2023-2024学年吉林省辽源市西安区田家炳高级中学校高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省辽源市西安区田家炳高级中学校高二上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线与直线之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用两条平行线的距离公式求解即可．
【详解】∵直线不同时为0与直线不同时为0,之间的距离，
∴直线与直线之间的距离．
故选：C．
【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式，应用公式得前提是x、y的系数必须一致，属于基础题．
2．已知直线：，和直线：垂直，则（ ）．
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】根据两直线垂直，得到方程，求出得或1.
【详解】因为直线和直线垂直，故，解得或1，
经检验，符合要求.
故选：C
3．经过点，且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，设所求直线方程为，将点代入求参数，即得方程.
【详解】令所求直线方程为，则，
所以，所求直线为（或）.
故选：A
4．已知直线与平行，则（ ）
A．2B．3C．D．2或
【答案】A
【分析】由直线平行的条件求解即可.
【详解】因为，所以，解得或．当时，与重合．故．
故选：A
5．直线截圆所得的弦长为，则的值为（ ）
A．－1B．1
C．3D．－3
【答案】B
【分析】利用圆的性质计算即可.
【详解】易知圆心为，半径，而直线截圆所得的弦长为等于直径，
故直线过圆心，
所以有.
故选：B
6．过圆与圆交点的直线方程为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】联立两圆方程求出交点坐标，再根据两点式求出直线方程，化为一般式可得解.
【详解】联立，解得或，
所以圆与圆交点为和，
所以过两圆交点的直线方程为，即.
故选：C
7．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义列式计算得解.
【详解】椭圆的长轴长，而点到椭圆一个焦点的距离为7，
所以到另一个焦点的距离为.
故选：A
8．已知椭圆中，长轴长为10，离心率为，则焦距为（ ）
A．5B．10C．5D．5
【答案】A
【分析】根据椭圆长轴和离心率的概念即可求解.
【详解】，所以；又因为，
得，所以.
故选：A.
二、多选题
9．如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．平面
D．直线与直线所成角的余弦值为
【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由空间向量的关系判断空间位置关系，A选项，根据得到A正确；B选项，求出平面的法向量，由得到B错误；C选项，根据，得到直线与直线不垂直；D选项，利用空间向量夹角余弦公式进行计算.
【详解】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则.
.
A选项，因为，所以，A正确.
B选项，设平面的法向量为，
则，
令得，，故，
因为，
所以与不垂直，则直线与平面不平行，错误.
C选项，若平面，则.
因为，所以直线与直线不垂直，矛盾，C错误.
D选项，，D正确.
故选：AD
10．关于椭圆，以下说法正确的是（ ）
A．长轴长为4B．焦距为
C．离心率为D．左顶点的坐标为
【答案】ABC
【分析】根据椭圆方程确定，再根据椭圆的性质，即可求解.
【详解】由条件可知，，，那么，
所以长轴长，焦距，离心率，左顶点，
故ABC正确，D错误.
故选：ABC
11．已知圆的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．该圆的面积为B．点在该圆内
C．该圆与圆相离D．直线与该圆相切
【答案】BD
【分析】首先将圆的方程写为标准方程，得出圆心坐标和半径，对于A，根据圆的面积公式即可判断；对于B，将点代入，判断与的大小，即可得出结论；对于C，求出两圆心之间的距离，判断是否大于两圆半径之和；对于D，根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离是否等于半径，即可判断．
【详解】，可知圆心为，半径；
对于A：由圆的半径，得该圆的面积为，故A错误；
对于B：因为，所以点在该圆内，故B正确；
对于C：圆的圆心为，半径为1，
因为两圆心距离为，且，所以两圆相交，故C错误；
对于D：圆心到直线的距离，
所以直线与该圆相切，故D正确，
故选：BD．
12．已知圆：，直线：，则（ ）
A．直线在y轴上的截距为1
B．直线的倾斜角为
C．直线与圆有2个交点
D．圆上的点到直线的最大距离为
【答案】ABC
【分析】根据截距，倾斜角的定义，判断AB；根据直线与圆的位置关系，即可判断CD.
【详解】A.当时，，直线在y轴上的截距为1，故A正确；
B.直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，，，所以直线的倾斜角为，故B正确；
C.圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以直线与圆有2个交点，故C正确；
D.根据C可知，圆上的点到直线的最大距离为，故D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解.
【详解】根据题意，要使方程表示焦点在轴上的椭圆，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：
14．若圆 与圆相外切，则的值为
【答案】2
【分析】利用圆与圆的位置关系求解.
【详解】圆 的标准方程为：，
则其圆心为，半径为 ，
因为圆 与圆相外切，
所以，
解得，
所以的值为2，
故答案为：2
15．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点．则与所成角的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】建立空间直角坐标系，求得，从而利用向量的夹角公式求解.
【详解】依题意，建立如图所示空间直角坐标系，

则
，
则，
故，
所以，
即与所成的角的余弦值为.
故答案为：.
16．圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ．
【答案】
【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程.
【详解】圆经过点和，，AB中点为，
所以线段AB的垂直平分线的方程是．
联立方程组，解得．
所以，圆心坐标为，半径，
所以，此圆的标准方程是．
故答案为：
四、解答题
17．求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率.
(1)；
(2).
【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为
(2)长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为
【分析】（1）确定椭圆方程，直接计算得到答案；
（2）确定椭圆方程，直接计算得到答案；
【详解】（1）将化为标准方程为：，
所以，，则，
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，
离心率为，
椭圆图象如下：
（2）将化为标准方程为：，椭圆的焦点落在轴上，
所以，，则，
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，
离心率为，
椭圆图象如下：
18．已知△ABC的三个顶点A（3，7），B（–2，5），C（–3，–5），点D为AC的中点．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线BD的方程．
（3）求△ABD的面积．
【答案】(1) 点D的坐标为（0，1）;(2) 2x+y–1=0;(3)12.
【分析】（1）利用中点坐标公式求得点的坐标.（2）利用点斜式求得直线的方程.（3）利用两点间的距离公式求得的长度，利用点到直线的距离公式求得到直线的距离，再利用三角形的面积公式求得面积.
【详解】（1）设D（x，y），
则，，
∴点D的坐标为（0，1）．
（2）∵直线BD的斜率为．
∴直线BD的方程为：y–1=–2（x–0），即2x+y–1=0．
（3）∵，
∴A到直线BD的距离为．
∴△ABD的面积为．
【点睛】本小题主要考查中点坐标公式，考查直线方程点斜式，考查点到直线的距离公式，属于基础题.
19．如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面ABCD，，，E是PD的中点．

(1)求证：
平面PAD；
(2)求二面角
的余弦值：
(3)求B点到平面EAC的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算，得到与；
（2）分别求出平面EAC的法向量与平面ACD的法向量，利用空间向量中二面角的计算公式，求出二面角的余弦值；
（3）利用空间向量中点到面的距离公式，列出计算公式，计算可得答案.
【详解】（1）
因为平面ABCD，AB， 平面ABCD，
所以，，
由于四边形ABCD是矩形，所以，
由此，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
因为，所以，
由于，所以，
由于，AD，平面PAD，
所以平面PAD；
（2）由（1）得，设平面ACE的法向量，，，
则，即，不妨令，可得，
且为平面ABC的一个法向量，
于是，
所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为；
（3）设B点到平面ACE的距离为d，由（2）可知平面ACE的法向量，，
设B点到平面EAC的距离为d，则，
所以B点到平面EAC的距离为.
20．已知圆，直线l过点.
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程.
【答案】(1)圆C的圆心坐标是，半径为2
(2)或
【分析】（1）化成圆的标准方程可得答案；
（2）直线l的斜率不存在时可直接得答案；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，利用点到直线的距离公式计算可得答案.
【详解】（1）将圆C的方程化成标准式方程得，
圆C的圆心坐标是，半径为2；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
由圆心到直线l的距离等于圆C的半径，
可得，解得，
故直线l的方程是.
综上所述，直线l的方程是或.
21．如图，在四棱锥中，平面，，，且.

(1)求证：；
(2)若点M为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由勾股定理逆定理证明，进一步由已知条件证明，由线面垂直判定定理可证明平面，进而即可得证.
（2）建立适当的空间直角坐标系，设平面的法向量为，直线与平面所成角为，先后分别求出后，由公式即可求解.
【详解】（1）四边形是直角梯形，，
，
又 ，
是直角三角形，即；
平面平面，
又平面，
平面，
又平面，
．
（2）由（1）可知，，
又平面平面，
所以，
所以两两互相垂直，
故以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则由题中线段长度可知，
∴，
．
设平面的法向量为，
则即，
令，则解得，
于是，取．
设直线与平面所成角为，则；
故直线与平面所成角的正弦值为．
22．已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由焦点和离心率即可求出，从而可得椭圆方程；
（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点直线的距离公式，结合韦达定理，把面积表示为的函数，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）由已知得，又离心率，得到，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，
联立，消得，
，得到，
由韦达定理得，，
又因为，
又原点到直线的距离为，
所以，
当且仅当，即，满足，
所以，面积的最大值为，此时直线的方程为.