黑龙江省佳木斯市富锦市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省佳木斯市富锦市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知在中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．下列新能源汽车的标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
5．函数和在同一坐标系里的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
6．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点A，，连接，，已知的值为，则的面积为（ ）

A．B．C．D．
8．如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
9．如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为（ ）m．
A．10B．8C．6D．6
10．已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空（每题3分，共30分）
11．截止到2022年底，梅州市人口约为3858000人，将3858000用科学记数法表示为
12．函数的自变量x的取值范围是 ．
13．如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．

14．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有 个.
15．正方形ABCD中，AB＝4，M是正方形ABCD内一点，且∠AMB＝90°，则MC的最小值是 ．
16．如图，是外一点，分别和相切于点，是弧上任意一点，过作的切线分别交于点，若，则的周长为 ．
17．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，则该圆锥的母线长，扇形的圆心角 ．

18．已知方程的两根是，则= .
19．在四边形中，，，若与底边的夹角为，则四边形的面积为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，正方形（记为第1个正方形）的顶点与原点重合，点在x轴上，点的坐标为，以为顶点做等边三角形，使得点落在x轴上，轴，在以为边向右侧作正方形（记为第2个正方形），点在x轴上，以为顶点作等边三角形，使得点落在x轴上，轴……若按照上述的规律继续作正方形，则第2023个正方形的边长为 ．

三、解答题（共60分）
21．先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝2cs30°+tan45°．
22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．

（1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
23．为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中共抽取________学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？
24．小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为20米，坡面上的影长为8米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度．
25．如图，内接于，，点E在直径CD的延长线上，且．
（1）试判断AE与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
26．如图①，在正方形中，对角线相交于点是上一点，连接，过点A作的垂线，垂足为G，交直线于点F．易证．
(1)如图②，在菱形中，，其他条件不变，线段之间有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明．
(2)如图③，在四边形中，，其他条件不变，线段之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不必证明．
27．综合与探究在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线与直线的函数解析式；
（2）若点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值．
（3）点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，据此进行计算即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴tanA==．
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，解题时注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则tanA=．
2．D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合；据此即可作答．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；
C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故该选项是正确的；
故选：D
3．B
【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．
【详解】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
4．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设有x个球队参加比赛，根据“参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设有x个球队参加比赛，根据题意得：
．
故选：D
5．B
【分析】本题考查的知识点是函数的表示方法-图象法，熟练掌握二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系是解答本题的关键，本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．
【详解】解：由A，D中的二次函数图象可得，因为，故A，D错误；
由B，C中的二次函数图象可得，所以的图象在二，四象限内，故C错误，B正确．
故选：B．
6．B
【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，根据可得这个反比例函数的图象所在象限，再根据图象的增减性即可求解，理解反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的增减性是解题的关键．
【详解】在反比例函数中，，
它的图象在第一，三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
，，，
，，
，，
．
故选：B．
7．C
【分析】根据反比例函数的几何意义得出的面积为，再根据即可得出．
【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，
的面积为，
，
的面积为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义，熟练利用反比例函数的几何意义计算三角形面积是解题的关键．
8．D
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：D．
9．A
【详解】∵天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，
∴sinC=，
则，
解得：AC=10，
则坡面AC的长度为10m．
故选A．
10．C
【分析】根据图象可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断b的符号，进而可判断①；
抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；
根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；
根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.
【详解】解：①由图象可知：，，由于对称轴，∴，∴，故①正确；
②∵抛物线过，∴时，，故②正确；
③顶点坐标为：.由图象可知：，∵，∴，即，故③错误；
④由图象可知：，，∴，
∵，∴，
∴，故④正确；
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.
11．
【分析】本题考查科学记数法的表示．把一个数表示成与10的n次幂相乘的形式（，不为分数形式，n为整数），根据定义即可写出本题答案．
【详解】解：，
故答案为：．
12．且
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件．根据二次根式和分式有意义的条件得到且，解不等式即可求解．
【详解】解：由题意可得：且，
解得且．
∴自变量x的取值范围是且．
故答案为：且
13．或或（答案不唯一）
【分析】本题考查了相似三角形的判定．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．
【详解】解：∵，
∴当或或时，．
故答案为：或或．
14．1
【分析】设布袋里红球有x个，根据白球的概率列方程求解可得．
【详解】解：设布袋里红球有x个，
由题意得：，解得：，
经检验是原方程的解．
∴布袋里红球有1个，
故答案为：1．
【点睛】本题考查根据概率求球的个数，认真读懂题意是关键．
15．22##
【分析】如图所示，∠AMB＝90°且M是正方形ABCD内一点，知点M是在以AB为直径的⊙O位于正方形内部的弧线上，连接OC，与⊙O交于点M，此时MC取得最小值，再进一步利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵∠AMB＝90°，且M是正方形ABCD内一点，
∴点M在以AB为直径的⊙O位于正方形内部的弧线上，
连接OC，与⊙O交于点M，此时MC取得最小值，
∵AB＝BC＝4，
∴AO＝BO＝2，
则OC2，
∴MC的最小值为22．
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查了正方形得性质，圆周角性质和勾股定理，准确找到点M所在的位置是解题的关键．
16．24
【分析】本题考查切线长定理，由分别和相切于点，得出，由过作的切线分别交于点，得出，，由此进行计算即可，根据题中所给的条件及切线长定理将的周长转化为是解此题的关键．
【详解】解：分别和相切于点，，
，
过作的切线分别交于点，
，，
，
的周长为24，
故答案为：24．
17．
【分析】由可求扇形的弧长，再由，即可求解．
【详解】解：由题意得
，
，
解得：，
，
故答案：．
【点睛】本题考查了扇形的弧长、半径与对应的圆锥的底面圆的周长、母线之间的关系，弧长公式，掌握二者之间的关系和弧长公式是解题的关键．
18．
【分析】先利用根根与系数的关系得，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．
19．或
【分析】本题考查矩形的性质和判定、勾股定理的实际运用和所对的直角边等于斜边的一半，本题根据题干作图，可作不同的图形，需要分类讨论，作于点，利用勾股定理求得,即得到,再结合勾股定理求得,可得到，最后利用矩形的性质得到，即可求解．
【详解】解：由题干的条件可作图如下：
，且，
，
，
，
，
设，则，有，
即，解得，（舍去），
，
作于点，有，
，
，
，
，，
，
四边形为矩形，
，
四边形的面积，
还可作图如下：
同理可证，
作于点，有，
，
，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形的面积，
综上所述，四边形的面积为或．
故答案为：或．
20．
【分析】本题考查等边三角形性质，正方形性质，含的直角三角形三边关系．根据题意得出第二个正方形边长，继而再得到第三个正方形边长，即可发现规律得到本题结果．
【详解】解：∵正方形（记为第1个正方形），点的坐标为，等边三角形，轴
∴，，
∴，
∴，即第二个正方形边长为，
∴，即第三个正方形边长为，
∴由此得到规律：则第n个正方形边长为；
∴第2023个正方形的边长为，
故答案为：．
21．，．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将特殊锐角的三角函数值代入得出x的值，继而代入计算可得答案．
【详解】解：原式＝•＝，
当x＝2cs30°+tan45°＝2×+1＝+1时，
原式＝＝．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值. 解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值.
22．（1）见解析，；（2）见解析，；（3）
【分析】（1）分别作出点A、B关于x轴的对称点，然后依次连接即可，最后通过图象可得点的坐标；
（2）根据旋转的性质分别作出点A、B绕点O旋转90°的点，然后依次连接，最后根据图象可得点的坐标；
（3）由（2）可先根据勾股定理求出OA的长，然后根据弧长计算公式进行求解．
【详解】解：（1）如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
（2）如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
（3）由（2）的图象可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧，
∵，
∴点A旋转到点所经过的路径长为．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式是解题的关键．
23．（1）100；（2）图见详解；（3）144°；（4）这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有792名．
【分析】（1）根据统计图及题意可直接进行求解；
（2）由（1）及统计图可得C等级的人数为20名，然后可求出B等级的人数，进而问题可求解；
（3）根据题意可直接进行求解；
（4）由（2）可直接进行求解．
【详解】解：（1）由题意得：
26÷26％=100（名），
故答案为100；
（2）由题意得：
C等级的人数为100×20％=20（名），B等级的人数为100-26-20-10-4=40（名），
则补全条形统计图如图所示：
（3）由（2）可得：
；
答：B等级所对应的扇形圆心角的度数为144°．
（4）由（2）及题意得：
（名）；
答：这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有792名．
【点睛】本题主要考查扇形统计及条形统计图，熟练掌握扇形统计及条形统计图是解题的关键．
24．（米）
【分析】本题考查解直角三角形的应用以及相似三角形的性质，求出的影长是解题关键．延长交延长线于D点，作于点E，即为的影长，利用三角函数值以及物长和影长的比值计算，即可解答本题．
【详解】解：如图
∵斜坡的坡角为，坡面上的影长为8米，
∴在中，，米，
∴米，米，
在中，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
∴，
∴米，
∵地面上的影长为20米，
∴米，
∴（米），
在中，（米），
∴树的高度为米．
25．（1）AE与⊙O相切，理由见详解；（2）．
【分析】（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）连接AD，利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据，即可求出阴影部分的面积．
【详解】（1）AE与⊙O相切，理由如下：
连接AO，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AE=AC，
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠EAC=120°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接AD，则，
∴∠DAC=90°，
∴CD为⊙O的直径，
在Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°，
∴，
∴，
∴，∠AOD=60°，
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题．
26．(1)；证明见解析
(2)；证明见解析
【分析】（1）根据题意及菱形性质判定，再利用性质及含的直角三角形三边关系即可得到本题答案；
（2）根据题意及等腰三角形性质，借助平行线性质即可判定出，再根据题中条件即可得到本题答案．
【详解】（1）解：猜想：，
证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴四边形是等腰梯形，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形性质，相似三角形判定及性质，含的直角三角形三边关系，等腰梯形性质，平行线性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
27．（1）；；（2）最大值是；（3）存在，，，，
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线与直线的函数解析式；
（2）设点，得出点，再得出，利用二次函数的性质求最值；
（3）分平行于轴和不平行于轴两种情况进行讨论即可；
【详解】解：（1）∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴，
解得：
∴这个二次函数的解析式为；
∵二次函数与轴交于点，
∴点的坐标为
设直线的解析式为，
∵直线经过点
∴
解得，
∴直线的解析式为；
（2）由（1）得，
设点，则，
∴
∴当时，最大，最大值是．
（3）存在．假设存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形
①若平行于轴，如图所示，有符合要求的两个点，，此时．
∵轴，
∴点、点关于对称轴对称，
∴，
∴，
由，得到，；
②若不平行于轴，如图所示，过点作轴于，
∵，，，
∴，得，，即，
设，则有，
解得：，
又，
∴，
∴，．
综上所述，存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
点坐标为：，，，．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．