2023-2024学年河北省保定市等多地学校高一（上）联考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省保定市等多地学校高一（上）联考数学试卷（12月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∀x∈(1,2)，x2+2x>3”的否定是( )
A. ∃x∈(1,2)，x2+2x>3B. ∃x∉(1,2)，x2+2x≤3
C. ∃x∈(1,2)，x2+2x≤3D. ∀x∈(1,2)，x2+2x≤3
2.设集合A={x|x>−3}，B={x|x2+2x<0}，则( )
A. A∩B=AB. A∪B=AC. A∪(∁RB)=AD. B∪(∁RA)=R
3.在半径为10cm的圆上，有一条弧的长是5cm，则该弧所对的圆心角(正角)的弧度数为( )
A. 12B. π2C. 2πD. 2
4.已知f(x)是定义在[−2,6]上的减函数，且f(−2)>0，f(−1)>0，f(0)>0，f(3)<0，f(6)<0，则f(x)的零点可能为( )
A. −1.5B. −0.5C. 2D. 4
5.溶液酸碱度是通过计算pH计量的.pH的计算公式为pH=−lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度为2×10−7摩尔/升，取lg2=0.301，则该溶液的pH值为( )
A. 7.201B. 6.799C. 7.301D. 6.699
6.已知f(x)=(m−1)x,x<1,lg5−mx+2,x≥1在R上是增函数，则m的取值范围是( )
A. (2,4)B. (2,3)C. [3,4)D. (2,3]
7.已知函数f(2x−1)的定义域为(−1,9)，则函数f(3x+1)的定义域为( )
A. (−13,43)B. (−43,163)C. (−23,83)D. (−2,28)
8.已知函数f(x)=0.32x−x2，设a=lg34,b=lg32,c=lg9 15，则( )
A. f(a)C. f(c)二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设α为第二象限角，则2α可能是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
10.下列命题为真命题的是( )
A. 函数y=( 2−1)x+1是指数函数
B. 幂函数f(x)=(2a2−7a+4)xa是增函数
C. “t为偶数”是“t2为偶数”的充分不必要条件
D. 集合{x|x⩾−1}与集合{y|y=|x|−1,x∈R}相等
11.已知f(x)是定义在[−2,2]上的函数，函数p(x)=[f(x)−lg23][f(x)+1](−2≤x≤2)恰有5个零点，则f(x)的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
12.某超市在双十二当天推出单次消费满188元有机会获得消费券的活动，消费券共有4个等级，等级x与消费券面值y(元)的关系式为y=2ax+8+b(x=1,2,3,4)，其中a，b为常数，且a为整数.已知单张消费券的最大面值为68元，等级2的消费券的面值为20元，则( )
A. 消费券的等级越小，面值越大B. 单张消费券的最小面值为5元
C. 消费券的等级越大，面值越大D. 单张消费券的最小面值为10元
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=3a2x−4+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为______ ．
14.函数f(x)=|x−7|+|x+7|(x∈R)是______ (填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一个)函数．
15.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：f(x)= ______ ．
①f(x)的定义域为(0,+∞)；
②函数y=f(x−x)x在(0,+∞)上是单调递减的对数函数．
16.已知x>1，y>0，且x+4y=2，则1x−1+y的最小值是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=12−x+ln(x+1)．
(1)求f(0)，f(a+2)的值；
(2)求f(x)的定义域．
18.(本小题12分)
从以下三题中任选两题作答，若三题都分别作答，则按前两题作答计分，作答时，请在答题卷上标明你选的两个题的题号．
(1)已知 a aa74⋅a−2=am(a>1)，求m的值；
(2)已知10a=3，3b=25，求2lg2+ab的值；
(3)求方程lg 2[lg(x2−15x)]=2的解集．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2×4x+4−x．
(1)求f(x)的最小值；
(2)证明：当x>0时，f(x)>2x+1+2−x．
20.(本小题12分)
如图，在正方形ABCD中，AB=6m，F，G分别为BC，AD的中点，E为AB边上更靠近点A的三等分点，一个质点P从点F出发(出发时刻t=0)，沿着线段FC，CD，DG做匀速运动，且速度v=1m/s，记△PBE的面积为Sm2．
(1)当质点P运动10s后，求S的值；
(2)在质点P从点F运动到点G的过程中，求S关于运动时间t(单位：s)的函数表达式．
21.(本小题12分)
设a>0，且a≠1，f(x)=a⋅2x−a−x+1是定义在R上的奇函数，且f(x)不是常数函数．
(1)求a的值；
(2)若f(lg13x−lnm)+f(a−1)>0对x∈(13,9)恒成立，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)的定义域D⊆(0,+∞)，且对任意x1，x2∈D，当x1lg2x1x2恒成立，则称f(x)为D上的T函数．
(1)若定义在(0,+∞)上的函数g(x)为减函数，判断g(x)是否为(0,+∞)上的T函数，并说明理由；
(2)若f(x)为(0,+∞)上的T函数，且f(2)=5，求不等式f(2x)>lg2(32x)的解集；
(3)若k(x)=(lg2x+a3)lg2x为[12,2]上的T函数，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x∈(1,2)，x2+2x≤3．
故选：C．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为集合A={x|x>−3}，B={x|−2所以B⊆A，则A∩B=B，A∪B=A，A∪(∁RB)=R，B∪(∁RA)≠R．
故选：B．
求出集合B，得到B⊆A，由此能求出结果．
本题考查集合的运算与一元二次不等式的解法，考查数学运算的核心素养，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：在半径为10cm的圆上，有一条弧的长是5cm，
则该弧所对的圆心角(正角)的弧度数为510=12．
故选：A．
结合弧长公式，即可求解．
本题考查弧度的概念，考查数学运算的核心素养，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，f(x)是定义在[−2,6]上的减函数，且f(0)f(3)<0，
所以f(x)的零点必在区间(0,3)内，
分析选项，f(x)的零点可能为2．
故选：C．
根据题意，由函数零点判定定理可得f(x)的零点必在区间(0,3)内，分析选项可得答案．
本题考查函数零点存在定理，涉及函数的单调性的性质，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为溶液中氢离子的浓度为2×10−7摩尔/升，所
以该溶液的pH值为−lg(2×10−7)=7−lg2=6.699．
故选：D．
结合对数的运算性质，即可求解．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，f(x)=(m−1)x,x<1,lg5−mx+2,x≥1在R上是增函数，
则有m−1>15−m>1(m−1)1≤lg5−m1+2，解可得2故选：D．
根据题意，由函数单调性的定义可得关于m的不等式，解可得答案．
本题考查分段函数的单调性，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为函数f(2x−1)的定义域为(−1,9)，所以2x−1∈(−3,17)，
所以函数f(x)的定义域为(−3,17)．
对于函数f(3x+1)，由3x+1∈(−3,17)，得x∈(−43,163)，
所以函数f(3x+1)的定义域为(−43,163)．
故选：B．
由题意，根据函数的定义域的定义，先求出2x−1的范围，可得3x−1的范围，从而求出x的范围．
本题主要考查抽象函数的定义域，函数的定义域的定义，考查数学抽象与数学运算的核心素养，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=0.32x−x2，所以f(x)的图象关于直线x=1对称．又y=0.3u为减函数且u=2x−x2在(−∞,1)上单调递增，
所以f(x)=0.32x−x2在(−∞,1)上单调递减．
因为a=lg34>1，b=lg32<1，且a+b=lg38所以f(a)lg9 15=c，所以f(b)综上，f(a)故选：B．
判断函数的单调性，求解a，b，c的大小，即可得到结果．
本题考查复合函数的单调性与对称性以及对数大小的比较，考查逻辑推理的核心素养，是中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：因为α为第二象限角，
所以2kπ+π2<α<2kπ+π(k∈Z)，
所以4kπ+π<2α<4kπ+2π(k∈Z)，
所以2α可能是第三象限角，也可能是第四象限角．
故选：CD．
由已知结合象限角的表示即可求解．
本题考查象限角的概念，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．
10.【答案】BCD
【解析】解：因为( 2−1)x+1不能化为ax的形式，所以函数y=( 2−1)x+1不是指数函数，A错误；
若f(x)=(2a2−7a+4)xa是幂函数，则2a2−7a+4=1，得a=12或a=3，则f(x)= x或f(x)=x3，这两个函数在其定义域内都是增函数，B正确．
因为偶数与偶数的乘积为偶数，所以若t为偶数，则t2为偶数，反之不成立，C正确．
因为y=|x|−1⩾−1(当且仅当x=0时，等号成立)，
所以{y|y=|x|−1,x∈R}=[−1，+∞)，D正确．
故选：BCD．
结合指数函数与幂函数的概念，即可求解．
本题考查指数函数与幂函数的概念、充分必要条件的判定、相等集合的判定，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：令p(x)=0，得f(x)=lg23或f(x)=−1，
设直线y=lg23与f(x)的图象的交点个数为m，
直线y=−1与f(x)的图象的交点个数为n，
依题意得m+n=5，lg23∈(1,2)．
对于选项A，m=n=3，则m+n=6，不符合题意；
对于选项B，m=3，n=2，则m+n=5，符合题意；
对于选项C，m=3，n=2，则m+n=5，符合题意；
对于选项D，m=1，n=4，则m+n=5，符合题意．
故选：BCD．
令p(x)=0，解得f(x)=lg23或f(x)=−1，再作直线y=lg23，直线y=−1，确定两条直线与f(x)图象交点个数，即可作出判断．
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查函数图象的交点与函数的零点的关系，考查了直观想象与逻辑推理的能力，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】解：设a>0，则y=2ax+8+b(x=1,2,3,4)为增函数，则等级4的消费券的面值为68元，
所以22a+8+b=2024a+8+b=68，两式相减得24a+8−22a+8=48，
则(22a)2−22a=316，
令t=22a，因为a>0，所以t>1，则t2−t=316，解得t=22a=2± 74，此时a不是整数，所以a>0不满足条件．
设a=0，则y=2ax+8+b(x=1,2,3,4)为常数函数，显然不满足条件．
设a<0，则y=2ax+8+b(x=1,2,3,4)为减函数，则等级1的消费券的面值为68元，
所以22a+8+b=202a+8+b=68，两式相减得2a+8−22a+8=48，
则2a−(2a)2=316，令t=2a，因为a<0，所以0则t2−t=−316，解得t=2a=14或34，
因为a为整数，所以a=−2，此时b=4，
所以消费券的等级越小，面值越大，
且单张消费券的最小面值为2−2×4+8+4=5元．
故选：AB．
分a>0、a=0、a<0，求出a，b的值，即可得答案．
本题考查函数的实际应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想，属于中档题．
13.【答案】(2,4)
【解析】解：令2x−4=0，解得x=2，
故f(2)=3+1=4，
所以点A的坐标为(2,4)．
故答案为：(2,4)．
根据已知条件，令2x−4=0，解得x=2，将x=2代入函数f(x)，即可求解．
本题主要考查函数的性质，是基础题．
14.【答案】偶
【解析】解：因为f(−x)=|−x−7|+|−x+7|=|x+7|+|x−7|=f(x)，x∈R，
所以f(x)=|x−7|+|x+7|(x∈R)是偶函数．
故答案为：偶．
利用偶函数的定义f(−x)=f(x)判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，考查逻辑推理的核心素养．属于基础题．
15.【答案】lg2x
【解析】解：因为函数y=f(x−x)x在(0,+∞)上是单调递减的对数函数，
因为lgax−x=−xlgax，所以可设f(x)=lgax，
则y=f(x−x)x=−lgax=lg1ax，
因为函数y=f(x−x)x在(0,+∞)上单调递减，所以0<1a<1，则a>1，
所以f(x)=lgax(a>1)满足这两个条件．
故答案为：lg2x(答案不唯一，形如lgax(a>1)均可)．
利用对数函数的运算法则与性质即可得解．
本题主要考查对数函数的性质，属于中档题．
16.【答案】9
【解析】解：因为x+4y=2，所以x−1+4y=1，
所以1x−1+y=(x−1+4y)(1x−1+y)=5+(x−1)y+4(x−1)y⩾5+2 4=9，
当且仅当(x−1)y=4(x−1)y，即(x−1)y=2，
所以x=43,y=6时，等号成立．
所以1x−1+y的最小值是9．
故答案为：9．
由已知结合乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题考查基本不等式中“1”的活用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题意得，f(0)=12+ln1=12，f(a+2)=12−(a+2)+ln(a+3)=−1a+ln(a+3)．
(2)由题意得，2−x>0x+1>0，解得x>−1且x≠2，
所以f(x)的定义域为(−1,2)∪(2,+∞)．
【解析】(1)直接把x=0，x=a+2代入即可分别求解；
(2)由已知结合函数成立的条件即可求解函数的定义域．
本题主要考查了函数值的求解，还考查了函数定义域的求解，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为 a aa74⋅a−2=(a⋅a12)12a74⋅a−2=a(1+12)×12−74−2=a−3，
所以m=−3．
(2)因为10a=3，3b=25，
所以a=lg3，b=lg325，
所以2lg2+ab=2lg2+lg3⋅lg325=2lg2+lg3⋅lg25lg3=2lg2+2lg5=2lg(2×5)=2．
(3)由题意知，x2−15x>0lg(x2−15x)>0，所以x2−15x>1①，
因为lg 2[lg(x2−15x)]=2，
所以lg(x2−15x)=( 2)2=2，
所以x2−15x=102=100，即(x−20)(x+5)=0，
解得x=−5或x=20，
代入①式检验，均符合题意，
故方程lg 2[lg(x2−15x)]=2的解集为{−5,20}．
【解析】(1)先将原式化成指数幂的形式，再由指数幂的运算法则，即可得解；
(2)根据指对互化，对数的运算法则，换底公式等，即可得解；
(3)进行两次对数化指数，再解方程即可，注意对数式有意义的条件．
本题考查指对幂的运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)=2×4x+4−x≥2 2×4x×4−x=2 2，
当且仅当2×4x=4−x，即42x=12，24x=2−1，即x=−14时，等号成立，
所以f(x)的最小值为2 2；
(2)证明：因为f(x)−(2x+1+2−x)=2×4x+4−x−(2x+1+2−x)=2×(4x−2x)+14x−12x
=2×2x×(2x−1)+14x−12x
=(2x−1)×2×23x−14x
=(2x−1)×23x+1−14x，
因为x>0，所以2x>1，
所以2x−1>0，23x+1−14x>0，
所以f(x)−(2x+1+2−x)>0，
即f(x)>2x+1+2−x．
【解析】(1)利用基本不等式求解即可；
(2)利用作差法证明即可．
本题考查了指数函数的性质、基本不等式的应用及作差法比较证明不等式，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意知，FC+CD=3+6=9m，
∴当质点P运动到点D时，所用时间为91=9s，
∴当质点P运动10s后，P在线段DG上，且PA=6−(10−9)×1=5m，
∴S=12×BE×PA=12×4×5=10m2．
(2)当0⩽t⩽3时，S=12×BE×PB=12×4×(3+t×1)=6+2t；
当3当9综上所述，S关于运动时间t(单位：s)的函数表达式为S=6+2t,0≤t≤312,3【解析】(1)计算正方形的线段长，可得当质点P运动10s后，P在线段DG上，且PA=5m，再由S=12BE⋅PA，即可得解；
(2)分0⩽t⩽3，3本题考查函数的实际应用，熟练掌握分段函数模型是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为函数f(x)=a⋅2x−a−x+1是定义在R上的奇函数，且f(x)不是常数函数，
所以f(−1)=−f(1)，即12a−a2=−(2a−1)，解得a=12或a=2．
当a=12时，f(x)=0不符合题意；
当a=2时，f(x)=2x+1−2−x+1，满足f(−x)=−f(x)；
所以a=2．
(2)由(1)知a=2，所以不等式f(lg13x−lnm)+f(a−1)>0可化为f(lg13x−lnm)>−f(1)，
又因为f(−1)=−f(1)，所以f(lg13x−lnm)>f(−1)；
由y=2x+1是定义域R上的单调增函数，y=2−x+1是定义域R上的单调减函数，
所以f(x)=2x+1−2−x+1是定义域R上的单调增函数，
所以问题等价于lg13x−lnm>−1对x∈(13,9)恒成立，
即1+lg13x>lnm对x∈(13,9)恒成立．
当x∈(13,9)时，lg13x+1∈(−1,2)，
所以lnm⩽−1，
解得0【解析】(1)由f(x)是定义在R上的奇函数，且不是常数函数，利用f(−1)=−f(1)求出a的值，再验证即可．
(2)由题意不等式可化为f(lg13x−lnm)>f(−1)，问题等价于lg13x−lnm>−1对x∈(13,9)恒成立，由此求出m的取值范围．
本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，也考查了不等式恒成立的应用问题，是中档题．
22.【答案】解：(1)任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1∵定义在(0,+∞)上的函数g(x)为减函数，
∴g(x1)>g(x2)，∴g(x1)−g(x2)>0．
∵x1，x2∈(0,+∞)，且x1∴0∴g(x1)−g(x2)>lg2x1x2恒成立，
∴g(x)为(0,+∞)上的T函数．
(2)由f(x1)−f(x2)>lg2x1x2，得f(x1)−lg2x1>f(x2)−lg2x2，
∵f(x)为(0,+∞)上的T函数，
∴h(x)=f(x)−lg2x在(0,+∞)上单调递减．
∵f(2)=5，∴h(2)=4，又f(2x)>lg2(32x)，
∴f(2x)−lg2(2x)>lg216=4，
∴h(2x)>h(2)，∴0<2x<2，解得0∴不等式f(2x)>lg2(32x)的解集为{x|0(3)∵函数k(x)为[12,2]上的T函数，
∴p(x)=(lg2x+a3)lg2x−lg2x在[12,2]上单调递减．
令t=lg2x，则t∈[−1,1]，
∴q(t)=t2+(a3−1)t在[−1,1]上为减函数，
∴−a3−12⩾1，∴a3⩽−1，
∵y=x3为R上的增函数，∴a⩽−1，
∴a的取值范围为(−∞,−1]．
【解析】(1)根据减函数确定g(x1)−g(x2)>0,lg2x1x2<0，得到答案；
(2)变换得到f(x1)−lg2x1>f(x2)−lg2x2，构造新函数，确定函数单调递减，得到h(2x)>h(2)，再求出解集；
(3)根据条件，可得p(x)=(lg2x+a3)lg2x−lg2x在[12,2]上为减函数，令t=lg2x∈[−1,1]，得到−a3−12≥1，再求出a的取值范围．
本题考查了函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，考查了转化思想，属中档题．