2023-2024学年内蒙古部分名校高二上学期期中联合考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古部分名校高二上学期期中联合考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线经过两点，，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角与斜率关系，及两点求斜率确定倾斜角的大小.
【详解】由题设，若直线的倾斜角为且，则，
所以.
故选：D
2．椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆方程及离心率公式确定离心率即可.
【详解】由椭圆方程知：，故离心率为.
故选：B
3．双曲线的实轴长比虚轴长短（ ）
A．4B．2C．10D．20
【答案】A
【分析】根据双曲线方程求出实轴长和虚轴长，进而求解即可.
【详解】由双曲线，则，，
即，
所以实轴长为，虚轴长为，
所以实轴长比虚轴长短4.
故选：A.
4．若为抛物线上一点，且到焦点的距离为9，则到轴的距离为（ ）
A．7B．10C．8D．9
【答案】C
【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果.
【详解】根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以到轴的距离为．
故选：C
5．圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．相交B．外离C．内含D．外切
【答案】C
【分析】利用圆与圆的位置关系求解.
【详解】由题意知：圆的圆心：，半径：，
圆的圆心：，半径：，
两圆圆心距为：，
故两圆内含.故C项正确.
故选：C.
6．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】化抛物线方程为标准形式，再求出其准线方程即得.
【详解】抛物线的标准方程为，所以其准线方程为.
故选：B
7．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（ ）
A．15B．3C．3或15D．5或12
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义即可得解.
【详解】设的左,右焦点分别为，则.
因为，所以，则点在左支上，
所以，故.
故选：A.
8．在三棱柱中，D，E，F，G分别为棱，，，的中点，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，用将，, 表示出来，代入即可得出答案.
【详解】由D，E，F，G分别为棱，，，的中点可得：
①
②
③
由①② 可得： ④
由②③ 可得：,即 ⑤
④+⑤ 可得，从而，
又
故选：C
二、多选题
9．若方程表示椭圆，则实数的取值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】ABD
【分析】根据椭圆的标准方程的特征可得，进而求解即可得到答案．
【详解】由方程表示椭圆，
即方程表示椭圆，
则，解得且，
所以结合选项可得实数的取值可能是3，4，6．
故选：ABD．
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则
B．向量，，则在上的投影向量为
C．向量，，共面
D．平面的一个法向量为，为内的一点，则点到平面的距离为2
【答案】BCD
【分析】应用向量数量积的坐标运算求判断A；由投影向量的定义求在上的投影向量判断B；由向量共面定理有，应用坐标运算列方程求参数判断C；由空间点与平面距离的向量求法求点面距判断D.
【详解】A：由，故，故或，错；
B：由题设在上的投影向量，对；
C：若向量共面，则存在，，即，
所以，得，对；
D：由题设，故点到平面的距离为，对.
故选：BCD
11．直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】分直线过原点和不过原点讨论，当直线不过原点时，设出直线方程，代入点即可求解.
【详解】若直线过原点，则在两坐标轴上的截距为0，满足题意，
此时直线斜率，方程为，即；
若直线不过原点，当在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，
则，解得，此时方程为；
当在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，
则，解得，此时方程为.
综上，直线的方程为或或.
故选：ACD
12．在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为
B．直线，所成角的余弦值为
C．的最小值为
D．当，，，四点共面时，
【答案】AC
【分析】以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求点Q到平面的距离，然后可得三棱锥的体积，可判断A；利用向量法求，即可判断B；利用两点间距离公式和二次函数性质可判断C；根据四点共面求出点Q坐标，然后由向量数量积即可判断D.
【详解】以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
，
设，则，
设为平面的法向量，
则，取得，
所以，点Q到平面的距离，
易知，所以，
所以，A正确；
因为，
所以直线，所成角的余弦值为，B错误；
由上可知，，
所以，
由二次函数性质可知，当时，有最小值，最小值为，C正确；
当，，，四点共面时，则有，
因为，
所以，
即，解得，
此时，，又，所以，
因为，
所以与不垂直，D错误.
故选：AC
三、填空题
13．椭圆的短半轴长为 ．
【答案】
【分析】由椭圆的标准方程可得解.
【详解】由，可得，，
所以椭圆的短半轴长为.
故答案为：.
14．双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】把双曲线方程化成标准形式，再求出离心率即得.
【详解】双曲线，即，实半轴长、虚半轴长有：，
所以离心率.
故答案为：
15．圆：关于直线：对称的圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据已知圆方程确定圆心和半径，利用对称性求对称圆的圆心和半径，即可得结果.
【详解】由题设圆，故且半径为5，
设对称圆的圆心为，则在上，且两圆心所在直线与已知直线垂直，
所以，且，可得，
显然，对称圆的半径也为5，则所求圆的方程为.
故答案为：
四、双空题
16．永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 ；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，将点带入解析式，求出，得到焦点到准线的距离；当水面下降时，，求出，得到水面宽度.
【详解】
如图，以拱顶为原点，建立直角坐标系.
设抛物线方程为，由题意可知抛物线过点，
得，得，所以抛物线方程为，
所以该抛物线的焦点到准线的距离为.当水面下降时，，则，得，所以水面的宽度为.
故答案为：；
五、解答题
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过，；
(2)长轴长是焦距的3倍，且经过点．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）设椭圆方程为，将点代入列方程求参数，即得方程；
（2）由题设，讨论焦点位置设椭圆方程，将点代入求椭圆标准方程.
【详解】（1）令椭圆方程为，则，
所以椭圆标准方程为.
（2）由题设，，则，
若焦点在x轴上，令，则，此时标准方程为；
若焦点在y轴上，令，则，此时标准方程为；
综上，椭圆方程为或.
18．已知抛物线的焦点为是上的点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点在抛物线上，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线焦半径公式求得，从而得解；
（2）利用两点距离公式，结合题意得到，再由通径长得轴，从而利用勾股定理即可得解.
【详解】（1）因为抛物线的准线方程为，，
因为，解得，
故抛物线的方程为.
（2）由（1）知，
因为，所以，
因为，所以，
因为抛物线的通径长，则轴，
所以.
19．已知直线经过点，且与直线垂直．
(1)求直线的一般式方程；
(2)已知圆与轴相切，直线被圆截得的弦长为4，圆心在直线上，求圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）依题意可设直线的方程为，然后将点的坐标代入可求出，从而可求得直线方程；
（2）设圆的方程为，则，再根据弦长，圆心距和半径的关系列方程，和圆心在直线上所得到的方程，可求出，从而可求出圆的方程.
【详解】（1）依题意可设直线的方程为，
将点的坐标代入，得，
所以直线的一般式方程为．
（2）设圆的方程为，
因为圆与轴相切，所以，
圆心到的距离，
又圆心在直线上，所以，
所以，解得．
当时，，圆的标准方程为；
当时，，圆的标准方程为．
20．如图，在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，．

(1)证明：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，给合三角形中位线定理、平行线的性质进行证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以．
在正三棱柱中，
所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）取的中点，连接．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
，．
设平面的法向量为，
则
取，则
易知是平面的一个法向量，
所以．
故平面与平面夹角的余弦值为．
21．已知椭圆：的一个顶点为，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线交椭圆于M，N两点，且的中点为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中顶点和离心率可求解.
（2）利用“点差法”来求解直线与椭圆相交弦中的中点弦，从而求解.
【详解】（1）由题意知：，，得：，，
所以：椭圆的方程为：.
（2）设，，得：，，
因为点在椭圆上，则：
得：，化简为：，即：，
所以：直线的斜率：，又因为的中点在直线上，
所以：直线的方程为：，即：.
【点睛】对于直线与与椭圆相交弦中的中点弦，可采用“点差法”快速求解出直线的斜率，从而求解出直线方程.
22．已知双曲线的离心率为，虚轴长为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的方程求得三角形的面积，从而证得结论成立.
【详解】（1）因为双曲线的虚轴长为2，所以.
因为，且，
所以，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，的方程为，
此时.
当直线的斜率存在时，不妨设直线，且.
联立方程组，得.
由，得.
联立方程组，得.
不妨设与的交点为，则.
同理可求，所以.
因为原点到直线的距离，所以.
因为，所以，故的面积是定值，且定值为3.
【点睛】方法点睛：求解双曲线的标准方程，关键是根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“双曲线的离心率以及虚轴长”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得双曲线的标准方程.