甘肃省陇南市西和县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份甘肃省陇南市西和县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。
（本试题满分150分）
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果三角形两边长分别是、，那么第三边长可能是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，是的中线，是的中线，若，则的长度为（ ）
A．3B．6C．9D．12
4．如图，，添加一个条件不能判断的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列从左到右变形，是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，已知，且，，则的值为（ ）

A．1B．2C．3D．4
7．分式与互为相反数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，是边上的高，，，则的长为（ ）

A．4B．6C．8D．10
9．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A．a（b－x）＝ab－axB．b（a－x）＝ab－bx
C．（a－x）（b－x）＝ab－ax－bxD．（a－x）（b－x）＝ab－ax－bx＋x2
10．某校开展研学综合实践活动，组织八年级学生去距离学校的教育小镇参观．其中一名老师带学生乘坐大巴车先走，过了，另一名老师乘坐小轿车出发，结果他们同时到达．已知小轿车的速度是大巴车速度的倍，求大巴车的速度．若设大巴车的速度为，则可列方程（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．当 x = 时，分式的值是 0．
12．如图，在中，，则 °．
13．在中，，且，则的度数为 ．
14．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次航天员们将在空间站进行“空间蛋白质分子组装与应用研究”等一系列科学实验．其中某一蛋白质分子的直径仅米，这个数用科学记数法表示为 米．
15．如果点是点关于y轴的对称点，那么点A关于x轴的对称点的坐标是 ．
16．已知，则 ．
17．如图，在△ABC中，AC=10，BC=6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是 ．
18．对于实数a，b，我们可以定义一种运算“”为：，则方程的解为 ．
三、解答题一（共38分）
19．计算：
(1)；
(2)．
20．（1）分解因式：；
（2）解方程：.
21．先化简，再求值： ，其中．
22．如图，在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：．
(1)作出关于y轴对称的图形．其中分别A、B、C和对应，则线段的长度为 ；
(2)仅用直尺在x轴上确定点P的位置：使得点P到点A、点C的距离之和最小．
23．如图，在等边三角形中，点三点在同一条直线上，且，． 判断是什么形状，并说明理由．

四、解答题二（共50分）
24．2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元，且充电100元和加油400元时，两车行驶的总里程相同．请求出电动汽车平均每公里的电费及燃油车平均每公里的油费．

25． 如图，为等腰直角三角形，，点 在 上，点 在 的延长线上，且．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
26．阅读下列材料并解答下面的问题：
利用完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如：
或，从而使某些问题得到解决．
例：已知，求的值．
解：．
通过对例题的理解解决下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若n满足，求式子的值．
27．小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直并交于点M，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，求C处距离地面的高度．

28．综合与探究：
如图，在中，，是的平分线，是边上的高，垂足为点E，设．

(1)如图1，若，则的度数为___________，的度数为__________．
(2)如图2，若，则的度数为__________；
(3)试探究与的数量关系，并说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，本题根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得出答案即可．
【详解】解：∵三角形的两边长分别是、，
∴设这个三角形第三边长为，则x的取值范围是：，
故这个三角形第三边的长可能是．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的性质即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
，
∵是的中线，
，
故选：A．
4．A
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判定即可．
【详解】解：在与中，
∵，，
∴A、若添加，则两三角形有两边及一边的对角对应相等，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意；
B、若添加，则两三角形有两边及其夹角对应相等，可利用判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
C、若添加，则两三角形有两角及一角的对边对应相等，可利用判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
D、若添加，则两三角形有两角及其夹边对应相等，可利用判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解，熟练掌握此定义是解此题的关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解： A、右边，左边不等于右边，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意；
B、，右边是整式的积的形式，故从左到右的变形是因式分解，所以本选项正确，符合题意；
C、，右边不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意；
D、，右边不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意；
故选：B．
6．C
【分析】本题考查三角形全等的性质，根据可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
7．C
【分析】此题考查了解分式方程和互为相反数的两数之和为零，根据题意列出分式方程，求出解即可得到的值，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
【详解】由题意得：，
去分母，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故选：．
8．C
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握30度所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．先根据是边上的高，得到，由直角三角形两锐角互余可得，进而得到，根据30度所对的直角边等于斜边的一半可得；即可解答．
【详解】解：是边上的高，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
故选：C．
9．D
【分析】要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．
【详解】解：图1中，阴影部分＝长（a－x）宽（b－x）的长方形面积，
∴阴影部分的面积＝（a－x）（b－x），
图2中，阴影部分＝大长方形面积－长a宽x长方形面积－长b宽x长方形面积＋边长x的正方形面积，
∴阴影部分的面积＝ab－ax－bx＋x2，
∴（a－x）（b－x）＝ab－ax－bx＋x2．
故选：D．
【点睛】点评：本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，需要利用图形的一些性质得出式子，考查学生观察图形的能力．正确观察图形是解题的关键．
10．A
【分析】设大巴车的速度为，则小轿车的速度是，根据时间关系列方程即可．
【详解】解：设大巴车的速度为，则小轿车的速度是，则
，
故选：A
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
11．-1
【分析】根据分式的值等于零的条件，列出方程和不等式，即可得到答案．
【详解】∵=0，
∴，且，
∴x=-1．
故答案是：-1．
【点睛】本题主要考查分式等于零的条件，掌握分式的值等于零，则分子等于零，分母不等于零，是解题的关键．
12．129
【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
【详解】解：∵中，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形全等的性质，解题的关键是先根据三角形内角和定理求出，然后根据全等三角形的性质求出．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数，据此求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
15．
【分析】先根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，再根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：∵点是点关于y轴的对称点，
∴，
∴，
∴点关于x轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴，y轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
16．
【分析】把，代入进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，解题的关键是注意整体思想的应用．
17．16
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可求出AE=BE，进而求出△BCE的周长.
【详解】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵AC=10cm，BC=6cm，
∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=10+6=16cm．
故答案为16
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△BCE的周长等于AC与BC的和是解题的关键.
18．
【分析】此题考查了解分式方程，根据新定义得到分式方程求解即可．
【详解】解：，
，
，
方程两边同乘以，得
去括号得
移项得
合并同类项得
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：．
19．(1)6
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算及整式的乘法运算，解题的关键是掌握相关的运算顺序和运算法则．
（1）先算乘方，负整数指数幂，零指数幂，去绝对值，再算加减即可；
（2）先算乘方，利用平方差公式分解，再算乘除即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（1）；（2）原分式方程无解
【分析】本题主要考查了分解因式和解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般方法，注意最后对分式方程的解进行检验．
（1）先提公因式3，然后再用完全平方公式进行分解因式；
（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验．
【详解】解：（1）；
（2）
方程两边同时乘，得，
整理，得，
解得，
检验：当时，，
∴不是原分式方程的解.
∴原分式方程无解．
21．，
【分析】此题主要考查了分式的化简求值，直接将括号里面通分运算，再利用完全平方公式和平方差公式分解，再根据分式运算法则化简，最后代入计算得出答案．
【详解】解：
；
当时，原式．
22．(1)作图见解析，6
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点即可．根据变换后的图形可直接得出的长度；
（2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．
【详解】（1）如图所示，即为所求，线段AA1的长度为6，
故答案为：6；
（2）点P的位置如图所示．
【点睛】本题考查作图—轴对称变换，轴对称的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
23．是等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，利用证明得到，再证明即可证明是等边三角形．
【详解】解：是等边三角形，理由如下：
是等边三角形，
，
在与中，
，
，
，
，即，
是等边三角形．
24．电动汽车平均每公里的充电费为元，燃油车平均每公里的加油费为元
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据等量关系列出方程，并检验其解是否符合题意即可．
【详解】解：设电动汽车平均每公里的充电费为元，则燃油车平均每公里的加油费为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元）．
答：电动汽车平均每公里的充电费为元，燃油车平均每公里的加油费为元．
25．(1)见解析
(2)的度数为
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质找出的角和相等的边，再运用判定直角三角形全等即可；
（2）根据为等腰直角三角形，可知，则，再结合 以及（）中所证明得全等三角形可得，进而可得到答案．
【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，，
∴，
在和中，
，，
∴．
（2）解：∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
因此的度数为．
26．(1)10
(2)34
(3)0
【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）把已知等式左右两边平方，计算即可求出所求；
（3）原式利用完全平方公式计算即可求出值．
【详解】（1）解：∵，
∴原式；
（2）解：把两边平方得：，
则；
（3）解：∵，
∴
则
【点睛】此题考查了完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
27．C处距离地面的高度为
【分析】本题主要考查了全等三角形的实际应用，由题意证明，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：由题意可知，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
分别为和，
∴，
∵，
∴，
∴C处距离地面的高度为．
28．(1)，；
(2)；
(3)与的数量关系为：，理由见解析．
【分析】本题考查三角形的内角和定理，垂直的定义，角的和与差．
（1）由，根据三角形的内角和定理即可求得，根据角平分线的定义即可求得的度数，又在中，利用三角形的内角和求得，从而求解即可；
（2）由，根据三角形的内角和定理即可求得，根据角平分线的定义即可求得的度数，又在中，利用三角形的内角和求得，从而求解即可；
（3）由，根据三角形的内角和定理即可求得，根据角平分线的定义即可求得，再利用三角形外角的性质求得．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，
（2）∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
（3）与的数量关系为：．
理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．