2023-2024学年江苏省苏州市高新一中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市高新一中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,−3,−2),b=(3,2,−5)，则下列结论正确的是( )
A. a//bB. a⊥b
C. a−b=(−2,−5,−3)D. |a|= 14
2.抛物线x2=16y的焦点到点(2,5)的距离为( )
A. 2B. 5C. 7D. 4
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2=2，且a2，a3，a4−2成等差数列，则S4=( )
A. 7B. 12C. 15D. 31
4.设a∈R，则“a=1”是“直线(a+1)x+ay+3=0与直线2ax+y−5=0平行”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c.点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN等于( )
A. 12a−23b+12c
B. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12c
D. 23a+23b−12c
6.折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承.现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为( )
A. 2−18B. 2− 28C. 28D. 18
7.已知F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若|MN|等于|PF|的最小值的3倍，则C的离心率为( )
A. 13B. 12C. 33D. 32
8.已知过点A(−3,0)的直线与抛物线C：y2=12x相交于M，N两点，F为抛物线C的焦点，若|MF|=2|NF|，则|MF|=( )
A. 92B. 9C. 8D. 16
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线l：mx+y−2m=0，下列说法正确的是( )
A. l的斜率一定存在B. l恒过定点(2,0)
C. m= 3时，l的倾斜角为60°D. m=−2时，l不经过第二象限
10.等差数列{an}中，a1=1，公差d∈[1,2]，且a3+λa9+a15=15，则实数λ的可能取值为( )
A. −13B. −1917C. −32D. −2
11.已知点P在圆O：x2+y2=4上，点A(3,0)，B(0,4)，则( )
A. 满足AP⊥BP的点P有且只有1个
B. 点P到直线AB的距离最大值为225
C. 点A，B到直线l的距离分别为2和3，这样的直线恰好有三条
D. 圆O被过AB中点的直线l截得的弦长为 7，则直线l的方程为14x−48y+75=0
12.已知F1，F2分别为椭圆C：x216+y212=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点(不在x轴上)，△PF1F2外接圆的圆心为H，半径为R，△PF1F2内切圆的圆心为I，半径为r，直线PI交x轴于点M，O为坐标原点，则( )
A. S△PF1F2最大时，r= 33B. PH⋅PO的最小值为8
C. |PI||PM|=23D. R⋅r的取值范围为(2,83]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B两点，若|AF|=4，则点A的坐标为______．
14.圆x2+y2−4=0与圆x2+y2−4x+4y−12=0的公共弦的长为 ．
15.已知数列{an}满足an=2n，在an和an+1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，⋯，则数列{bn}的前20项的和为______ ．
16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A=−23F2B，则C的离心率为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知三角形的三个顶点是A(4,0)，B(6,5)，C(0,3)，边BC上的高所在直线为l．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l关于点B对称的直线l′的方程．
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}中，前n项和为Sn，已知a1+a3=6，a6=11．
(1)求Sn；
(2)设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知动点P(x,y)与两定点A(−1,0)，B(2,0)的距离的比为12．
(1)求动点P的轨迹方程并说明是什么图形；
(2)过点B作直线l，l与点P的轨迹C相交于M、N两点，已知Q(−2,0)，若S△MNQ=4 23，求直线l的方程．
20.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1+a23+⋯+an2n−1=n，Tn=1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若λTn≤an+49对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
21.(本小题12分)
双曲线C中心为坐标原点，左焦点为(−2 5,0)，离心率为 5．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(−4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，点F(2,0)，以线段FG为直径的圆与圆O相切，记动点G的轨迹为W．
(1)求W的方程；
(2)设点M在x轴上，点N(0,1)，在W上是否存在两点A，B，使得当A，B，N三点共线时，△ABM是以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标和直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为a=(1,−3,−2),b=(3,2,−5)，
对于A选项，由a=λb可得：(1,−3,−2)=λ(3,2,−5)，由题意得λ的值不存在，故A错误；
对于B选项，由a⋅b=3+(−6)+10=7≠0可知a⊥b不成立，故B错误；
对于C选项，a−b=(1,−3,−2)−(3,2,−5)=(−2,−5,3)≠(−2,−5,−3)，故C错误；
对于D选项，|a|= 12+(−3)2+(−2)2= 14，故D正确．
故选：D．
根据空间向量的共线，垂直的充要条件以及空间向量坐标的减法，模长定义即得．
本题考查空间向量的共线，垂直的充要条件以及空间向量坐标的减法、模长定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：抛物线x2=16y的焦点为F(0,4)，
所以点(2,5)到焦点的距离d= 22+(5−4)2= 5．
故选：B．
首先求出焦点坐标，再利用距离公式计算可得．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了点与点的距离公式，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：设公比为q(q≠0)，
∵a2，a3，a4−2成等差数列，∴2a3=a2+a4−2，
则2×2q=2+2q2−2，解得：q=2或0(舍去)，
a2=2，∴a1=1，故S4=1×(1−24)1−2=15．
故选：C．
设出公比，根据a2，a3，a4−2成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式求出答案．
本题主要考查等差与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：直线(a+1)x+ay+3=0与直线2ax+y−5=0平行的充要条件为(a+1)−2a2=0，
整理得2a2−a−1=0，解得a=1或−12，
故当a=1或−12时，两直线平行；
故“a=1”是“直线(a+1)x+ay+3=0与直线2ax+y−5=0平行”的充分不必要条件．
故选：A．
直接利用直线平行的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：直线平行的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：如图，连接ON，
∵ON是BC的中点，∴ON=12OB+12OC，
∵OM=2MA，∴OM=23OA，
∴MN=ON−OM=12OB+12OC−23OA=−23a+12b+12c．
故选：B．
根据向量的加法和减法的三角形法则得到．
本题主要考查空间向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，其首项为 22，公比为 22，
故对折5次后，得到的等腰直角三角形的腰长为( 22)5= 28，斜边长为 28× 2=14，
设所求内切圆半径为r，由等面积法可得12×( 28)2=12(14+ 28+ 28)r，解得r= 2−18．
故选：A．
根据等比数列的性质，结合等面积法加以计算，即可得到本题的答案．
本题主要考查等比数列的通项与性质、三角形内切圆半径的求法等知识，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，P为C上的动点，
由椭圆的性质，可得|PF|min=a−c．
∵过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，
∴|MN|=2b2a.∵|MN|等于|PF|的最小值的3倍，
∴2b2a=3(a−c)．
∵椭圆中a2−b2=c2，
∴2(a2−c2)=3a2−3ac，即2c2−3ac+a2=0，
则2c2a2−3aca2+a2a2=0，
∵e=ca，
∴2e2−3e+1=0，解得e=12或e=1(舍)．
故选：B．
根据椭圆的性质以及通径，可得|PF|min=a−c，|MN|=2b2a，再根据已知列式，结合椭圆a、b、c的关系，求出离心率即可．
本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意可设MN直线为y=k(x+3)，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，且x1，x2>0，
联立y=k(x+3)y2=12x，可得k2x2+(6k2−12)x+9k2=0，
则Δ>0，x1+x2=12−6k2k2，x1x2=9，
又|MF|=2|NF|，且p=6，
∴p2+x1=2(p2+x2)，∴x1=3+2x2，
∴x1x2=(3+2x2)x2=9，x2>0，
解得x2=32，∴x1=3+2x2=3+3=6，
∴|MF|=p2+x1=3+6=9．
故选：B．
设MN直线为y=k(x+3)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，且x1，x2>0，联立y=k(x+3)y2=12x，利用韦达定理及|MF|=2|NF|建立方程求出x1，再根据抛物线的焦点弦长公式计算，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，直线方程中y的系数不为0，故l的斜率一定存在，故A正确；
对于B，直线l：mx+y−2m=0，即m(x−2)+y=0，
故l恒过定点(2,0)，故B正确；
对于C，当m= 3时，直线l的斜率为− 3，直线的倾斜角为120°，故C错误；
对于D，当m=−2时，直线l：y=2x−4，
直线l过一、三、四象限，不过第二象限，故D正确．
故选：ABD．
根据已知条件，结合直线的性质，依次判断．
本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查等差数列的运算，涉及到等差数列的通项公式、不等式组等基础知识，考查运算求解能力等核心数学素养，是基础题．
利用等差数列通项公式推导出d=13−λ16+8λ，再由d∈[1,2]，列出不等式组能求出实数λ的可能取值．
【解答】
解：等差数列{an}中，a1=1，公差d∈[1,2]，且a3+λa9+a15=15，
∴1+2d+λ(1+8d)+1+14d=15，
整理得d=13−λ16+8λ，
∴d∈[1,2]，
∴13−λ16+8λ≥113−λ16+8λ≤2，解得−1917≤λ≤−13．
∴实数λ的可能取值为−13，−1917．
故选：AB．
11.【答案】BC
【解析】解：A选项，AB中点坐标为(32,2)，|AB|=5，所以以AB为直径的圆的方程为(x−32)2+(y−2)2=(52)2，半径为52，
(0,0)与(32,2)的距离为 94+4=52，52−22，
所以动点G的轨迹是以F1，F为焦点的双曲线．
设它的方程是x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
则a=1，a2+b2=4，即b2=3，
所以W的方程为x2−y23=1；
(2)假设存在符合题意的点A，B，
由A，B，N三点共线，知直线AB斜率存在．
设直线AB的方程为y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=kx+1x2−y23=1消去y并整理，得(3−k2)x2−2kx−4=0，
则3−k2≠0Δ=4k2+16(3−k2)>0，
解得−2