2023-2024学年天津一百中高一（上）诊断数学试卷（二）（含解析）

这是一份2023-2024学年天津一百中高一（上）诊断数学试卷（二）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.向量a=(2,−1,2)，b=(−4,2,x)，a⊥b，则|2a+b|=( )
A. 9B. 3C. 1D. 3 2
2.已知直线3x+4y−5=0与圆x2+y2=4交于M，N两点，则线段MN的长度为( )
A. 3B. 2C. 2 3D. 2 5
3.已知抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为2，则点A到抛物线焦点的距离为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4.已知直线l1：kx+y+1=0与l2：kx+(k−4)y+1=0平行，则k的值是( )
A. 5B. 0或5C. 0D. 0或1
5.已知等比数列{an}中，a1=1，且a4+a5+a8a1+a2+a5=8，那么S5的值是( )
A. 15B. 31C. 63D. 64
6.在四面体O−ABC中，OP=2PA，Q是BC的中点，且M为P，Q的中点，若OA=a，OB=b，OC=c，则OM=( )
A. 14a+16b+16cB. 16a+14b+13c
C. 12a+16b+14cD. 13a+14b+14c
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=10，S10=30，则S20=( )
A. 40B. 70C. 90D. 100
8.在数列{an}中，a1=12，an=1−1an−1(n≥2,n∈N+)，则a2023=( )
A. 12B. 1C. −1D. 2
9.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e.过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是( )
A. 1+2 2B. 3+2 2C. 4−2 2D. 5−2 2
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知a∈R，若直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+(a−1)y+2=0相互垂直，则a=______．
11.已知圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A，B两点，则直线AB的方程是______ ．
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，S8=S22，则Sn取最大值时，n= ______ ．
13.抛物线y2=4x的焦点为F，点P(x,y)为该抛物线上的动点，又已知定点A(2,2)，则|PA|+|PF|的最小值是______ ．
14.已知直线y=−x+1与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线l：x−4y=0上，则此椭圆的离心率为______ ．
15.若直线y=2x+b与曲线y=3− 4x−x2有公共点，则b的取值范围是______ ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知圆C经过A(3,0)和B(2,1)两点，且圆心在直线2x+y−4=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)从点(3,2)向圆C作切线，求切线方程．
17.(本小题15分)
在各项均为正数的等比数列{an}中，a1=2，且2a4，a6，3a5成等差数列．
(1)求等比数列{an}的通项公式an和前n项和Sn；
(2)若数列{bn}满足bn=11−2lg2an，求数列{bn}的前n项和Bn的最大值．
(3)求数列{|bn|}的前n项和Tn
18.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=4，PD=AD=2，点E在线段AB上，且AE=34AB．
(Ⅰ)求证：CE⊥平面PBD；
(Ⅱ)求直线PA与平面PCE所成角的正弦值；
(Ⅲ)求平面BCE与平面PCE的夹角的余弦值．
19.(本小题16分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an2+2an=4Sn−1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{3n−1an}前n项和Bn；
(3)若bn=an+1S2n−1⋅S2n+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围．
20.(本小题16分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 63，右焦点为F(2,0)．
(1)求椭圆方程；
(2)过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线x=3交于点C，△ABC为等边三角形，求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：向量a=(2,−1,2)，b=(−4,2,x)，
因为a⊥b，所以−4×2+2×(−1)+2x=0，所以x=5，
所以2a+b=2(2,−1,2)+(−4,2,5)=(0,0,9)，
所以|2a+b|= 0+0+81=9．
故选：A．
根据a⊥b先求解出x的值，然后表示出2a+b的坐标，结合坐标下的模长计算公式求解出结果．
本题考查向量的模、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径r=2
∴圆心(0,0)到直线MN：3x+4y−5=0的距离d=|3×0+4×0−5| 32+42=55=1，
∴|MN|=2 r2−d2=2 4−1=2 3．
故选：C．
先求出圆心到直线MN：3x+4y−5=0的距离，然后根据弦的一半，圆心到直线的距离，半径构成直角三角形，用勾股定理解决．
本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长问题，属基础题．
3.【答案】B
【解析】解：抛物线x2=4y的准线方程为y=−1，抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为2，
则点A到准线的距离为3，根据抛物线定义可知点A到焦点的距离为3．
故选：B．
利用抛物线的定义即可求解．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由k(4−k)−(−k)=0，解得k=0或5．
经过验证可得：k=5时两条直线重合，舍去．
故选：C．
由k(4−k)−(−k)=0，解得k，经过验证两条直线是否重合，进而得出结论．
本题考查了直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：设公比为q，a1=1，且a4+a5+a8a1+a2+a5=8，
∴q3+q4+q71+q+q4=q3=8，
∴q=2，
∴S5=1(1−25)1−2=31，
故选：B．
先求出公比，再根据求和公式计算即可．
本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的前n项和，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：如图，
∵OP=2PA，∴OP=23OA，
∵Q是BC的中点，且M为P，Q的中点，
∴OM=12(OP+OQ)=13OA+14(OB+OC)=13a+14b+14c．
故选：D．
根据条件得出OP=23OA，OM=12(OP+OQ)，然后代入OQ=12(OB+OC)，OP=23OA并进行向量的数乘运算即可．
本题考查了向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
因为S5=10，S10=30，
所以5a1+5×42×d=1010a1+10×92×d=30，解得a1=65d=25，
所以S20=20a1+20×192×d=20×65+190×25=100．
故选：D．
利用等差数列的前n项和分别求出首项和公差，代入公式即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：a2=1−1a1=1−2=−1，
a3=1−1a2=1+1=2，
a4=1−1a3=1−12=12，
可得数列{an}是以3为周期的周期数列，
∴a2023=a3×674+1=a1=12，
故选：A．
利用数列的递推公式求出数列{an}的前4项，推导出{an}为周期数列，从而得到a2023的值．
本题考查数列的递推公式、数列的周期性，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程与性质，考查双曲线的定义，解题的关键是确定|AF2|，从而利用勾股定理求解．
设|AF1|=|AB|=m，计算出|AF2|=(1− 22)m，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e2的值．
【解答】
解：设|AF1|=|AB|=m，则|BF1|= 2m，|AF2|=m−2a，|BF2|= 2m−2a，
∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m，
∴m−2a+ 2m−2a=m，
∴4a= 2m，∴|AF2|=(1− 22)m，
∵△AF1F2为直角三角形，
∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，
即4c2=m2+1− 222m2，
∴4c2=(52− 2)m2，
∵4a= 2m，
∴4c2=(52− 2)×8a2，
∴e2=5−2 2．
故选：D．
10.【答案】12
【解析】解：因为直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+(a−1)y+2=0相互垂直，
所以a+(a−1)=0，解得a=12．
故答案为：12．
根据直线垂直的充要条件列出方程，即可求解．
本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．
11.【答案】y+1=0
【解析】解：两圆方程相减x2+y2+2x−1−(x2+y2+2x−4y−5)=0，得y+1=0．
故答案为：y+1=0．
根据两相交圆与公共弦关系，两相交圆方程相减所得方程即是公共弦方程．
本题考查两圆的公共弦方程的求解，是基础题．
12.【答案】15
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
由a1>0，S8=S22，得8a1+28d=22a1+231d，即203d=−14a1，
因为a1>0，所以d<0，即等差数列{an}为首项为正的递减数列．
又S8=S22，可得a9+a10+⋯+a22=0，即7(a15+a16)=0，故a15>0，a16<0，
即等差数列{an}前15项为正，从第16项开始为负，
故Sn取最大值时，n=15．
故答案为：15．
根据题意分析可得该数列a1>0，所以d<0，即等差数列{an}为首项为正的递减数列．进一步利用S8=S22可得a9+a10+⋯+a22=0，即7(a15+a16)=0，故a15>0，a16<0，从而即可确定Sn取最大值时n的值．
本题考查等差数列的前n项和公式，涉及数列与函数的综合问题，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线为l：x=−1，如下图所示：
过点P作抛物线y2=4x的准线的垂线，垂足为点B，
由抛物线的定义可得|PB|=|PF|，所以，|PA|+|PF|=|PA|+|PB|，
当且仅当A、P、B三点共线时，即当AB⊥l时，|PA|+|PB|取得最小值为：2+1=3．
故答案为：3．
过点P作抛物线y2=4x的准线的垂线，垂足为点B，由抛物线的定义可得出|PB|=|PF|，可得出|PA|+|PF|=|PA|+|PB|，利用当A、P、B三点共线时，|PA|+|PF|取最小值可得结果．
本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，是中档题．
14.【答案】 32
【解析】解：联立y=−x+1x−4y=0，解得x=45y=15，可得AB的中点坐标为(45,15)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，
两式作差可得：(x1−x2)(x1+x2)a2=−(y1−y2)(y1+y2)b2，
则y1−y2x1−x2=−b2(x1+x2)a2(y1+y2)，可得−1=−85b225a2，即b2a2=14．
∴e=ca= c2a2= a2−b2a2= 1−b2a2= 1−14= 32．
故答案为： 32．
联立直线方程求得AB的中点坐标，再设A、B的坐标，利用点差法求出b2a2的值，再由离心率公式求解．
本题考查椭圆的几何性质，训练了“点差法”的应用，是中档题．
15.【答案】[−1−2 5,3]
【解析】解：如图所示：曲线y=3− 4x−x2即y−3=− 4x−x2，平方可得(x−2)2+(y−3)2=4( 1≤y≤3,0≤x≤4)，
表示以A(2,3)为圆心，以2为半径的一个半圆．
直线y=2x+b与曲线有公共点，
则满足条件的直线斜率为2，在过(0,2)和圆的切线之间的一族平行线，b为直线在y轴上的截距，
可求，当直线y=2x+b平移到过点(0,3)时，方程为y=2x+3，此时b=3，
当直线平移到与曲线相切时，由圆心(2,3)到直线的距离d等于半径长2；
d=|2×2−3+b| 22+(−1)2=|1+b| 5=2⇒|1+b|=2 5⇒b=−2 5−1(b=2 5−1舍)；
综上，b的取值范围是[−1−2 5,3]．
故答案为：[−1−2 5,3]．
曲线即(x−2)2+(y−3)2=4(1≤y≤3)，表示以A(2,3)为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=2x+b的距离等于半径2，解得b=−2 5−1.结合图象可得b的范围．
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．需要注意曲线不是整个的圆，而是半圆．
16.【答案】解：(1)由题可知kAB=1−02−3=−1，所以线段AB的中垂线的斜率等于1，
又因为AB的中点为(52,12)，
所以线段AB的中垂线的直线方程为y−12=x−52，
即x−y−2=0，
联立2x+y−4=0x−y−2=0，解得x=2y=0，所以圆心C(2,0)，
又因为半径等于|AC|=1，所以圆C的方程为(x−2)2+y2=1．
(2)设圆C的半径为r，则r=1，
若直线的斜率不存在，因为直线过点(3,2)，
所以直线方程为x=3，
此时圆心C(2,0)到直线x=3的距离d=1=r，满足题意；
若直线的斜率存在，设斜率为k，
则切线方程为y−2=k(x−3)，即kx−y+2−3k=0，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d=|−k+2| k2+1=1，
解得k=34，
所以切线方程为34x−y+2−94=0，即3x−4y−1=0．
所以切线方程为x=3或3x−4y−1=0．
【解析】(1)根据弦的中垂线过圆心，联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解；
(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解．
本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，是中档题．
17.【答案】解：(1)设数列{an}的公比为q，an>0，由2a4，a6，3a5成等差数列，得2a4+3a5=2a6，
即2a4+3a4q=2a4q2，整理得2q2−3q−2=0，
而q>0，解得q=2，又a1=2，
∴数列{an}的通项公式an=2n，Sn=2(1−2n)1−2=2n+1−2．
(2)由(1)得，bn=11−2lg22n=11−2n，则b1=9，且bn+1−bn=−2，
于是数列{bn}是首项为9，公差为−2的等差数列，
∴Bn=n(9+11−2n)2=−n2+10n=−(n−5)2+25，
∴当n=5时，Bn取得最大值25．
(3)由(2)知，当n≤5时，bn>0，当n≥6时，bn<0，
当n≤5时，|bn|=bn=11−2n，Tn=Bn=−n2+10n；
当n≥6时，Tn=b1+b2+b3+b4+b5−b6−⋯−bn=−Bn+2B5=n2−10n+50，
∴Tn=−n2+10n,n≤5n2−10n+50,n≥6．
【解析】(1)根据给定条件，求出数列{an}的公比即可求出通项及前n项和．
(2)求出bn，再利用等差数列前n项和公式求解即得．
(3)判断数列{bn}的正数项与负数项，再借助(2)中结论分段求和即得．
本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】(I)证明：∵PD⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，∴PD⊥CE，∵AB=4，AE=34AB，
∴AE=3，BE=1，∴ABAD=BCBE=2，∴Rt△CBE∽Rt△BAD，
∴BD⊥CE，PD⊥CE，PD∩BD=D，∴CE⊥平面PBD，
(Ⅱ)解：∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD，∵ABCD为矩形，AD⊥CD，
∴AD，CD，PD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，
则C(0,4,0)，P(0,0,2)，E(2,3,0)，A(2,0,0)，
∴PC=(0,4,−2)，CE=(2,−1,0)，
设平面PCE的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅CE=2x−y=0n⋅PC=4y−2z=0，令x=1，则y=2，z=4，
∴平面PCE的一个法向量为n=(1,2,4)，
又PA=(2,0,−2)，
设直线PA与平面PCE所成角为θ，
sinθ=|cs|=|PA⋅n||PA|⋅|n|=|2−8| 21×2 2= 4214；
(Ⅲ)∵PD⊥平面ABCD，取平面BCE的法向量为m=(0,0,1)，
则cs=n⋅m|n|⋅|m|=41× 1+4+16=4 2121，
所以二平面BCE与平面PCE的夹角的余弦值为4 2121．
【解析】(I)根据线面垂直的性质可得PD⊥CE，利用相似三角形的判定与性质可得BD⊥CE，结合线面垂直的判定定理即可得出结果；
(Ⅱ)根据题意和线面垂直的性质可得AD，CD，PD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出平面PCE的一个法向量，进而求得直线PA的方向向量，可求直线PA与平面PCE所成角的正弦值；
(Ⅲ)求得平面BCE的一个法向量，利用空间向量求平面BCE与平面PCE的夹角的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属中档题．
19.【答案】解：(1)当n=1时，由an2+2an=4Sn−1，得a12+2a1=4a1−1，得a1=1，
由an2+2an=4Sn−1，得an+12+2an+1=4Sn+1−1，两式相减，
得an+12−an2+2an+1−2an=4an+1，即an+12−an2−2(an+1+an)=0，
即(an+1−an−2)(an+1+an)=0，
∵数列{an}各项均为正数，∴an+1+an>0，
∴an+1−an=2，
∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
因此，an=1+2(n−1)=2n−1，即数列{an}的通项公式为an=2n−1．
(2)由(1)得3n−1an=(2n−1)3n−1，
Bn=1×1+3×3+5×32+⋯+(2n−1)3n−1，
3Bn=1×3+3×32+5×33+⋯+(2n−3)3n−1+(2n−1)3n，
两式相减得−2Bn=1+2×(3+32+33+⋯+3n−1)−(2n−1)3n−1
=1+2×3−3n1−3−(2n−1)3n−1
=−(2n−2)3n−1−2，
∴Bn=(n−1)3n+1．
(3)由(1)知an=2n−1，∴Sn=n(1+2n−1)2=n2．
∴bn=an+1S2n−1⋅S2n+1=2n(2n−1)2(2n+1)2=14[(1(2n−1)2−1(2n+1)2]．
∴Tn=212×32+432×52+652×72+⋯+2n(2n−1)2(2n+1)2
=14{(1−132)+(132−152)+(152−172)+⋯+[1(2n−1)2−1(2n+1)2]}
=14[1−1(2n+1)2]．
令f(n)=1−1(2n+1)2，则f(n+1)−f(n)=1(2n+1)2−1(2n+3)2=8(n+1)(2n+3)2(2n+1)2>0，
∴f(n)是单调递增数列，数列{Tn}递增，
∴Tn≥T1=29，又Tn<14，
∴Tn的取值范围为[29,14)．
【解析】(1)利用an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2，求得数列{an}的通项公式；
(2)由(1)得3n−1an=(2n−1)3n−1，然后利用错位相减法求得前n项和Bn；
(3)由(1)求得Sn的表达式，然后利用裂项求和法求得{bn}的前项和Tn，利用差比较法证得数列{Tn}递增，进而求得Tn的取值范围．
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意可得e=ca= 63，c=2，解得a= 6，
由b2=a2−c2，∴b2=2，则椭圆C的方程为x26+y22=1．
(2)当直线AB为x轴时，易得线段AB的垂直平分线与直线x=3没有交点，故不满足题意；
当AB所在直线的斜率存在且不为x轴时，设该直线方程为y=k(x−2)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=k(x−2)x26+y22=1，消去y可得(3k2+1)x2−12k2x+12k2−6=0，
Δ=144k4−4(3k2+1)(12k2−6)=24(k2+1)>0，
所以x1+x2=12k23k2+1，x1x2=12k2−63k2+1，
y1+y2=k(x1−2)+k(x2−2)=k(x1+x2−4)=−4k3k2+1，
设AB的中点为D，则D(6k23k2+1,−2k3k2+1)，设C(3,yC)，
由△ABC为等边三角形，|AB||CD|=2 3，kCD=−1k，
|CD|= kCD2+1(3−6k23k2+1)= k2+1k23k2+33k2+1，
|AB|= k2+1 (x1+x2)2−4x1x2= k2+1 (12k23k2+1)2−4×12k2−63k2+1=2 6(k2+1)3k2+1，
所以|AB||CD|=2 6(k2+1)3k2+3× k2k2+1=2 3，解得k2=1，所以k=±1，
当AB所在直线的斜率不存在时，将x=2代入x26+y22=1可得y=± 63，
所以|AB|=2 63，|CD|=1，不满足题意，
综上所述，直线l的方程为y=x−2或y=−x+2．
【解析】(1)根据离心率和焦点坐标可求出a= 6，再根据b2=a2−c2，可求得b2=2，即可求解；
(2)讨论直线AB的斜率存在还是不存在，当斜率存在且k≠0时，直线代入椭圆可得x1+x2=12k23k2+1，x1x2=12k2−63k2+1，可求出AB的中点为D(6k23k2+1,−2k3k2+1)，通过弦长公式和两点距离求出|AB|，|CD|，利用|AB||CD|=2 3即可求解．
本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．