2023-2024学年山东省日照市实验高级中学高二上学期期中模拟测试数学试题（二）含答案

2023-2024学年山东省日照市实验高级中学高二上学期期中模拟测试数学试题（二）一、单选题1．已知复数满足，其中为虚数单位，则等于A．10 B． C．5 D．【答案】D【详解】由题意，则，故选D．2．已知m为实数，直线，，若，则实数m的值A．2 B．1 C．1或2 D．0或【答案】B【分析】根据直线平行的等价条件，求出的值；【详解】解：当时，两直线方程分别为和，不满足条件．当时，则，，由得得或，由得，则，故选：B【点睛】本题考查两直线的位置关系求参数的值，属于基础题.3．已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（    ）A．7 B．14 C． D．【答案】B【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程，进而求解.【详解】设双曲线：，将代入可得.故双曲线：，则，则焦距.故选：B4．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得.【详解】依题意，.故选：B5．已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意求解圆，的公共弦方程，再计算圆中的公共弦长即可得圆C的直径，进而求得面积即可【详解】由题，圆，的公共弦为和的两式相减，化简可得，又到的距离 ，故公共弦长为，故圆C的半径为，故圆C的面积为故选：B6．设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，的坐标为（6，4），则的最大值为（    ）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】由椭圆的标准方程得到a、b、c，然后借助定义转化为求的最大值即可．【详解】如图所示，由椭圆可得：，，，，，由椭圆的定义可得：，，则的最大值为15，故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质，三角形三边大小关系，两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知，是异面直线，，，，，且，，则与所成的角是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先计算出 ,再根据计算夹角的余弦值，即可写出答案【详解】设 ，由，可得：，，故可得：，， ， 又 ， ，故与所成的角是.故选：C.8．已知点在离心率为的椭圆上，是椭圆的一个焦点，是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，若的最小值为1，则椭圆的焦距的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圆与圆相离且圆心距，以及的最小值为1，可得圆的直径，即的长，再由在椭圆上，可得，进而可求出结果.【详解】因为是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，又的最小值为1，所以，解得，又因在椭圆上，所以，因为离心率为，所以,所以，故，所以.故选C【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，做题的关键在于，由两圆相离先确定的长，进而可根据椭圆的性质，即可求出结果，属于常考题型.二、多选题9．给出下列命题，其中正确命题有（    ）A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底C．，，，是空间四点若不能构成空间的一个基底那么，，，共面D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底【答案】ACD【解析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；选项中，因为，根据空间基底的概念，可得不正确；选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．故选：ACD.【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10．如图所示，三棱锥中，为等边三角形，平面，，.点D在线段上，且，点E为线段SB的中点，以线段BC的中点为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴，过点作SA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ）A．直线CE的一个方向向量为 B．点D到直线CE的距离为C．平面ACE的一个法向量为 D．点D到平面ACE的距离为1【答案】ABD【分析】首先利用题目已经建好的坐标系，写出点的坐标，再利用空间向量分别求点D到直线CE的距离、点D到平面ACE的距离以及平面ACE的法向量，利用向量共线定理可以判断直线CE的一个方向向量.【详解】依题意，，，，，；若，则,则,，故A正确；，，，故D点到直线CE的距离 ，故B正确；设为平面的法向量，则，即，令，则为平面的一个法向量，故C错误；而，故点D到平面的距离，故D正确.故选：ABD11．下列说法正确的有（    ）A．直线过定点B．过点作圆的切线，则的方程为C．圆上存在两个点到直线的距离为2D．若圆与圆有唯一公切线，则【答案】AC【分析】A选项，直线化为点斜式，得到所过定点；B选项，利用圆心到直线距离等于半径求解切线方程；C选项，求出圆心到直线的距离，进而求出圆上的点到直线距离的最大值和最小值，进而得到答案；D选项，结合两圆内切，得到圆心距等于半径之差，求出的值.【详解】直线变形为过定点，A正确；当切线斜率不存在时，是圆的切线，当切线斜率存在时，设为，圆心到切线距离，解得：，此时的方程为，故的方程为或，B错误；圆心到直线的距离，故圆上的点到直线距离最大值为，最小值为，故存在两个点到直线的距离为2，C正确；圆的圆心为，半径为2，圆圆心为，半径为，要想两圆有唯一的公切线，则两圆内切，因为两圆圆心距为，所以，解得：，D错误.故选：AC12．已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，为坐标原点，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为，则（    ）A．B．直线与直线的斜率之积为C．直线与直线的斜率之积为D．若直线，，的斜率之和为，则的值为【答案】ACD【分析】由离心率以及即可判断A；设，，，则，，利用点差法可判断B；同理利用点差法可判断C；由 ，即可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：因为椭圆的离心率，所以，因为，所以，故选项A正确；对于B：设，，，则，，所以，，两式相减可得：，即，所以，，故选项B不正确；对于C:由选项B同理可得，故选项C正确；对于D：由选项B同理可知，可得，，由已知可得，即，所以，故选项D正确；故选：ACD.三、填空题13．已知直线的方向向量，则直线的倾斜角为 【答案】【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即得.【详解】由直线的方向向量，得直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故答案为：14．已知向量，，均为单位向量，且它们两两的夹角均为，其中，，则的值为 .【答案】【分析】直接根据数量积的定义及运算律计算即可.【详解】由已知得，.故答案为：.15．如图，分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为   【答案】【分析】根据椭圆的定义及直径所对的圆周角等于，利用勾股定理及锐角三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式及斜率的定义即可求解.【详解】连接，如图所示  设则，由椭圆的定义得所以在中，,所以,即，整理得，所以，所以直线的斜率为.故答案为：.16．如图，点，分别为正方体的棱，的中点，以正方体的六个面的中心为顶点构成一个八面体，若平面将八面体分割成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为，，则 .  【答案】【分析】如图，先作出平面截八面体的截面为，建立空间直角坐标系，用点到平面的距离为向量在法向量上的投影的长，再计算两部分的体积即得答案.【详解】正方体的六个面的中心为顶点构成的八面体中中间和上方的顶点分别为，如图，分别过作侧棱的平行线，分别与交于点，分别与交于点，得到矩形，  依题意，为的中点，为的中点，在矩形中，分别交于点，则分别为的中点，平面，则平面，将平面延展与交于点，于是平面截八面体的截面为，显然与相交于的中点，设为，则三点共线，在中,过作，如图，可得为的一个三等分点，  设正方体的棱长为2，则，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则， ，，设平面的法向量为，则，取，得，则点到平面的距离为向量在法向量上的投影的长，，又，即，，，，因此八面体在平面平面下方的部分的体积为，所以.故答案为：  【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.四、解答题17．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数(是的共轭复数).(1)设复数，求；(2)设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件，结合纯虚数和共轭复数的定义，求出，再结合复数模公式，即可求解；（2）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.【详解】（1）∵，∴.，为纯虚数，，解得，故，，则.（2），，复数所对应的点在第一象限，，解得，故实数的取值范围为.18．已知圆经过点和点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）求得线段的垂直平分线方程，联立方程组，求得圆心，根据，求得圆的半径，即可求得圆的方程；（2）根据题意，得到圆心到直线的距离为，①当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，根据点到直线的距离公式，列出方程，求得，进而得出直线的方程.【详解】（1）解：设的中点为，因为点和点，所以，即，又由，所以的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，联立方程组，解得，即圆心坐标，又由，即圆的半径为，所以圆的方程为.（2）解：过点的直线与圆相交于两点，且，所以圆心到直线的距离为，①当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，则圆心到直线的距离为，符合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，综上可得，直线的方程为或.19．如图所示，在三棱锥中，平面，点分别在棱上，满足，且．(1)求实数的值；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)．【分析】(1)先证明，建立空间直角坐标系求的坐标，由垂直关系的向量表示列方程求的值；(2)由条件求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）∵平面ABC，平面，∴，又∵，，平面，∴平面PCD，平面，∴．由条件可知CA，CB，CP两两互相垂直，故以C为坐标原点，以CA，CB，CP所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．所以，因为，所以，，，所以，∴．∵，，∴.∴．由，解得．（2）由（1）及条件可得，，，，．设平面PDE的法向量为，则令，得，，所以．又，∴，∴直线PB与平面PDE所成角的正弦值为．20．已知双曲线C：经过点，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：，试求和之间满足的关系式．【答案】(1)(2)【分析】（1）将点代入得，根据点到直线得距离公式可得，求得，即可得解；（2）设，联立方程，利用韦达定理求得，再根据，可得，计算从而可得出答案.【详解】（1）已知双曲线C：经过点，则，右顶点为，不妨取渐近线为，即，则，从而可解得，所以双曲线C的方程为；（2）设，联立，消得，则，则，，，因为，则，即，即，即，整理得，所以.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用待定系数法求双曲线的方程，考查了直线与双曲线的位置关系，解决第二问的关键在于由转化为，计算量比较大，有一定的难度.21．如图，已知正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面相互垂直.以为直径，在平面内作半圆（半圆位于的左侧）.点为弧上的一点.  (1)证明：平面ADF;(2)若点为弧的中点，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直，进而利用线线垂直即可求证线面垂直，即可求证.（2）根据二面角的几何法求解其平面角，进而由三角形的边角关系求解即可.【详解】（1）证明：由于平面平面，且两平面交线为，平面，，所以平面，又平面，所以，又在以为直径的半圆上，因此可以得到.又因为，平面，所以平面ADF.（2）  过在平面内作交的延长线于点，则平面，过作交于点，连接.由于平面，平面ABCD，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，即，又，所以就是所求二面角的平面角.点为弧的中点，设正方形的边长为2，则，，则，，，在中，，所以，即二面角的余弦值为.22．已知椭圆：，长半轴长与短半轴长的差为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若在轴上存在点，过点的直线分别与椭圆相交于、两点，且为定值，求点的坐标．【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得：a﹣b，，a2＝b2+c2．联立解得：a，c，b．可得椭圆C的标准方程．（2）设M（t，0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．分类讨论：①当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x＝my+t．与椭圆方程联立化为：（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0．△＞0．可得|PM|2（1+m2），同理可得：|PQ|2＝（1+m2）．把根与系数的关系代入，化简整理可得．②当直线l的斜率为0时，设P（2，0），Q（﹣2，0）．|PM|＝|t+2|，|QM|＝|2﹣t|．代入同理可得结论．【详解】（1）由题意可得：，，．联立解得：，，，∴椭圆的标准方程为：.（2）设，，．①当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：．联立，化为：．．∴，．，同理可得：．∴.∵为定值，∴必然有，解得．此时为定值，．②当直线的斜率为0时，设，．，．此时，把代入可得：为定值．综上①②可得：为定值，．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．