2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市克东县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市克东县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如果是方程的一个根，则常数的值是( )
A. B. C. D.
3.下列事件中，是必然事件的为( )
A. 明天会下雨B. 打开电视机，正在播放动画片
C. 三角形内角和为D. 经过一个路口，信号灯刚好是红灯
4.抛物线经过点，则的值是( )
A. B. C. D.
5.已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为( )
A. B. C. D.
6.设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.下列命题正确的有( )
相等的圆心角所对的弧相等；
平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
直径所对的圆周角是直角；
圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴．
A. 个B. 个C. 个D. 个
8.一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图是圆心角是的扇形，则圆锥的母线长为( )
A. B. C. D.
9.如图，是的直径，的长为，点在圆上，且，则弦的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出四个结论：；；；，其中正确结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.若点与点关于原点对称，则 ______ ．
12.若关于的方程是一元二次方程，则的值是______．
13.众友药店的某药品原价每盒元，该药店经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______．
14.已知是的一条弦，作直径，使，垂足为，若，，则的长是______ ．
15.已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为______ ．
16.如图，已知的半径为，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为______ ．
17.如图，一部分抛物线：记为图象与轴交于点和，将图象绕点旋转，得到图象，交轴于点，将图象绕点旋转，得到图象，交轴于点，如此变换图形，得到图象如果，则图象的顶点坐标为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
18.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的三个顶点都在格点上．
以为原点建立直角坐标系，点的坐标为，则点的坐标为______ ；
画出绕点顺时针旋转后的，并求线段扫过的面积．
四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
用适当方法解一元二次方程：．
已知一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值．
20.本小题分
一个不透明的口袋中装有张卡片，卡片上分别标有数字、、、，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片．
求小芳抽到负数的概率；
若小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用树状图或列表法，求小明和小芳两人均抽到负数的概率．
21.本小题分
如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
22.本小题分
在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为元，当售价为每袋元时，销售量为袋，若销售单价每提高元，销售量就会减少袋．
直接写出小明销售该类型口罩销售量袋与销售单价元之间的函数关系式______；每天所得销售利润元与销售单价元之间的函数关系式______．
若小明想每天获得该类型口罩的销售利润元时，则销售单价应定为多少元？
求当销售单价定为多少元时，利润最大，最大利润是多少？
23.本小题分
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图所示，在中，，，点是边上一点，连接，将绕着点按逆时针方向旋转，使与重合，得到．
【操作探究】
试判断的形状，并说明理由；
【深入探究】
希望小组受此启发，如图，在线段上取一点，使得，连接，发现和有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；
智慧小组在图的基础上继续探究，发现，，三条线段也有一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系．
24.本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点与点的坐标分别为，，点是抛物线的顶点．
求抛物线的解析式；
点是线段上一个动点，且点的横坐标为，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段的最大值，并求出此时点的坐标；
在的条件下，若在线段上存在点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
解：、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：．
根据中心对称图形的定义：旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念即可，属于基础题．
2.【答案】
解：把代入得，解得．
故选：．
把代入得关于的方程，然后解此方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.【答案】
解：、明天可能下雨也可能不下雨，是随机事件；
B、打开电视机可能播动画片也可能不是，是随机事件；
C、三角形的内角和为，是必然事件；
D、经过一个路口，可能是红灯也可能不是，是随机事件，
故选：．
必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．
考查了必然事件的概念．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】
解：抛物线经过点，
，
，
，
，
故选：．
将点代入可得，再求代数式的值即可．
本题考查二次函数图象上点的特点，熟练掌握函数图象上的点与二次函数表达式的关系是解题的关键．
5.【答案】
解：和直线相交
又圆心到直线的距离为
故选：．
根据直线与圆的位置关系的判断的方法可求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为，圆心到直线的距离为．
直线和相交
直线和相切
直线和相离．
6.【答案】
解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，点离直线最近，
．
故选：．
根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
7.【答案】
解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故错误；
平分弦非直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故错误；
直径或半圆所对的圆周角是直角，故正确；
圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故错误；
所以正确的结论只有一个，故选D．
根据圆心角与弧的关系，圆周角定理，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案．
牢记圆心角、弧的关系，圆周角定理，垂径定理等相关知识是解答此题的关键；需要特别注意的是轴对称图形的对称轴是一条直线．
8.【答案】
解：设圆锥的母线长为，
根据题意得，
解得．
即圆锥的母线长为．
故选：．
设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，由弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9.【答案】
解：如图所示，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，
故选：．
如图所示，连接，利用圆周角定理得到，由此证明是等边三角形，即可得到．
本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造等边三角形是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题主要从二次函数与坐标轴的交点，开口方向，对称轴及特殊点等方面进行判断．
首先观察图形，可知，，由，，可判断出正确与否，由时，，利用图象即可得出正确与否．
【解答】
解：图象与轴有两个交点，
，
即，
正确；
因为开口向下，故，
由，
则，
又，
故，
错误；
由对称轴为直线，得，故，
正确；
由图象可知，当时，，
错误；
综上所述，正确．
故选：．
11.【答案】
解：点与点关于原点对称，
，，
则．
故答案为：．
根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求出，的值，再求代数式的值即可．
本题考查的是关于原点对称的点的特征，熟练掌握关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
本题根据一元二次方程的定义解答．
【解答】
解：由关于的方程是一元二次方程，得
，解得，
故答案为：．
13.【答案】
解：设该药品平均每次降价的百分率为，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒元，
故，
解得或不合题意，舍去，
故该药品平均每次降价的百分率为．
故答案为：．
设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
此题考查了一元二次方程的应用中数量平均变化率问题．原来的数量价格为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是增长用“”，下降用“”．
14.【答案】或
解：如图所示，连接，
直径，
根据垂径定理，．
在中，根据勾股定理得．
当点在半径上时，；
当点在半径上时，．
的长为或．
故答案为：或．
连接，利用勾股定理和垂径定理求出，再分当点在半径上时，当点在半径上时，两种情况讨论求解即可．
本题主要考查了勾股定理和垂径定理，正确根据题意画出对应的图形并利用分类讨论的思想求解是解题的关键
15.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了解一元二次方程因式分解法，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键求出方程的解确定出等腰三角形的底边与腰长，求出三角形周长即可．
【解答】
解：方程，
分解得：，
解得：或，
若为底边，为腰，此时周长为；
若为腰，为底，，不能构成三角形，舍去，
则周长为．
故答案为．
16.【答案】，
解：的半径为，圆心在抛物线上运动，
当与轴相切时，
，即纵坐标为：，
代入二次函数解析式：，
解得：，
圆心的坐标为：，，
故答案为：，．
根据与轴相切时，的半径为，可以得出，即二次函数纵坐标为，代入解析式求出即可．
此题主要考查了直线与圆相切的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，将，代入解析式求出的值是解决问题的关键．
17.【答案】
解：，
的顶点坐标为，点的坐标为，
由题意可得，的顶点坐标为，的顶点坐标为，的顶点坐标为，
的横坐标为：，纵坐标为，
的顶点坐标是．
故答案为：．
根据题目中的函数解析式可以得到的顶点坐标，再根据题意，可以得到的顶点坐标、的顶点坐标、的顶点坐标，从而可以得到抛物线顶点坐标的变化特点，从而可以得到的顶点坐标．
本题考查抛物线与轴的交点、规律性、点的坐标、二次函数的图象与几何变化，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
18.【答案】
解：如图，点的坐标为；
如图，为所作；
，
线段扫过的面积
先画出直角坐标系，然后根据第二象限点的坐标特征写出点坐标；
先利用网格特点和旋转的性质画出点和的对应点、，即可得到，再利用勾股定理计算出和，然后根据扇形面积公式计算即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形的面积公式．
19.【答案】解：，
，
，
，即，
，
解得，；
一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
结合可知，
方程变形为，即，
解得：，．
当时，有，
解得：；
当时，有，
解得：．
【解析】利用配方法解方程即可；
利用一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式进行求解即可；根据可得，进而求出方程的两根，再分别讨论方程的两根是方程的解即可求出的值．
本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
20.【答案】解：一个不透明的口袋中装有张卡片，卡片上分别标有数字、、、，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，
小芳从盒子中随机抽取一张卡片，抽到负数的有种情况，
小芳抽到负数；
画树状图如下：

共有种机会均等的结果，其中两人均抽到负数的有种；
两人均抽到负数．
【解析】由一个不透明的口袋中装有张卡片，卡片上分别标有数字、、、，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片，抽到负数的有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小芳两人均抽到负数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
为的下半圆弧的中点，
，
，
，
，且是半径，
是的切线；
在中，，
，
不合题意舍去，，
的半径为．
【解析】由等腰三角形的性质和垂径定理可求，可得结论；
由勾股定理可求解．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．也考查了垂径定理．
22.【答案】
解：根据题意得，；
则，
故答案为：；；
，
，
解得：，，
答：销售单价应定为元或元，小明每天获得该类型口罩的销售利润元；
根据知，，
，
当时，最大，最大值为，
答：当销售单价定为元时，利润最大，最大利润是元．
根据“某类型口罩进价每袋为元，当售价为每袋元时，销售量为袋，若销售单价每提高元，销售量就会减少袋”，即可得出关于的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
代入求出的值，由此即可得出结论；
利用配方法将关于的函数关系式变形为，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握二次函数求最值的方法．
23.【答案】解：结论：为等腰直角三角形．
理由：由旋转得，，
，
，
为等腰直角三角形；
结论：．
理由：，，
．
，
又，，
≌，
；
结论：．
理由：，，
，
由性质的性质可知，，
，
，
．
【解析】由旋转的性质可得，，可得结论；
由“”可证≌，可得；
证明，利用勾股定理可得结论，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24.【答案】解：把，代入，
得，
解得，
抛物线解析式为；
，
，
设直线的解析式为，
把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
设，
则，
，
，
当时，有最大值，最大值为；
存在．
不可能为；
当时，则，即，解得，此时点坐标为，
当时，则，即，
整理得，解得舍去，，
当时，，此时点坐标为，
综上所述，当点坐标为或时，为直角三角形．
【解析】把点和点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可得到抛物线解析式；
把中的一般式配成顶点式可得到，设直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，则，于是，然后根据二次函数的性质解决问题；
讨论：不可能为；当时，易得，解方程求出即可得到此时点坐标；当时，利用勾股定理得到和两点间的距离公式得到，然后解方程求出满足条件的的值即可得到此时点坐标．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求函数解析式；两点间的距离公式和三角形面积公式；注意分类讨论的是解决此题的关键．