心的坐标可设为，半径为，
因为，所以，
所以．在三棱锥中，，所以，当且仅当时，等号成立，故D错误．
故选：AB
三、填空题
13．若是奇函数，且，则 .
【答案】
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】因为是奇函数，所以，
由，即，
所以，则.
故答案为：.
14．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】利用空间向量求异面直线夹角即可.
【详解】由题意可知：，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为．
故答案为：
15．直线的倾斜角为 .
【答案】
【分析】根据题意，求得直线的斜率为，结合直线倾斜角的定义，即可求解.
【详解】由直线，可得直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
答案为：.
16．若曲线与圆恰有4个公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据直线和圆有两个公共点可列出不等式，从而求出的取值范围.
【详解】因为曲线与圆恰有4个公共点，
所以直线，均与圆相交，且两直线的交点不在该圆上，
则有,解得．
故答案为:.
四、解答题
17．已知直线经过直线：与直线：的交点．
(1)若直线经过点，求直线在轴上的截距；
(2)若直线与直线：平行，求直线的一般式方桯．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两点求出斜率，应用点斜式求出直线方程；
（2）根据两直线平行，得到平行的直线系方程，代点解出参数即可.
【详解】（1）由解得
即和的交点坐标为，
因为直线经过点，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，得，所以直线在轴上的截距为．
（2）因为直线与直线：平行，
所以可设直线的方程为，
又直线经过点，所以，得，
所以直线的一般式方程为.
18．分别为内角的对边.已知.
(1)求；
(2)若为钝角，且，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得，由二倍角余弦公式可求得结果；
（2）由同角三角函数关系可得，利用余弦定理可求得，由此可得三角形周长.
【详解】（1）由正弦定理得：，
，，，解得：，
.
（2）由（1）知：，
为钝角，，
由余弦定理得：，，
的周长为.
19．如图，在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，．
(1)证明：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，给合三角形中位线定理、平行线的性质进行证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以．
在正三棱柱中，
所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）取的中点，连接．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，．
设平面的法向量为，
则
取，则
易知是平面的一个法向量，
所以．
故平面与平面夹角的余弦值为．
20．已知圆与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线所得弦长等于2．
(1)求圆的标准方程；
(2)求圆截直线所得弦长；
(3)若是圆上的一个动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)21
【分析】（1）设圆心为，则，，半径为，且圆心在，从而求出，得到圆的方程；
（2）设，得到，得到最小值.
【详解】（1）因为圆与两坐标轴的正半轴都相切，设圆心为，
则，，半径为，
故圆的方程为，
又，圆心在上，故直径为2，
故半径，所以圆的方程为；
（2）圆心到的距离为，
则圆截直线所得弦长为.
（3）是圆上的一个动点，故设，
则
，
其中，
当时，取得最小值，
最小值为.
21．如图，在底面为梯形的四棱锥中，底面，.
(1)证明：平面.
(2)延长至点，使得，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，由点到平面的距离公式求解即可.
【详解】（1）证明：因为，所以.
因为底面，所以，
因为，平面，所以平面，
又，所以平面.
（2）解：以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.
设平面的法向量为，
则，即令，得.
因为，所以点到平面的距离.
22．已知圆.
(1)证明：圆恒过两个定点.
(2)当时，若过点的直线与圆交于两点，且等于直线的斜率，求直线的斜率.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）圆的方程可化为，令，解得即可证明结论成立；
（2）由题意设出直线方程，然后直线与圆联立方程组，消掉以后得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系化简求值即可，注意一元二次方程有两个解，则.
【详解】（1）证明：圆的方程可化为.
令得或，
故圆恒过两个定点，且这两个定点的坐标为和.
（2）解：当时，圆的方程可化为.
由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
联立消去得，
所以，解得.
因为，所以，解得，又，所以.