陕西省榆林市定边县定边县第七中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份陕西省榆林市定边县定边县第七中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，四象限，则的值可能是，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学试题（卷）（北师大版）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中）
1． 的值是（ ）
A．B．C．1D．
2．如图，在中，，是边上的中线，且，则（ ）
A．6B．8C．9D．10
3．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的值可能是（ ）
A．B．C．0D．1
4．已知是锐角，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ）
A．10B．15C．20D．25
6．关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定根的情况
7．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）

A．B．C．D．
8．如图，正方形的边长为10，且，，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．若是关于的一元二次方程，则的值为 .
10．一个不透明的盒子中装有黑棋子和白棋子共枚，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中.不断重复上述过程，一共取了次，其中有次取到黑棋子，由此估计盒子中有 枚黑棋子.
11．如图，在一坡度的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了米，则木箱升高了 米．

12．如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若的面积为3，点D为的中点，则k的值为 ．
13．如图，在，，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边，于点，；②分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；③作射线交边于点．若，则 ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．解方程：．
15．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长．
16．如图，在中，，，，求的值．
17．周末，学校组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李杰要把一份1600字的社会调查报告录入电脑.设他录入文字的速度为字/分，完成录入所需的时间为分钟.
(1)求与之间的函数关系式；
(2)当李杰录入文字的速度为100字/分，完成录入的时间为多少？
18．笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去．
(1)松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____；
(2)请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率．
19．已知，是△ABC的角平分线，交AB于点E，交于点F．求证：四边形是菱形．
20．如图，将一个大立方体挖去一个小立方体，请画出它的三种视图.
21．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度.如图所示，其中观景平台斜坡的长是米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯顶端处的俯角是．求大楼的高度．（参考数据：，，，，，）
22．定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”．
(1)下列方程是“差方程”的是______；（填序号）
① ② ③；
(2)若方程是“差方程”，求的值．
23．芯片目前是全球紧缺资源，市政府通过资本招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题：
(1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
(2)经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
24．如图，在中，，是的中线，作于点E，EF∥BC，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求及的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求直线与反比例函数的表达式；
(2)过点作轴于点，若点在反比例函数的图象上，且的面积为3，求点的坐标．
26．已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点．

(1)如图，连接．
求证：平分；
求证：是的中点；
(2)如图，连接，若平分，，求的长．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了正切．熟练掌握特殊角的正切是解题的关键．
根据，作答即可．
【详解】解：，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了直角三角形的特征：斜边的中线等于斜边的一半，熟记相关结论即可求解．
【详解】解：∵，是边上的中线，
∴
故选：B
3．A
【分析】本题考查了反比例函数的图象分布，对于反比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴
故选：A
4．B
【分析】本题考查了求角的余弦值，可根据题意作出直角三角形，根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：如图所示：
∵，
设，
则，
∴
故选：B
5．C
【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据位似图形的概念得到，，求得相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∴，
∴，
∴与的面积比为，
∵的面积为5，
∴的面积是20，
故选C．
6．A
【分析】根据题意得到，，，再计算，即可判断方程根的情况．
【详解】解：根据题意得：，，，
，
关于的一元二次方程的根的情况为有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
7．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记定理内容是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
即：
若，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定，故A不符合题意；
若，则两边成比例，无夹角相等，故不能判定，故B符合题意；
若，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定，故C不符合题意；
若，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定，故D不符合题意；
故选：B
8．C
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，延长交于点，证是解题关键．
【详解】解：延长交于点，如图所示：
∵，，,
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：且，
∴，
故答案为：
10．
【分析】本题考查了由频率估计概率，根据摸到黑棋子的频率得出其概率即可求解．
【详解】解：由题意得：取到黑棋子的概率约为：，
∴估计盒子中有黑棋子：（枚），
故答案为：
11．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−−坡度坡角问题，设木箱升高了米，根据坡度的概念用表示出木箱前进的水平距离，再根据勾股定理计算即可得到答案，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
【详解】解：设木箱升高了米，
∵斜坡的坡度为，
∴木箱前进的水平距离为米，
由勾股定理得，
解得（负值舍去），
故答案为：．
12．
【分析】先设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用的面积建立方程求出，即可得出结论．
【详解】解：设点，
，
D为的中点，
，
轴，
的面积为3，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
13．
【分析】先判断，再证明，再结合三角形的内角和定理可得，再根据含角的直角三角形的性质即可作答．
【详解】解：由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角平分线的作图，相似三角形的性质,含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟悉角平分线的作图步骤与相似三角形的对应角相等是解本题的关键．
14．，；
【分析】先因式分解，再使每一个因式为0，从而得出x的值．
【详解】解：
因式分解得，
∴或，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
15．
【分析】本题考查了成比例线段的定义，由题意得出即可求解．
【详解】解：已知，，，是成比例线段，
根据成比例线段的定义得，
代入，，得：，
解得：，
∴线段的长为
16．
【分析】本题考查了求角的正切值，根据勾股定理求出，由即可求解．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得.
则
17．(1)
(2)完成录入所需的时间为16分钟
【分析】本题侧重考查关于反比例函数应用的题目，解答本题的关键是找出题目中的数量关系．
（1）根据录入所需的时间1600录入文字的速度，即可解答；
（2）将代入函数关系式，即可解答．
【详解】（1）由题意，得与之间的函数关系式为；
（2）将字/分代入上式，得（分），
答：完成录入所需的时间为16分钟．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的求解方法以及画树状图或列表法是解题关键．
（1）根据松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择，即可求解；
（2）根据题意画出树状图，找出总的可能情况和松鼠经过门出去的情况，即可求出概率．
【详解】（1）解：∵松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择，
∴松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是，
故答案为：
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中松鼠经过门出去的情况有2种，
∴松鼠经过门出去的概率是
19．见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练的利用菱形的判定方法进行证明是解本题的关键．
先证明四边形为平行四边形，再证明可得从而可得结论．
【详解】证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵是的一条角平分线，
∴
∴

∴四边形为菱形．
20．详见解析
【分析】本题考查了画简单组合体的三视图，旨在考查学生的空间想象能力，直接看到的是实线，看不到的是虚线，据此即可作图．
【详解】解：如图.
21．大楼的高度约为96米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，作垂线构造直角三角形是解题关键．延长交延长线于点，过点作于点，分别解、即可求解．
【详解】解：如图，延长交延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∵，
∴（米），
（米），
∴（米）.
由题意，在中，，
∵，
∴（米），
∴（米），
答：大楼的高度约为96米．
22．(1)②
(2)或
【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键．
（1）分别求出方程的解即可判断；
（2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解．
【详解】（1）解：①，
，
∴，
，不是整数根，故①不是“差方程”；
②，
，
∴，
∴，故②是“差方程”；
③，
，
，
∴方程无整数根，故③不是“差方程”；
故答案为：②；
（2）解：方程因式分解得，
解得：，.
∵方程为“差方程”，
∴，
解得：或.
23．(1)20%
(2)4条
【分析】（1）设求前三季度生产量的平均增长率为x， 根据第一季度生产200万个，第三季度生产288万个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600-20m）万个/季度，利用总产量=每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合在增加产能同时又要节省投入，即可确定m的值．
【详解】（1）解：设求前三季度生产量的平均增长率为x，
依题意得：，
解得：=0.2=20%，=-2.2（不合题意，舍去）．
答：前三季度生产量的平均增长率20%；
（2）解：设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600-20m）万个/季度，
依题意得：（1+m）（600-20m）=2600，
整理得：，
解得：=4，=25，
∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m=4．
答：应该再增加4条生产线
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．(1)证明见解析
(2)，
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
（1）由是的中线可得，即，结合可得从而得证；
（2）由（1）可得对应边成比例，从而求出，根据勾股定理即可求出，再由可得，代入数据即可求出．
【详解】（1）证明：是的中线，
即，
，
，
，
；
（2），
，即，
解得，
是的中线，
，
，
，
，即，
解得．
25．(1)+2，
(2)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及待定系数法的运用，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．
（1）代入中，得；再把代入，得，运用待定系数法求解析式，即可作答．
（2）设点P的纵坐标为b，根据的面积为3求出b，再代入求出横坐标即可．
【详解】（1）解：把代入中，
得，解得，
∴直线的表达式为.
把代入，得，
解得，
∴，
把点代入中，得，
解得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设点的坐标为，
∵的面积为3，
∴.
∵，
∴，
即，
解得，
当时，，
当时，，
∴或．
26．(1)见解析；见解析；
(2)．
【分析】（）旋转性质得，从而有，由根据矩形的性质可得，通过平行线的性质即可求解；
过点作于点，证明，由性质可得，再证明即可；
（）作于点，由（）得出，，再通过性质和勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，

由旋转性质得，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
如图，过点作于点，

由①可知，
又∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴点为中点，
（2）解：如图，作于点，

由()可知，，
∴，，
∵，平分，
∴
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【点睛】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．