浙江省台州市温岭市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份浙江省台州市温岭市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共22页。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（有10小题，每小题4分，共40分）
1．年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+y＝2B．x2﹣+1＝0C．x2﹣5x＝3D．x﹣3y+1＝0
3．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1=0的一个根，则2021﹣6a2＋2a的值是（ ）
A．2023B．2022C．2020D．2019
4．下列函数属于二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．在一个不透明的盒子中装有红球、白球、黑球共个，这些球除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从盒子中摸出一个球记录颜色后放回．经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为（ ）
A．12B．15C．18D．22
6．估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
7．2021年5月11日，国新办发布我国第七次人口普查结果，全国总人口约14.11亿，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长．据查，2000年第五次人口普查全国总人口约12.95亿．若设从第五次到第七次人口普查总人口的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为（ ）
A．B．C．D．
9．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠0B．k＜且k≠0C．k≤且k≠0D．k＜
10．如图，在中，平分，交于点D，过D作的平行线交于M，若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）．
11．圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是 ．
12．在－1，0，1这三个数中任取两个数，，则二次函数图象的顶点在坐标轴上的概率为 .
13．如图在中，，，将绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到，设交边于D，连结，若是等腰三角形，则旋转角α的度数为 .
14．如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．
（1）直接写出点D的坐标 ；
（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为 ．
15．关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
16．如图，把双曲线绕着原点逆时针旋转与轴交于点，
（1）若点B（0，2），则 ；
（2）若点A（3，5）在旋转后的曲线上，则 ．
三、解答题（ 共80分）
17．解方程：
18．如图，是的直径，是的弦，延长到点C，使，连接交于点F．
(1)与的大小有什么关系？请说明理由；
(2)若，，求：图中的长．
19．已知布袋中有红、黄、蓝色小球各一个，用画树状图或列表的方法求下列事件的概率.
（1）如果摸出第一个球后，不放回，再摸出第二球，求摸出的球颜色是“一黄一蓝”的概率.
（2）随机从中摸出一个小球，记录下球的颜色后，把球放回，然后再摸出一个球，记录下球的颜色，求得到的球颜色是“一黄一蓝”的概率.
20．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB．
(1)按要求尺规作图：作AD的垂直平分线(保留作图痕迹）；
(2)若AD的垂直平分线与AB相交于点O，以O为圆心作圆，使得圆O经过AD两点．
①求证：BC是⊙O的切线；②若，求⊙O的半径．
21．如图，在中，点P在斜边上移动，，M，N分别为垂足，，则何时矩形的面积最大？最大面积是多少？
22．如图，△OA1B1，△B1A2B2是等边三角形，点A1，A2在函数的图象上，点B1，B2在x轴的正半轴上，分别求△OA1B1，△B1A2B2的面积．

23．如图半径为r，锐角内接于，连并延长交于D，过点D作于E．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，若，求的长；
(3)如图2，当时，，求r的值；
(4)如图3，若，直接写出的值（用含r的代数式表示）
参考答案与解析
1．C
【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．
【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
通过选项中的图形判断可得C选项中的图形为中心对称图形，
故选：C．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2．C
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是分式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．然后进行判断即可．
3．D
【分析】先把a代入方程得到3a2-a=1，然后方程两边都乘以-2得-6a2+2a=-2，从而求出答案．
【详解】解：由题意得：3a2-a-1=0，
∴3a2-a=1，
∴-6a2+2a=-2，
∴2021﹣6a2＋2a =2021-2=2019．
故选：D．
【点睛】本题考查的是逆用一元二次方程解的定义得出-6a2+2a的值，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的识别，形如的函数为二次函数，据此即可求解．
【详解】解：由二次函数的定义可知，C为二次函数，
故选：C
5．A
【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：盒子中红球的个数约为，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．
6．C
【分析】根据二次根式的混合运算得出，根据，即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．
7．D
【分析】根据等量关系第五次总人口×（1+x）2=第七次总人口列方程即可．
【详解】解：根据题意，得：12.95（1+x）2=14.11，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解答的关键．
8．C
【分析】根据垂径定理和勾股定理得出求解即可．
【详解】解：根据垂径定理可知，
在直角中，根据勾股定理得：
则
解得：或4，
根据题中，可知不合题意，故舍去，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于的等式是解题关键．
9．C
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，
∴k≠0且△=（-1）2-4k≥0，
解得：且k≠0．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
10．B
【分析】根据平分，，可得，从而得到，再根据，即可求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
故选B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，根据题意得到是解题的关键．
11．6π
【分析】根据扇形的面积公式S=计算，即可得出结果．
【详解】解：该扇形的面积S==6π．
故答案为6π．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
12．
【分析】将所有的可能的情况枚举出来,再根据频率计算概率即可.
【详解】由题意顶点坐标m,n共有(-1,0)(-1,1)(0,-1)(0,1)(1,-1)(1,0)6种情况,其中在坐标轴的由4种,
概率为:.
故答案为: .
【点睛】本题考查二次函数与概率计算,关键在于把顶点坐标表示出来.
13．或##或
【分析】根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分三种情况讨论求解.
【详解】∵绕C点逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∴，
根据三角形的外角性质，，
是等腰三角形，分三种情况讨论，
①时，，无解，
②时，，
解得，
③时，，
解得，
综上所述，旋转角α度数为或.
故答案为：或.
【点睛】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键.
14． 或##或
【分析】（1）观察坐标系即可得点D坐标；
（2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：（1）观察图象可知，点D的坐标为（6，6），
故答案为：（6，6）；
（2）当点A与C对应，点B与D对应时，如图：
此时旋转中心P的坐标为（4，2）；
当点A与D对应，点B与C对应时，如图：
此时旋转中心P的坐标为（1，5）；
故答案为：（4，2）或（1，5）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
15．2或##或2
【分析】先求出二次函数的对称轴，再分与时两种情况，根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，
①时，在范围内，当时，取得最大值6，
即 ，
∴或（舍去）．
②时，则当时，取得最大值为6，
即 ，
∴或（舍去）．
综上可得，或．
故答案为：2或
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分与两种情况讨论求解，属于基础题．
16． 2 8
【分析】（1）根据旋转的性质，求出点的对应点坐标，求出值即可；
（2）根据旋转的性质，求出点的对应点坐标，求出值即可；
【详解】解：（1）设点绕着原点逆时针旋转后的对应点为点（0，2），
则：，，
过点作轴，交轴于点，
则：为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2；
（2）设点绕着原点逆时针旋转后的对应点为点A（3，5），
则：，，
过点作，
则：，
∴，
∴，
∴，
整理，得：，
解得：或（不合题意，舍掉），
把代入，得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：8．
【点睛】本题考查反比例函数，以及旋转的性质．熟练掌握旋转的性质，确定点的坐标，是解题的关键．
17．，
【分析】利用配方法解一元二次方程．
【详解】解：，
二次项系数化1，得：，
配方，得：，
，
，
，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负数，开方即可求出解．
18．(1)相等，见解析
(2)
【分析】（1）由三角形中位线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质可得，进而求出答案；
（2）根据弧长的计算公式进行计算即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
由，可得半径为4，
所以的长为．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，弧长的计算，掌握弧长的计算公式，平行线的性质是正确解答的前提．
19．（1）；（2）
【分析】运用画树状图或列表的方法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比解答即可.
【详解】解：（1）画树状图如图所示.
共有6种等可能的情况，其中摸到的球是“一黄一蓝”的情况有2种，因此球颜色是“一黄一蓝”的概率为.
（2）画树状图如图所示.
共有9种等可能的情况，其中摸到的球是“一黄一蓝”的情况有2种，因此球颜色是“一黄一蓝”的概率为.
【点睛】本题主要考查的是用画树状图法或列表法求概率.着重考查了用画树状图法或列表法列举随机事件出现的所有情况，并求出某事件的概率，应注意认真审题，注意不放回再摸和放回再摸的区别.
20．(1)见解析；
(2)①证明见解析；②3
【分析】（1）根据垂直平分线的作法，即可画出图形；
（2）①连接OD，根据角平分线得出∠CAD=∠BAD，进而得出∠BAD=∠ODA，从而∠CAD=∠ODA，即OD∥AC，进而判断出OD⊥BC，即可得出结论；②过点D作DH⊥AB于H，根据角平分线性质得出DH=CD=，再利用勾股定理得出AH=4,设⊙O半径为r，再在Rt△OHD中，,建立方程求解即可．
【详解】（1）
（2）①证明：如图，连接OD，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为⊙O半径，
∴BC是⊙O的切线．
②如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD为∠BAC的角平分线，,
∴DH=CD=,
在Rt△ADH中，
,
设⊙O半径为r，∴OA=OD=r，
∴OH=AH-OA=4-r，
在Rt△OHD中，,
∴
∴r=3，
即⊙O的半径为3．
【点睛】本题考查了基本作图，切线的判定，勾股定理和角平分线定理，做出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．点是的中点时，矩形的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，设矩形的面积为，找到与的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴,
设矩形的面积为，则，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴当，即，点是的中点时，矩形的面积最大，最大面积是
22．△OA1B1的面积=，△B1A2B2的面积=．
【分析】分别过A1、A2作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设OD=m，B1E=n(m＞0，n＞0)．根据等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系得到A1的坐标为(m，m)，A2的坐标为(2m+n，n)，然后先后把A1、A2的坐标代入反比例解析式求得m、n的值，这样就确定两等边三角形的边长，然后根据等边三角形的面积公式计算即可．
【详解】分别过A1、A2作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，

设OD=m，B1E=n(m＞0，n＞0)．
∵△OA1B1，△B1A2B2是等边三角形，
∴∠OA1D=∠B1A2E=30°，
∴A1D=OD=m，A2E=B1E=n，OE=2m+n，
∴A1的坐标为(m，m)，A2的坐标为(2m+n，n)，
又∵点A1在函数的图象上，
∴，解得：(负值已舍)，
∴A1的坐标为(，)，
∴OB1=2m=，OE=+n．
∴A2的坐标为(+n，n)，
∵点A2在函数的图象上，
∴，
整理得：，
解得：n1=，n2= (舍去)，
∴n=，
∴A2的坐标为(，)，
∴B1B2=2n=，
∴△OA1B1的面积，
△B1A2B2的面积．
【点睛】本题综合考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，含30度的直角三角形三边的关系以及等边三角形的性质等多个知识点．此题难度不大，计算量较大，注意对各个知识点的灵活应用．
23．(1)见解析
(2)3
(3)
(4)
【分析】（（1）延长交于F，连接，由圆周角定理可得，再由等角的余角相等可得结论；
（2）作，可得，再由证明即可得到结论；
（3）作于点G，于点H，可证明，得到，由勾股定理得，，延长交于，连接，可得，再由勾股定理可得结论；
（4）延长交于点F，连接，过点C作于点G，连接交于点H，由证明得，从而，再根据证明得，最后由勾股定理可得结论．
【详解】（1）延长交于F，连接，
∴
∵为直径，，
∴，
∴；
（2）作于N，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）作于点G，于点H，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴可得，
又∵，
∴，
在中，，
设，
在中，，
解得，
∴，
延长交于，连接，
∵，
∴，
在中，．
∴；
（4）延长交于点F，连接，过点C作于点G，连接交于点H，如图，
，
，
，
，
由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
为的直径，
，
，
，
．
【点睛】本题考查垂径定理、直径的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．