2022-2023学年山东省临沂市河东区八年级（上）期末数学试卷（含解析

这是一份2022-2023学年山东省临沂市河东区八年级（上）期末数学试卷（含解析，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若分式2a+1有意义，则a的取值范围是( )
A. a=0B. a=1C. a≠−1D. a≠0
2.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a3b)2=a6b2
C. 3a6÷a2=3a3D. (x−y)2=−(y−x)2
3.若xy=x−y≠0，则分式1x−1y的值为( )
A. 1xyB. x−yC. −1D. 1
4.已知等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为( )
A. 7cmB. 3cmC. 7cm或3cmD. 5cm
5.下列轴对称图形中，对称轴最多的是( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 正方形D. 线段
6.若x2+2(m−3)x+4是关于x的完全平方式，则m的值( )
A. ±4B. 5C. 1D. 5或1
7.若ax=3，ay=2，则a2x+3y=( )
A. 108B. 54C. 36D. 72
8.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE=2，AC=4，则△ADC的面积是( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
9.如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是( )
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. ASA
10.如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 17.5cm
11.小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于( )
A. 280°
B. 285°
C. 290°
D. 295°
12.已知关于x的分式方程xx−2=3−ax−2无解，则a的值为( )
A. −3B. 2C. 3D. −2
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.分式方程12x=2x−3的解是 ．
14.已知A(a,−2)与B(13,b)关于x轴对称，则a+b= ______ ．
15.已知：x+1x=3，则x2+1x2= ______ ．
16.如图，已知△ABC的周长是19cm，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4cm，△ABC的面积是______ ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
先化简，再求值．
(1)已知：(x−y)(x2+xy+y2)−x3，其中y=−1；
(2)已知：x2−2x+1x2−x÷(x−1x)，其中x=−2．
18.(本小题8分)
(1)尺规作图1：已知∠AOB，求作∠AOB的角平分线OC.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)尺规作图2：已知∠AOB，求作∠A′O′B′.使∠A′O′B′=∠AOB.(保留作图痕迹，不写作法)
19.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；(其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点，不写画法)
(2)直接写出A′B′C′三点的坐标；
(3)求△ABC的面积．
20.(本小题8分)
如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD交BD的延长线于点E，CE=1，延长CE、BA交于点F．
(1)求证：△ADB≌△AFC；
(2)求BD的长度．
21.(本小题8分)
列分式方程解决下列问题：
一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地．
(1)求出发后第一小时内的行驶速度；
(2)求这辆汽车到达目的地时所用的行驶时间．
22.(本小题8分)
如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，DB⊥AC于点B，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点，连接MN，试猜想△BMN的形状并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
根据分式有意义的条件进行解答．
本题考查了分式有意义的条件，要从以下两个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
【解答】
解：∵分式有意义，
∴a+1≠0，
∴a≠−1．
故选：C．
2.【答案】B
解：A.a2⋅a3=a5，故本选项不符合题意；
B.(a3b)2=a6b2，故本选项符合题意；
C.3a6÷a2=3a4，故本选项不符合题意；
D.(x−y)2
=[−(y−x)]2
=(y−x)2，故本选项不符合题意；
故选：B．
先根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式进行计算，再得出选项即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式等知识点，能正确根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法和完全平方公式进行计算是解此题的关键．
3.【答案】C
解：∵xy=x−y，
∴1x−1y
=y−xxy
=−(x−y)x−y
=−1，
故选：C．
先根据分式的减法法则进行计算，再把xy=x−y代入求出即可．
本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
4.【答案】B
解：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，底边长是：13−3−3=7(cm)，而3+3<7，不满足三角形的三边关系．
故该等腰三角形的底边长为3cm．
故选：B．
分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
本题主要考查了等腰三角形的性质，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理是解题的关键．
5.【答案】C
解：A、等腰三角形1条对称轴；
B、等边三角形3条对称轴；
C、正方形有4条对称轴；
D、线段2条对称轴．
故选：C．
根据对称轴的概念，确定每个图形的对称轴的条数．
轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．
6.【答案】D
解：∵(x±2)2=x2±4x+4，
∴在x2+2(m−3)x+4中，2(m−3)=±4，
解得：m=5或1．
故选：D．
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故2(m−3)=±4，进而得到m=5或1．
本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
7.【答案】D
解：∵ax=3，ay=2，
∴a2x+3y=a2x⋅a3y=(ax)2⋅(ay)3=32×23=9×8=72．
故选：D．
利用同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算，可得a2x+3y=a2x⋅a3y=(ax)2⋅(ay)3，将ax=3，ay=2代入即可求解．
本题考查同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8.【答案】A
解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，
∵DE=2，
∴DF=2，
∴S△ADC=12AC×DF=12×4×2=4，
故选：A．
先根据角平分线的性质得到DF=DE=2，再利用三角形面积公式即可求解．
本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.【答案】D
解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D．
根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．
本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
10.【答案】C
解：∵△DBC的周长=BC+BD+CD=35cm(已知)，
又∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD(线段垂直平分线的性质)，
故BC+AD+CD=35cm，
∵AC=AD+DC=20cm(已知)，
∴BC=35−20=15cm．
故选：C．
利用线段垂直平分线的性质得AD=BD，再利用已知条件三角形的周长计算．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质．
11.【答案】B
解：
∵∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴∠2+∠3=180°−∠D=150°，
∵∠α=∠1+∠A，∠β=∠4+∠C，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠α+∠β=∠A+∠1+∠4+∠C=∠A+∠C+∠2+∠3=45°+90°+150°=285°，
故选：B．
根据直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质计算即可．
本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
12.【答案】D
解：xx−2=3−ax−2，
去分母得：x=3x−6−a，
解得：x=6+a2，
∵原分式方程无解，
∴x−2=0，即x=2，
∴6+a2=2，
解得：a=−2．
故选：D．
先把分式方程化为整式方程可得x=6+a2，再由原分式方程无解，可得x=2，即可求解．
本题考查了分式方程的无解问题，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
13.【答案】x=−1
【解析】【分析】
根据解分式方程的方法即可得解，记住最后要进行检验．
本题考查分式方程的解，解题的关键是明确解分式方程的方法，注意最后要进行检验．
【解答】
解：12x=2x−3，
方程两边同乘以2x(x−3)，得x−3=4x，
解得，x=−1，
检验：当x=−1时，2x(x−3)≠0，
故原分式方程的解是x=−1，
故答案为：x=−1．
14.【答案】73
【解析】解；∵点A(a,−2)与B(13,b)关于x轴对称，∴a=13，b=2，
∴a+b=13+2=73，
故答案为：73．
根据关于x轴对称的坐标特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数可直接得到a、b值，即可求解．
本题考查的是关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟练掌握关于x轴对称的坐标特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
15.【答案】7
解：∵x+1x=3，
∴(x+1x)2=9，
即x2+1x2+2=9，
则x2+1x2=7．
故答案为：7．
把已知的式子两边平方，即可求解．
本题考查了完全平方公式，理解(x+x−1)的平方与所求的式子之间的关系是关键．
16.【答案】38cm2
解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，
∴OE=OD，OD=OF，
即OE=OF=OD=4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC=12×AB×OE+12×AC×OF+12×BC×OD=12×4×(AB+AC+BC)=12×4×19=38(cm2)，
故答案为：38cm2．
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE=OF=OD=4，根据S△AOB+S△AOC+S△OBC，即可求出答案．
本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
17.【答案】解：(1)原式=x3+x2y+xy2−(x2y+xy2+y3)−x3
=x3−y3−x3=−y3；
当y=−1时，原式=−(−1)3=1．
(2)解：原式=(x−1)2x(x−1)÷x2−1x
=(x−1)2x(x−1)×x(x+1)(x−1)
=1x+1，
当x=−2时，原式=1−2+1=−1．
【解析】(1)先运用单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可化简，然后代入计算即可求解；
(2)先计算括号内的，再用分式除法法则计算，即可化简，然后代入计算即可
本题考查整式化简求值，分式化简求值，熟练掌握整混合运算法则，分式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示，射线OC即为所求．

(2)如图∠A′O′B′即为所求；

【解析】(1)利用尺规作图——作一个角的平分线的方法直接作图即可；
(2)利用尺规作图——作一个角等于已知角的方法直接作图即可．
本题考查了尺规作图——作一个角的平分线和作一个角等于已知角，解题关键是掌握尺规作图的方法．
19.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′；
(2)A′(2,3)，B′(3,1)，C′(−1,−2)；
(3)△ABC的面积=4×5−12×3×4−12×2×1−12×5×3=5.5．
【解析】(1)(2)利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A′B′C′三点的坐标，然后描点即可；
(3)用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△ABC的面积．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
20.【答案】(1)证明：如图，
∵∠BAC=90°，CE⊥BD，
∴∠2+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠ACF=∠2，
在△ADB和△AFC中，
∠BAD=∠CAF=90°∠2=∠ACFAB=AC,
∴△ADB≌△AFC(AAS)；
(2)解：∵△ADB≌△AFC，
∴BD=CF，
∵BE⊥CF，
∴∠BEC=∠BEF=90°，
∵∠1+∠BCE=90°，∠2+∠F=90°，
又∵∠1=∠2，
∴∠BCF=∠F，
∴BC=BF，CE=EF=1，
∴BD=CF=2．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等解决问题，属于中考常考题型．
(1)欲证明△ADB≌△AFC，只要证明∠ACF=∠2，然后用AAS即可；
(2)由(1)可知BD=CF，只要证明BC=BF，可得EC=EF=1，即可解决问题．
21.【答案】解：(1)设出发后第一小时内的行驶速度为vkm/ℎ，
根据题意得：180v=180−v1.5v+1+4060，
解得：v=60，
检验：当v=60时，1.5v≠0，
∴v=60是原分式方程的解．
答：出发后第一小时内的行驶速度为60km/ℎ．
(2)18060−4060=73(小时)．
答：这辆汽车到达目的地时所用的行驶时间为73ℎ.
【解析】(1)设出发后第一小时内的行驶速度为vkm/ℎ，根据时间=路程÷速度结合提前40min到达目的地即可得出关于v的分式方程，解之即可得出结论；
(2)根据行驶时间=路程÷速度−提前时间列式即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：(1)根据数量关系时间=路程÷速度列出关于v的分式方程；(2)根据数量关系行驶时间=路程÷速度−提前时间列式计算．
22.【答案】解：猜想：△BMN是等腰直角三角形．
∵DB⊥AC，
∴∠ABE=∠DBC=90°，
∵在△ABE和△DBC中，
AB=DB∠ABE=∠DBCEB=CB，
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴AE=CD，∠BAE=∠BDC，
∵M、N分别是AE，CD的中点，
∴AM=12AE，DN=12CD，
∴AM=DN，
∵在△MAB和△NDB中，
AM=DN∠MAB=∠NDBAB=DB，
∴△MAB≌△NDB(SAS)，
∴BM=BN，∠ABM=∠DBN，
∵∠ABM+∠MBD=90°，
∴∠DBN+∠MBD=90°，
即∠MBN=90°，
∴△BMN是等腰直角三角形．
【解析】根据题意可证△ABE≌△DAC，可得AE=DC，∠EAB=∠CDB，从而可证△AMB≌△DNB，可得BM=BN，∠ABM=∠DBN，从而可证∠NBM=90°，即可证明出猜想．
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定，正确寻找全等三角形是解决问题的关键．