2023-2024学年安徽省天一大联考、皖豫名校联盟、卓越县中联盟高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省天一大联考、皖豫名校联盟、卓越县中联盟高二（上）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则AB−DB−AC=( )
A. ADB. CDC. BCD. DA
2.直线3x− 3y+1=0的倾斜角的大小为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
3.经过点A(1,2)，且以B(−1,1)为圆心的圆的一般方程为( )
A. x2+y2+2x−2y−3=0B. x2+y2−2x+2y−3=0
C. x2+y2+2x−2y−7=0D. x2+y2−2x+2y−7=0
4.设a∈R，则“a=1”是“直线(a+1)x+ay+3=0与直线2ax+y−5=0平行”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知向量a=(2,x,−2),b=(2,4,y)，若|a|=3，且a⊥b，则xy的值为( )
A. 0B. 4C. 0或4D. 1或4
6.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，且焦距为4，点M在C上，若|MF1|⋅|MF2|的最大值为25，则C的离心率为( )
A. 54B. 25C. 23D. 34
7.若直线y=m(x−1)+2与曲线y= 4−x2有且仅有两个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
A. (−∞,0)∪(43,+∞)B. (−∞,−43)∪(0,+∞)
C. [−23,0)∪(43,2]D. [−2,−43)∪(0,23]
8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点在圆(x+2)2+(y− 3)2=4上，则该椭圆的离心率不可能是( )
A. 13B. 12C. 33D. 32
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.过点P(2,1)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为( )
A. x+y−3=0B. x+y+3=0C. x−y−1=0D. x−2y=0
10.下列结论中正确的是( )
A. 若a=(−1,1,2)，b=(2,2,−1)分别为直线l，m的方向向量，则l⊥m
B. 若k=(−1,1,2)为直线l的方向向量，n=(3,1,1)为平面α的法向量，则l/​/α或l⊂α
C. 若n1=(4,−2,1)，n2=(−2,1,2)分别为两个不同平面α，β的法向量，则α/​/β
D. 若向量c=(s,1,t)是平面ABC的法向量，向量AB=(−1,2,0)，BC=(−1,1,1)，则t=1
11.已知圆C1：(x+1)2+(y−1)2=1与圆C2：x2+y2−2mx+4my+4m2−2m−1=0，则下列说法正确的是( )
A. 圆C2的圆心恒在直线x+2y=0上
B. 若圆C2经过圆C1的圆心，则圆C2的半径为12
C. 当m=−2时，圆C1与圆C2有4条公切线
D. 当m=0时，圆C1与圆C2的公共弦长为 3
12.法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心， a2+b2为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形G的四边均与椭圆C：x25+y24=1相切，则下列说法正确的是( )
A. C的蒙日圆的方程为x2+y2=9
B. 若G为正方形，则G的边长为3 2
C. 若圆(x−4)2+(y−m)2=4与C的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m=±3
D. 过直线l：x+2y−3=0上一点P作C的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN为直角时，直线OP(O为坐标原点)的斜率为−43
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面α的一个法向量为m=(2,−1,1)，点A(3,−2,1)，B(t,1,−2)在平面α内，则t= ______ ．
14.椭圆x24+y2=1的右焦点到直线y= 3x的距离是______ ．
15.已知P(x0,y0)(x0≠0)是圆M：(x−2)2+(y−1)2=9上的动点，a=y0+2x0，则实数a的取值范围是______ ．
16.已知椭圆C：x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，M是C上异于顶点的一点，O为坐标原点，E为线段MF1的中点，∠F1MF2的平分线与直线EO交于点P，当四边形MF1PF2的面积为2 2时，sin∠MF2F1= ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知圆M：x2+y2−2ay+b−4=0经过A(0,3)，B(2,1)两点．
(Ⅰ)求圆M的半径；
(Ⅱ)判断圆N：x2+(y+m2+2)2=1(m∈R且m≠0)与圆M的位置关系．
18.(本小题12分)
已知直线m：3x+4y+12=0和圆C：x2+y2+2x−4y−4=0．
(Ⅰ)求与直线m垂直且经过圆心C的直线的方程；
(Ⅱ)求与直线m平行且与圆C相切的直线的方程．
19.(本小题12分)
已知空间中三点A(2,−1,1)，B(1,1,0)，C(4,−3,3).设a=AB，b=AC．
(Ⅰ)求|2a−b|；
(Ⅱ)若2ka−b与a+kb互相垂直，求实数k的值．
20.(本小题12分)
已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．
(Ⅰ)求圆C的方程；
(Ⅱ)若直线l，l′都经过点(0,2)，且l⊥l′，直线l交圆C于M，N两点，直线l′交圆C于P，Q两点，求四边形PMQN面积的最大值．
21.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BA=BC，E为棱AB的中点，AC= 2AA1=2，二面角E−A1C−A的大小为π6．
(Ⅰ)求证：BC1/​/平面EA1C；
(Ⅱ)求直线B1C与平面EA1C所成角的正弦值．
22.(本小题12分)
已知圆C的圆心为C(a,b)(a>0且b>0)，ab=1，圆C与x轴、y轴分别交于A，B两点(与坐标原点O不重合)，且线段AB为圆C的一条直径．
(Ⅰ)求证：△AOB的面积为定值；
(Ⅱ)若直线x−y=0经过圆C的圆心，求圆C的方程；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，设P是直线l：x+2y+2=0上的一个动点，过点P作圆C的切线PG，PH，切点为G，H，求线段GH长度的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：AB−DB−AC=AB+BD−AC=AD−AC=CD．
故选：B．
运用向量加法法则、减法法则计算即可．
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：直线3x− 3y+1=0的斜率为3 3= 3，
因为倾斜角的范围为[0,π)，
所以其倾斜角为60°．
故选：B．
首先得到直线的斜率，然后可得答案．
本题主要考查了直线的斜率与倾斜角关系的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意得，圆的半径r=|AB|= (1+1)2+(2−1)2= 5，
所以圆的标准方程为(x+1)2+(y−1)2=5，
所以圆的一般方程为x2+y2+2x−2y−3=0．
故选：A．
根据两点间的距离公式求出圆的半径，结合圆的标准方程与一般方程之间的转化，即可求解．
本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：直线(a+1)x+ay+3=0与直线2ax+y−5=0平行的充要条件为(a+1)−2a2=0，
整理得2a2−a−1=0，解得a=1或−12，
故当a=1或−12时，两直线平行；
故“a=1”是“直线(a+1)x+ay+3=0与直线2ax+y−5=0平行”的充分不必要条件．
故选：A．
直接利用直线平行的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：直线平行的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：因为a=(2,x,−2)，且|a|=3，
所以 4+x2+4=3，解得x=±1，
又因为a⊥b，
所以a⋅b=4+4x−2y=0，
当x=1时解得y=4，此时xy=4；
当x=−1时解得y=0，此时xy=0．
故选：C．
由向量的模求出x的值，再由向量垂直求出y的值，最后求出xy即可．
本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意可知c=2，
又点M在椭圆C上，∴|MF1|+|MF2|=2a，
∴|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=a2=25，
当且仅当|MF1|=|MF2|=5时，等号成立，
∴a=5，又c=2，
∴椭圆C的离心率为ca=25．
故选：B．
根据椭圆的几何性质及基本不等式，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，基本不等式的应用，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：直线y=m(x−1)+2恒过定点P(1,2)，
曲线y= 4−x2表示以圆心为原点，半径为2的上半圆，
由直线与圆相切可得|2−m| 1+m2=2，解得m=0或m=−43，
当直线经过点(−2,0)时，−3m+2=0，解得m=23；
当直线经过点(2,0)时，m+2=0，解得m=−2．
由图象可得，0故选：D．
推得直线恒过定点P(1,2)，曲线y= 4−x2表示以圆心为原点，半径为2的上半圆，画出图形，考虑直线与半圆相切、分别经过点(−2,0)，(2,0)，可得所求取值范围．
本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系，考查方程思想、数形结合思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设椭圆的半焦距为c(c>0)，
在(x+2)2+(y− 3)2=4中，
令x=0，则y= 3，令y=0，则x=−1或−3，
故圆(x+2)2+(y− 3)2=4与坐标轴的公共点为(−3,0)，(−1,0)，(0, 3)，
又椭圆的焦点在x轴上，
①若椭圆的上顶点为(0, 3)，左焦点为(−3,0)或(−1,0)，即b= 3，c=3或c=1，
则a=2 3或a=2，离心率e= 32或12；
②若椭圆的左顶点为(−3,0)，左焦点为(−1,0)，则a=3，c=1，离心率e=13，
综上所述，该椭圆的离心率为 32或12或13．
故选：C．
先求出圆(x+2)2+(y− 3)2=4与坐标轴的公共点，再分情况讨论结合椭圆的离心率公式即可得解．
本题考查椭圆的几何性质，分类讨论思想，属中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为xa+yb=1，
由题可得2a+1b=1,|a|=|b|,
所以2a+1b=1,a=b或2a+1b=1,a=−b,
解得a=3,b=3或a=1,b=−1,
所以直线方程为x+y−3=0或x−y−1=0，故A，C正确；
当直线的截距为0时，设直线方程为y=kx，
由题可知k=12，故直线方程为x−2y=0，D正确．
故选：ACD．
利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设．
本题考查直线的方程的应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，若a=(−1,1,2)，b=(2,2,−1)分别为直线l，m的方向向量，
又a⋅b=−2+2−2=−2，∴l⊥m不成立，故A错误；
对于B，若k=(−1,1,2)为直线l的方向向量，n=(3,1,1)为平面α的法向量，
∴ k⋅n=−3+1+2=0，∴l//α或l⊂α，故B正确；
对于C，若n1=(4,−2,1)，n2=(−2,1,2)分别为两个不同平面α，β的法向量，
∵n1与n2没有倍数关系，∴α与β相交，故C错误；
对于D，若向量c=(s,1,t)是平面ABC的法向量，向量AB=(−1,2,0)，BC=(−1,1,1)，
∴c⋅AB=−s+2=0c⋅BC=−s+1+t=0，解得s=2，t=1，故D正确．
故选：BD．
对于A，利用直线的方向向量、直线与直线垂直的性质求解；对于B，利用线面的位置关系判断；对于C，利用面面间平行的性质判断；对于D，利用平面的法向量的性质判断．
本题考查直线的方向向量、直线与直线垂直的性质、线面的位置关系、面面间平行的性质、平面的法向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：C2：x2+y2−2mx+4my+4m2−2m−1=0，即(x−m)2+(y+2m)2=(m+1)2，(m≠−1)，
所以圆C2的圆心为(m,−2m)，恒在直线2x+y=0上，故选项A错误；
因为C1的圆心为(−1,1)在圆C2上，所以(−1−m)2+(1+2m)2=(m+1)2，
解得m=−12，所以C2的半径为|m+1|=12，故选项B正确；
当m=−2时，圆C2：(x+2)2+(y−4)2=1，圆心为(−2,4)，半径为1，
此时圆C1与圆C2的圆心距d= (−1+2)2+(1−4)2= 10>2，即大于两圆半径和，
所以圆C1与圆C2外离，圆C1与圆C2有4条公切线，故选项C正确；
当m=0时，圆C1：(x+1)2+(y−1)2=1，圆C2：x2+y2−1=0，两圆相交，
公共弦方程为x−y+1=0，圆C2的圆心到公共弦的距离d=1 2= 22，
所以圆C1与圆C2的公共弦长为2 12−( 22)2= 2，故选项D错误．
故选：BC．
先将圆C2：x2+y2−2mx+4my+4m2−2m−1=0的方程化为标准方程(x−m)2+(y+2m)2=(m+1)2，(m≠−1)，由此即可判断A；将圆C1的圆心坐标代入圆C2的方程即可求出参数m，从而可得圆C2的半径，由此即可判断B；判断此时两圆的位置关系即可判断C；先求出公共弦方程，然后由圆的弦长公式计算判断D即可．
本题考查圆与圆的位置关系，考查转化思想，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A项，
由题可知C的蒙日圆的半径为 a2+b2=3，则蒙日圆的方程为x2+y2=9，故A项正确；
对于B项，
若G为正方形，则G为C的蒙日圆的内接正方形，
设正方形G的边长为t(t>0)，由题可知t2+t2=(2r)2=36，解得t=3 2，故B项正确；
对于C项，
易知点(4,m)在圆x2+y2=9外部，所以若圆(x−4)2+(y−m)2=4与C的蒙日圆有且仅有一个公共点，
则两圆外切，所以 42+m2=3+2，解得m=±3，故C项正确；
对于D项，如图所示，
因为∠MPN为直角，且PM、PN是椭圆C的两条切线，
所以P在椭圆C的蒙日圆x2+y2=9上，
又因为P在直线l：x+2y−3=0上，
所以点P在直线l与椭圆C的蒙日圆的交点处，
设直线l与圆x2+y2=9交于A，B两点，
联立x+2y−3=0x2+y2=9，可得x1=−95y1=125或x2=3y2=0，
不妨设A(−95,125),B(3,0)，
所以当点P与点A或B重合时，∠MPN为直角，且kOA=−43,kOB=0，
所以直线OP的斜率为−43或0，故D项错误．
故选：ABC．
根据已知定义可判断A项，由正方形的对角线为C的蒙日圆的直径列方程即可判断B项，由两圆外切列方程即可判断C项，由点P在直线l与椭圆C的蒙日圆的交点处，列方程组求交点即可判断D项．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
13.【答案】6
【解析】解：根据题意，点A(3,−2,1)，B(t,1,−2)，则AB=(t−3,3,−3)，
平面α的一个法向量为m=(2,−1,1)，点A(3,−2,1)，B(t,1,−2)在平面α内，
则有m⋅AB=2(t−3)−3+(−3)=0，解可得：t=6．
故答案为：6．
根据题意，求出AB的坐标，由平面法向量的定义可得m⋅AB=2(t−3)−3+(−3)=0，解可得答案．
本题考查平面的法向量，涉及空间向量的垂直，属于基础题．
14.【答案】32
【解析】解：∵椭圆x24+y2=1中，a=2且b=1，c= 3，
∴椭圆的右焦点为F( 3,0)，
∴点F到y= 3x的距离d=3 3+1=32．
故答案为：32．
根据椭圆的几何性质，点到直线的距离公式，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，点到直线的距离公式的应用，属基础题．
15.【答案】(−∞,−125]∪[0,+∞)
【解析】解：设A(0,−2)，由题知圆M的圆心为M(2,1)，半径r=3，a表示直线PA的斜率，
不妨设过点A的圆的切线方程为y=kx−2，则圆心M到切线的距离d=|2k−2−1| k2+1=3，
解得k=0或k=−125，
结合图可知，实数a的取值范围为(−∞,−125]∪[0,+∞)．
故答案为：(−∞,−125]∪[0,+∞)．
由a=y0+2x0的几何意义可知其表示圆上的点P(x0,y0)与点(0,−2)所在直线的斜率，求出过点A的切线的斜率，结合图象即可求得结果．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】 63
【解析】解：如图：由题可知|F1F2|=2 3，|MF1|+|MF2|=4．
因为MP平分∠F1MF2，所以P到MF1，MF2的距离相等，
设为h，则SMF1PF2=12(|MF1|+|MF2|)h=2h，
易知OE是△F1MF2的中位线，延长F1P，MF2交于点G，则P为F1G的中点，
过F1作F1H⊥MG于H，
易得|F1H|=2h=|F1F2|sin∠MF2F1，
则SMF1PF2=2 3sin∠MF2F1=2 2，从而sin∠MF2F1= 63．
故答案为： 63．
根据定义结合中位线及面积公式计算正弦值即可．
本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的数学运算与逻辑推理等核心素养，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)圆M：x2+y2−2ay+b−4=0经过A(0,3)，B(2,1)两点，
可得0+9−6a+b−4=0，5−2a+b−4=0，
解得a=1，b=1，
则圆M的方程为x2+y2−2y−3=0，即有圆心M(0,1)，半径r1=2；
(Ⅱ)圆N：x2+(y+m2+2)2=1(m∈R且m≠0)的圆心N(0,−m2−2)，半径r2=1，
|MN|=m2+3>r1+r2=3，
可得圆M与圆N相离．
【解析】(Ⅰ)运用代入法，解方程求得a，b的值，进而得到圆M的圆心和半径；
(Ⅱ)求得圆N的圆心和半径，计算|MN|，与两圆的半径之和比较，可得结论．
本题考查圆的方程和性质，以及两圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由两条直线垂直的性质，
又直线m：3x+4y+12=0的斜率为−34，可得与直线m垂直的直线的斜率为43，
设与直线m：3x+4y+12=0垂直的直线n为4x−3y+a=0，
圆C可化为(x+1)2+(y−2)2=9，圆心为C(−1,2)，
又因为直线n经过圆心，所以4×(−1)−3×2+a=0，即a=10，
故所求直线方程为4x−3y+10=0．
(Ⅱ)由两条直线平行的性质，
设与直线m：3x+4y+12=0平行的直线为3x+4y+c=0(c≠12)．
又因为直线3x+4y+c=0与圆C相切，
所以圆心C(−1,2)到直线3x+4y+c=0的距离等于半径，
即|−3+8+c| 32+42=3，所以|c+5|=15，解方程可得c=−20或10，
故所求直线方程为3x+4y−20=0或3x+4y+10=0．
【解析】(Ⅰ)设与直线m：3x+4y+12=0垂直的直线n为4x−3y+a=0，求得圆心C，代入直线n的方程可得所求直线方程；
(Ⅱ)设与直线m：3x+4y+12=0平行的直线为3x+4y+c=0(c≠12)，由直线和圆相切的条件，结合点到直线的距离公式，解方程求得c，可得所求直线方程．
本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)∵A(2，−1，1)，B(1,1,0)，C(4,−3,3)，
∴a=AB=(−1,2,−1)，b=AC=(2,−2,2)，
于是2a−b=(−2,4,−2)−(2,−2,2)=(−4,6,−4)，
∴|2a−b|= (−4)2+62+(−4)2=2 17；
(Ⅱ)∵2ka−b=(−2k，4k，−2k)−(2，−2，2)=(−2k−2，4k+2，−2k−2)，
a+kb=(−1,2,−1)+(2k,−2k,2k)=(2k−1,2−2k,2k−1)，
又2ka−b与a+kb互相垂直，∴(2ka−b)⋅(a+kb)=0，
即(−2k−2)(2k−1)+(4k+2)(2−2k)+(−2k−2)(2k−1)=0，
整理得k2=12，解得k=± 22．
【解析】(Ⅰ)求出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式求解即可；
(Ⅱ)先求出两向量的坐标，再利用垂直的坐标形式列式求解即可．
本题考查利用空间向量坐标运算解决模长及垂直问题，属基础题．
20.【答案】解：(Ⅰ)由题可知圆C的圆心为C(0,0)，半径r=3，
所以圆C的方程为x2+y2=9；
(Ⅱ)当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+2，圆心到直线l的距离为d，
则d=2 k2+1,|MN|=2 32−d2=2 9−4k2+1，
同理可得|PQ|=2 9−4(1k)2+1=2 9−4k2k2+1，
则SPMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×2 9−4k2+1×2 9−4k2k2+1=2 (9−4k2+1)(9−4k2k2+1)≤9−4k2+1+9−4k2k2+1=14，
当且仅当9−4k2+1=9−4k2k2+1，即k2=1时等号成立，
当直线l的斜率不存在时，|MN|=6,|PQ|=2 32−22=2 5，
此时SPMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×6×2 5=6 5，
当直线l的斜率为0时，根据对称性可得SPMQN=6 5，
综上所述，四边形PMQN面积的最大值为14．
【解析】(Ⅰ)根据面积解出半径，再应用圆的标准方程即可；
(Ⅱ)根据几何法求出弦长，再应用面积公式计算，最后应用基本不等式求最值即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：如图，

连接AC1交A1C于点O，连接OE，显然O是AC1的中点，
因为E为AB的中点，所以OE为△ABC1的中位线，OE/​/BC1，
而BC⊄平面EA1C，OE⊂平面EA1C，
所以BC/​/平面EA1C；
(2)解：设A1C1的中点为M1，连接M1O并延长交AC于点M，
因为BA−BC，所以B1A1=B1C1，于是有B1M1⊥A1C1，
因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以平面A1B1C1⊥平面A1，ACC1，
而平面A1B1C1∩平面A1ACC1=A1C1，所以B1M1⊥平面A1ACC1，
因为侧面A1ACC1是矩形，所以A1C1⊥M1M，
以M1为原点，分别以A1C1，M1M，B1M1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设BA=BC=t(t>1)，则A1(−1,0,0),C(1, 2,0),E(−12, 2, t2−12)，
于是CA1=(−2,− 2,0),CE=(−32,0, t2−12)，
设平面EA1C的法向量为n=(x,y,z)，
则有n⋅CA1=0,n⋅CE−=0,即−2x− 2y=0,−32x+ t2−12z=0,令x=1，可得n=(1,− 2,3 t2−1)，
易知平面A1CA的一个法向量为m=(0,0,1)，
因为二面角E−A1C−A的大小为π6，所以csπ6=|m⋅n||m|⋅|n|= 32，
即3 t2−1 3+9t2−1= 32，解得t= 2(负值舍去)，
故B1(0,0,1),B1C=(1, 2,−1),n=(1,− 2,3)，
设直线B1C与平面EA1C所成的角为θ，
则sinθ=|B1C⋅n||B1C|⋅|n|=|1−2−3|2×2 3= 33，
即直线B1C与平面EA1C所成角的正弦值为 33．
【解析】(1)连接AC1交A1C于点O，连接OE，财OE/BC1，再由线面平行的判定定理证明即可；
(2)建立空间直角坐标系后设BA=BC=t，分别求出平面A1CA和平面EA1C的法向量，由二面角的向量公式求出t，再求出直线B1C的方向向量，由线面角的向量公式求解即可．
本题考查空间中线面关系的证明和空间角的求解．
22.【答案】(Ⅰ)证明：设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，
由题可知点O在圆C上，
则圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2=a2+b2，
整理得x2+y2−2ax−2by=0，
因为圆C与x轴、y轴分别交于A，B两点(与坐标原点O不重合)，
令x=0，解得：y=2b；令y=0，解得：x=2a，
则A(2a,0)，B(0,2b)．
所以S△AOB=12×2a×2b=2ab=2，为定值．
(Ⅱ)解：因为直线x−y=0经过圆C的圆心，所以a=b．
又ab=1，a>0且b>0，解得a=b=1．
所以圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=2．
(Ⅲ)解：过点P作圆C的切线PG，PH，切点为G，H，
显然P，G，C，H四点共圆，且PC为该圆的一条直径，
设这四点所在的圆为圆N，P(−2m−2,m)，

则圆N的方程为(x+1+2m2)2+(y−1+m2)2=(3+2m2)2+(1−m2)2，
即x2+y2+(2m+1)x−(m+1)y−m−2=0，①
又圆C的半径r= 2，方程可化为x2+y2−2x−2y=0，②，
①−②，得圆C与圆N的相交弦GH所在直线的方程为(2m+3)x+(1−m)y−m−2=0，
点C(1,1)到直线GH的距离d=2 (2m+3)2+(1−m)2=2 5m2+10m+10，
所以|GH|=2 r2−d2=2 2−45m2+10m+10=2 2 1−25m2+10m+10
=2 2 1−25(m+1)2+5，所以当m=−1时，|GH|取得最小值2 305，
故线段GH长度的最小值为2 305．
【解析】(Ⅰ)求出圆C的方程，分别令x=0，y=0求出A(2a,0)，B(0,2b)，即可求出△AOB的面积，即可证明；
(Ⅱ)因为直线x−y=0经过圆C的圆心，所以a=b，结合ab=1，即可解出a=b=1，可求出求圆C的方程；
(Ⅲ)由题意可得P，G，C，H四点共圆，且PC为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆N，可得圆N的方程，由点到直线的距离、圆的弦长公式表示出|GH|，再由二次函数的性质即可求出求线段|GH|长度的最小值．
本题考查直线与圆的综合问题，属于中档题．