2023-2024学年江苏省扬州市邗江区一中高二上学期期中调研测试数学含答案

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市邗江区一中高二上学期期中调研测试数学含答案，共33页。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过点且倾斜角为的直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D. 且
4. 已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 过直线上的点P作圆的两条切线，，当直线，关于直线对称时，两切点间的距离为（ ）
A. 1B. 2C. D.
6. 为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（ ）
A. 2mB. 3mC. 2.5mD. 1.5m
7. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（ ）
A. －2B. －1C. －1或3D. 3
8. 已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. （多选）过定点（2，3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为（ ）
A. B.
C D.
10. 已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线不可能是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知经过点的圆C的圆心坐标为 (t为整数)，且与直线l： 相切，直线m：与圆C相交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A. 圆C的标准方程为
B. 若，则实数a的值为
C. 若，则直线m的方程为或
D. 弦AB中点M的轨迹方程为
12. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A. 直线的斜率为B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若直线斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是_____.
14. 已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．
15. 由曲线围成的图形的面积为______.
16. 动点分别与两定点，连线斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的取值范围为____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知的三个顶点是，，.求：
（1）边上的中线所在直线方程；
（2）边上的高所在直线方程.
18. 求适合下列条件圆锥曲线的标准方程：
（1）求椭圆的标准方程：以点，为焦点，经过点.
（2）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的标准方程.
（3）求双曲线的标准方程：经过点，.
19. 已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，
（1）当时，求直线l的方程；
（2）求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．
20. 已知圆，圆
（1）若圆、相切，求实数的值；
（2）若圆与直线相交于、两点，且，求的值.
21. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且点在该双曲线上.直线交C于P，Q两点，直线的斜率之和为
（1）求该双曲线方程；
（2）求的斜率；
22. 已知椭圆的长轴长为4 ，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，为原点，求面积的最大值.
邗江区2023—2024学年度第一学期期中调研试题
高 二 数 学
全卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过点且倾斜角为的直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；
【详解】由倾斜角为知，直线的斜率，
因此，其直线方程为，即
故选：B
2. 已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】就是到原点距离，只需求出原点到直线的距离即可.
【详解】就是到原点距离，
到原点距离的最小值为
则的最小值为2，
故选：B
3. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据焦点在轴上的椭圆方程满足的条件建立不等关系，进而求解结论．
【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得且.
故选：D.
4. 已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由结合抛物线的定义可求出的值，进而可求的坐标.
【详解】因为是抛物线：的焦点，所以，
又，由抛物线的定义可知，解得，所以.
故选：A
5. 过直线上的点P作圆的两条切线，，当直线，关于直线对称时，两切点间的距离为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两条切线关于直线对称，可确定与直线互相垂直，即可求得得长，再结合直角三角函数和垂径定理，即可求解.
【详解】依题意，设两切点分别为、，并连接交于点，作出示意图：

当直线，关于直线对称时，则两条直线，与直线的夹角相等，且与直线互相垂直，
的长为圆心到直线的距离，即，
又圆的半径，在中，，故，
结合垂径定理得，即两切点间的距离为，
故选：D.
6. 为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（ ）
A. 2mB. 3mC. 2.5mD. 1.5m
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得的高度．
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为，
因为点，所以，解得，所以抛物线方程为，
点在抛物线上，所以，解得，
所以，所以管柱的高度为．
故选：B．
7. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（ ）
A. －2B. －1C. －1或3D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心，求出三角形欧拉线，根据直线平行得解.
【详解】由的顶点，，知，
重心为，即，
又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点，即，
所以可得的欧拉线方程，即，
因为与平行，
所以，
解得，
故选：B
8. 已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由点坐标求得点坐标，然后代入椭圆的方程，化简求得椭圆的离心率.
【详解】由令，得，
由于与轴平行，且在第一象限，所以.
由于，
所以，
即，将点坐标代入椭圆的方程得，
，
，
所以离心率.
故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. （多选）过定点（2，3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】设所求的直线方程为，求出横截距，纵截距，再由过点的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，求出，即得解.
【详解】由题意，直线不与坐标轴垂直，
设所求的直线方程为，当时，得横截距，
当时，得纵截距，
因为过点的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，
所以，所以或，
所以，或或，
所以直线的方程为或或.
故选：ABC.
10. 已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先变形得到，对四个选项一一分析，得到答案.
【详解】变形得到，
A选项，双曲线交点在轴上，故，
此时应该经过第一，二，四象限，A不可能；
B选项，椭圆焦点在轴上，故，
此时经过第一，二，三象限，B不可能；
C选项，双曲线交点在轴上，故，
此时应该经过第一，三，四象限，C可能；
D选项，椭圆焦点在轴上，故，
此时经过第一，二，三象限，D不可能；
故选：ABD
11. 已知经过点的圆C的圆心坐标为 (t为整数)，且与直线l： 相切，直线m：与圆C相交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A. 圆C的标准方程为
B. 若，则实数a的值为
C. 若，则直线m的方程为或
D. 弦AB的中点M的轨迹方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，设圆C的半径为r，由题意得出圆C的方程，即可根据已知点是圆C上的点，且圆C与直线l： 相切，列方程组解出t，r的值，即可得出圆C的标准方程；
对于B，根据已知与得出线段AB为圆C的直径，即可根据直线m与圆C相交于A、B两点，得出圆心C在直线m上，代入求解即可得出a的值；
对于C，利用点到直线距离公式得出圆心C到直线m的距离d的式子，根据弦长结合勾股定理得出d的值，即可列式得出a，即可得出直线m的方程；
对于D，转化直线m的方程得出直线m过定点，根据圆的性质可得，即可根据圆的性质得出点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，即可得出该圆的方程，注意此方程是有范围的，根据两圆的交点坐标得出范围，即可判断.
【详解】对于A，设圆C的半径为r，由题意可得圆C的方程为(t为整数)，
根据点是圆C上的点，且圆C与直线l： 相切，
得，解得，或（舍去），
则圆C的标准方程为，故A错误；
对于B，由选项A知圆C的标准方程为，圆心，
点在圆C上，且，
线段AB为圆C的直径，
直线m：与圆C相交于A、B两点，
圆心在直线m上，
，解得，故B正确；
对于C，由选项A知圆C的半径为2，圆心，
则圆心C到直线m的距离，
，即，解得，
，整理得，解得或，
则直线m的方程为或，故C正确；
对于D，直线m的方程可化为，过定点，
由圆的性质可得，
点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，
则此圆圆心为线段CN的中点，其坐标为，半径为，
则该圆的方程为，
由，得两圆的交点坐标为与，
故弦AB的中点M的轨迹方程为，，故D错误；
故选：BC.
12. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A. 直线的斜率为B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若直线的斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系来得答案.
【详解】，且，
或，
即的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．
【答案】2
【解析】
【详解】由题意，得e＝＝＝＝2.
15. 由曲线围成的图形的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可，结合圆的方程运算求解.
【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可，
当，时，曲线可化为：，
表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆，
则第一象限围成的面积为，
故曲线围成的图形的面积为.
故答案为：.
16. 动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知可求得点的轨迹方程为（），即椭圆.根据椭圆的定义转化为求的最值，结合图象，即可得出答案.
【详解】设，，则，，
由已知可得，，即，
整理可得，.
所以，点的轨迹方程为（）.
所以，，，，所以.
则为椭圆的左焦点，设右焦点为，
根据椭圆的定义有，
所以，
所以，.
①当时，根据三边关系可知有，
当且仅当三点共线时，等号成立，
即位于图中点时，有最大值为，
所以，；
②当时，根据三边关系可知有，
所以，当且仅当三点共线时，等号成立，
即位于图中点时，有最小值为，
所以，.
综上所述，.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知的三个顶点是，，.求：
（1）边上的中线所在直线方程；
（2）边上的高所在直线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出点的坐标为，由两点式斜率公式求出的斜率，代入点斜式即可求解.
（2）由两点式斜率公式求出斜率，利用垂直关系得的斜率，代入点斜式即可求解.
【小问1详解】
由题知的中点，所以直线的斜率，
则边上的中线所在直线的方程为，化简得.
【小问2详解】
由题意得直线AC的斜率，且，所以.
则边上的高所在直线的方程为，化简得.
18. 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）求椭圆的标准方程：以点，为焦点，经过点.
（2）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的标准方程.
（3）求双曲线的标准方程：经过点，.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义可求，再求出后可求椭圆的标准方程.
（2）根据抛物线的定义和性质，选择合适的条件进行求解即可；
（3）设所求方程为，代入点求解.
【小问1详解】
设椭圆的标准方程为，焦距为.
由题意有，，，
所以，，
故椭圆的标准方程为.
小问2详解】
由抛物线的定义可得，∴，解得，
故抛物线的标准方程为.
【小问3详解】
设所求双曲线方程为，
则，解得，所以双曲线方程为.
19. 已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，
（1）当时，求直线l的方程；
（2）求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．
【答案】（1）或
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）解法1：分l斜率不存在和存在两种情况讨论，根据即可求出l的方程；解法2：根据题意可知l斜率存在时，斜率不为0，由此可设，根据即可求出l的方程；
（2）几何法：取AB的中点M，则M为以AB为直径的圆的圆心，过M作MN⊥准线于N，过A作⊥准线于，过B作⊥准线于，根据梯形的性质即可证明；
代数法：设，求出和中点M到准线的距离d，根据d和关系即可证明．
【小问1详解】
解法1：由题意，可得，，
当l斜率不存在时，l为，由得，故，与题意不符．
当直线l斜率存在时，设，
∴，
设则，
根据抛物线的定义可得，，
则，解得．
∴直线l的方程为或．
解法2：由题意，可得，∵直线l与抛物线相交于A，B，∴l斜率存在时，斜率不为0，故可设，
则，
设则
∴，解得．
则直线l的方程为或．
【小问2详解】
几何法：取AB的中点M，则M为以AB为直径的圆的圆心，设，过M作MN⊥准线a于N，过A作⊥准线a于，过B作⊥准线a于，
根据梯形的性质和抛物线的定义可得，即得证．
代数法：设，弦AB的中点为M，则M为以AB为直径的圆的圆心，其横坐标为，
∵直线l与抛物线相交于A，B，∴l斜率存在时，斜率不为0，故可设，
则，
则，
则M到准线的距离为．
又，
故，即以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．
20. 已知圆，圆
（1）若圆、相切，求实数的值；
（2）若圆与直线相交于、两点，且，求的值.
【答案】（1）或；
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出圆和圆的圆心和半径，求出圆心距，分外切和内切两种情况，得到方程，求出m的取值；
（2）求出圆心距，利用垂径定理得到方程，求出的值.
【小问1详解】
已知圆变形为，
圆的圆心为，半径，
圆的圆心，半径为，圆心距，
当两圆外切时，有，即，解得，
当两圆内切时，有，即，解得，
故m的取值为或
【小问2详解】
因为圆与直线相交于、N两点，且，
而圆心到直线的距离，
有，即，解得：或.
21. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且点在该双曲线上.直线交C于P，Q两点，直线的斜率之和为
（1）求该双曲线方程；
（2）求的斜率；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知列出关系式，求出，然后将点的坐标代入方程，即可得出答案；
（2）解法一：设，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得出坐标之间的关系.由已知斜率之和为0，列出方程，化简得出或.检验即可得出答案；解法二：设直线PA方程：，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得出点的坐标.同理得出点的坐标，进而代入斜率公式，化简即可得出答案.
【小问1详解】
双曲线的渐近线是 ，即，
根据对称性，不妨取右焦点，
则焦点到渐近线的距离为：，
所以，双曲线C的方程为.
将点A代入双曲线方程得，得：，
故双曲线方程为.
【小问2详解】
解法一：
由题意可知直线l的斜率存在，设，
设，，则联立直线与双曲线得：
，
则，
又，
所以，.
由韦达定理可得，，
所以，
化简得：，
故，
整理可得，
解得或.
若，即时，
，即过A点，
显然直线l不过A点，故l的斜率
解法二：
设直线PA方程：，
将代入双曲线，化简得：
，
且有，.
由韦达定理可得，
所以有，，.
以 ，可得
所以，.
22. 已知椭圆的长轴长为4 ，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，为原点，求面积的最大值.
【答案】（1）；
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，从而得到，求出椭圆方程；
（2）法1和法2，由题意得到直线AB的斜率存在，设出直线方程，联立椭圆方程，由根的判别式得到斜率的取值范围，并得到两根之和，两根之积，表达出，换元后，利用基本不等式求出最值，得到答案.
【小问1详解】
由题意得，解得，
故，
故椭圆方程为；
小问2详解】
法1，由题意，当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去，
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为：，
联立消去得，，
设，
，解得，
，
，
所以，
点到直线的距离，
所以，
设，则，
，
当且仅当，即时等号成立，即，
解得时取等号，满足，
所以的面积最大为1.
法2，由题意，当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去，
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为：，
联立消去得，，
设，
，解得，
，
，
，
设，则，
，
当且仅当，即时等号成立，即，
解得时取等号，满足，
所以的面积最大为1.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．