2023-2024学年四川省雅安市高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省雅安市高一（上）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|x−4ab
11.设集合Ak={x|x=2nk+1,n∈Z}(k=1，2，3)，则下列结论正确的是( )
A. 2025∈A1∩A2B. 若a∈A2，且ab∈A3，则b∉A1
C. 若a∈A2，b∈A3，则ab∈A1D. 若a∈A2，b∈A3，则3a+2b∈A2
12.若关于x的不等式x2−(a+3)x+3a0，b>0，且a+b=2，则2ab+3b2a的最小值是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x||x−1|≥2}，B={x|a−10，且a+b=1，证明：
(1)2a2+2b2≥1；
(2)1a+9b≥16．
20.(本小题12分)
已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−2x−3．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(2a−1,a+2)上单调递增，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
若x，y，a满足|x−a|>|y−a|，则称x比y更远离a．
(1)判断“x>y>a”是“x比y更远离a”的什么条件，并说明理由；
(2)已知m>0，n>0，b=1m2+1n2+2mn，证明：b比2 3更远离2．
22.(本小题12分)
已知某工厂设计一个零件部件，要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由6个全等的等腰三角形和一个正六边形构成，其中O是圆心，也是正六边形的中心.设正六边形边长AB=2xcm，等腰三角形的腰AC=y cm，要求ybc2−a，故A项正确；
对于B，已知a>b，当a=1，b=−2时，1a=1，1b=−12，此时1a>1b，故B项不正确；
对于C，因为y=x3是R上的单调增函数，所以由a>b可推出a3>b3，故C项正确；
对于D，当a=−1，b=−2时，a2=1，ab=2，此时a2 x2+2，
即 x1−1− x2−1>0， x1+2− x2+2>0，
则f(x1)−f(x2)>0，f(x1)>f(x2).
故f(x)是(1,+∞)上的增函数．
(2)根据题意，函数f(x)= x−a+ x+2，
易得f(x)在其定义域内是单调递增的，
当a≥−2时，f(x)min=f(a)= a+2=2，即a=2，满足条件；
当a0，b>0，所以ba>0，9ab>0，
所以ba+9ab≥6，当且仅当ba=9ab，即b=3a=34时，等号成立，
则ba+9ab+10≥16，即1a+9b≥16．
【解析】利用基本不等式即可证明．
本题考查了基本不等式，属于中档题．
20.【答案】解：(1)当x0，
则f(−x)=(−x)2−2×(−x)−3=x2+2x−3；
因为f(x)是奇函数，所以f(x)=−f(x)=−x2−2x+3，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，
则f(x)=x2−2x−3,x>00,x=0−x2−2x+3,x0时，f(x)=x2−2x−3，
由二次函数的性质可得f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,0)上单调递减，
因为f(x)在(2a−1,a+2)上单调递增，所以2a−1≥1或a+2≤−1，
解得a≥1或a≤−3，
故a的取值范围是(−∞,−3]∪[1,+∞)．
【解析】(1)当x0，结合题意，可求得此时f(x)的解析式，进而可得答案；
(2)利用二次函数的性质，结合已知f(x)在(2a−1,a+2)上单调递增，可列式求得a的取值范围．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意，“x>y>a”是“x比y更远离a”的充分不必要条件；
理由如下：
若x>y>a，得x−a>y−a>0，则|x−a|>|y−a|，
故“x>y>a”是“x比y更远离a”的充分条件．
反之，若x比y更远离a，可得|x−a|>|y−a|．
当x=−3，y=−2，a=0时，满足|x−a|>|y−a|，但不满足x>y>a，
则“x>y>a”不是“x比y更远离a”的必要条件．
综上，“x>y>a”是“x比y更远离a”的充分不必要条件．
(2)证明：因为m>0，n>0，所以1m2>0，1n2>0，
由基本不等式，1m2+1n2≥2mn，当且仅当m=n时，等号成立．
因为m>0，n>0，所以2mn>0，2mn>0，所以2mn+2mn≥4，当且仅当mn=1时，等号成立．
因为b=1m2+1n2+2mn，所以b≥4，当且仅当m=n=1时，等号成立，
所以b>2 3>2，则有b−2>2 3−2>0，
必有|b−2|>|2 3−2|，
故b比2 3更远离2．
【解析】(1)根据题意，由不等式的性质分析充分性，举出反例可得必要性不成立，结合充分必要条件的定义分析可得答案；
(2)根据题意，利用基本不等式的性质证明b≥4，进而可得b>2 3>2，结合“x比y更远离a”的定义分析可得证明．
本题考查不等式的证明，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
22.【答案】解：(1)等腰三角形AB边上的高为h= y2−x2，
部件的面积为S=6×(12⋅2x⋅ y2−x2+12⋅4x2⋅sinπ3)=12，
变形可得y2=4x2+4x2−4 3，
所以y=2 x2+1x2− 3，
因为y