2023-2024学年云南省昆明市高一上册期末数学测试测试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省昆明市高一上册期末数学测试测试卷（含解析），共17页。

第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若角的终边上一点的坐标为，则（ ）
A．-1B．1C．D．
3．若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．函数的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，且，则的最小值是（ ）
A．9B．10C．16D．12
7．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次晷影长是“表高”的3倍，且，则第二次的晷影长是“表高”的（ ）倍
A．1B．C．2D．3
8．已知奇函数在上的最大值为，则（ ）
A．或3B．或2C．3D．2
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列各结论正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分条件
C．命题“，”的否定是“，”
D．对恒成立
10．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．函数的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．若函数在上没有零点，则
12．已知函数，有4个零点，则（ ）
A．实数的取值范围是
B．函数的图象关于原点对称
C．
D．的取值范围是
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数是幂函数，则 .
14．点，都在同一个指数函数的图象上，则 .
15．若，则实数 .
16．若函数，，，则 ；的值为 .
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．已知函数，且.
(1)求的值及的定义域；
(2)求不等式的解集.
19．已知函数，满足_________.
在：①函数的一个零点为0；
②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；
③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答.
(1)求的解析式；
(2)把的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最大值为3，求实数的最小值.
20．已知集合,函数的值域为集合.
(1)当时,求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件,求正数的取值范围.
21．甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元.
(1)将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶?
22．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
(1)请证明：函数不存在“黄金区间”；
(2)已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”；
(3)如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值.
1．A
【分析】根据并集的知识求得正确答案.
【详解】因为， 所以.
故选：A
2．D
【分析】根据三角函数的定义可得结果.
【详解】因为角的终边上一点的坐标为，所以，
则，所以，
故选：D．
3．B
【分析】根据判断函数为奇偶函数的定义及奇偶函数的性质逐项判断即可求解.
【详解】对A：不知奇偶性，因此与的关系不确定，与关系不确定，故A错误；
对B：由题意知函数的定义域为，且，得为偶函数，故B正确；
对B：也不知其奇偶性，因此与的关系不确定，故C错误；
对D：，所以不是偶函数，故D错误.
故选：B．
4．B
【分析】直接根据函数零点定义将零点求出来即可.
【详解】函数的定义域为，令，解得，
则函数的零点个数是1个.
故选：B．
5．D
【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，结合二次函数与反比例函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数是上的减函数，
则满足，解得，所以a的取值范围为.
故选：D．
6．C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：C.
7．B
【分析】根据题意求得，再结合正切两角差公式求解的值即可得结论.
【详解】∵，第一次晷影长是“表高”的3倍，第一次太阳天顶距为，
∴，
又，则，
∴第二次的晷影长是“表高”的倍.
故选：B．
8．A
【分析】根据函数的奇偶性求得，然后对进行分类讨论，结合函数的单调性列方程来求得的值.
【详解】由奇函数的性质可知，，∴，∴，经检验，符合题意，
∴，当时，在上单调递增，
∴，解得或（舍去）；
当时，在上单调递减，
∴，解得或（舍去）.
综上所述，或.
故选：A
9．ACD
【分析】对于A,根据不等式的性质，可直接判断；对于B，，验证即可；对于C，根据全称量词命题的否定是特称量词命题，即可判断；对于D，作差比较大小即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，当时，取，则，
即充分性不成立，故B错误；
对于C，命题“，”的否定是
“，”，故C正确；
对于D，因为，故D正确，
故选:ACD．
10．AC
【分析】根据①②知“理想函数”是定义域上的奇函数且在定义域内单调递减，依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】根据题意，若函数满足对于定义域上的任意x，恒有，即，则为奇函数；
对于定义域上的任意当时，恒有，则在其定义域上为减函数，
若函数为“理想函数”，则为奇函数且在其定义域上为减函数．
对于A，，是正比例函数，，是奇函数且在其定义域上为减函数，符合题意；
对于B，，，是偶函数，不符合题意；
对于C，，为奇函数且在其定义域上为减函数，符合题意；
对于D，，是一次函数，不是奇函数，不符合题意，
故选：AC．
11．BD
【分析】利用“五点法”，结合图象求得，从而求得判断A，利用代入检验法判断B，利用检验最值点法判断C，利用正弦函数的性质得到关于的不等式，从而判断D.
【详解】依题意，可得，又，则，所以，
结合五点法作图，可得，则，所以，
对于A，，显然是偶函数，故A错误；
对于B，，故函数的图象关于点对称，故B正确；
对于C，当时，，函数取得最大值，
所以在上不是单调增函数，故C错误；
对于D，因为，则，
因为，当时，，
因为在上没有零点，
可得，解得，故D正确，
故选：BD.
12．AD
【分析】根据分段函数的性质，以及二次函数零点与方程的根的关系，即可分析零点，进而判断正误.
【详解】对于A选项：当时，有2个零点，故，解得；
当时，，而，易知，此时也有2个零点，故，故A正确；
对于B选项：因为，故B错误；
对于C选项：的4个零点满足，
则是方程的两个根，则且，
所以，故C错误；
对于D选项：由C选项知，，
由,所以，得，而函数在上单调递减，所以，故D正确，
故选：AD．
13．8
【分析】根据幂函数的定义求出参数，得到函数解析式再求值即得.
【详解】函数是幂函数，∴ 所以.
故答案为.
14．3
【分析】先求出指数函数的解析式，再将代入即可得解.
【详解】设指数函数为，
过点，则有，
又函数过点，则有．
故答案为.
15．-1
【分析】根据三角相关公式计算即可.
【详解】，
由于，故．
故-1
16． 2或20
【分析】根据函数解析式可得，结合已知可得，再根据解得或2，列对数方程求参即可.
【详解】因为，在定义域上任取x，则，
所以，所以；
由，即，解得或2，
所以或，可得或100，
所以n的值为2或20．
故；2或20
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系及正弦的二倍角公式即可求解；
（2）根据同角三角函数的基本关系及两角和的余弦公式即可求解．
【详解】（1）由，，
则，
所以．
（2）由（1）知，
又，，则，
又，则，
所以．
18．(1)，定义域为
(2)
【分析】（1）根据题意，直接利用，即可求得参数的值，继而可求得函数的定义域；
（2）变化不等式，利用函数的单调性列出不等式组，解出即可.
【详解】（1）因为，
解得．
所以，
由题意可得解得，
故的定义域为．
（2）不等式等价于，
即，
由于在上单调递增，
则解得．
故不等式的解集为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据①代入可得，根据条件②可得函数的周期，根据条件③可得，即可根据选择逐一求解，
（2）根据函数平移可得表达式为，即可根据整体法求解.
【详解】（1）若选①②：
因为函数的一个零点为0，所以，所以，即，
又，所以.
因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，
所以最小正周期.
因为，所以，
所以函数的解析式为.
若选①③：
因为函数的一个零点为0，所以，所以，即，
又，所以.
因为函数图象的一个最低点的坐标为，
所以，即，
所以，
所以，又，所以，
所以函数的解析式为.
若选②③：
因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以最小正周期.
又，所以.
因为函数图象的一个最低点的坐标为，
所以，即，
所以，即，
又，所以，
所以函数的解析式为．
（2）把的图象向右平移个单位得到
，
再将向上平移2个单位得到，
由，得，
因为在区间上的最大值为3，
所以在区间上的最大值为1，
所以，即，
所以m的最小值为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数二倍角公式和辅助角公式化简,根据正弦型函数的值域可解得集合；将代入一元二次函数,解不等式可得集合.再进行交集运算即可.
（2）根据“”是“”的充分不必要条件,得集合是集合的真子集,根据真子集的包含关系进行计算即可.
【详解】（1）因为,
所以集合；
当时,得,解得,
所以.
所以．
（2）由条件知集合是集合的真子集,
又因为,且,解得,
所以,
所以得或解得.
又因为,所以正数的取值范围为．
21．(1)，定义域为
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意货车每小时的运输的可变成本为元，固定成本为a元，求和后乘以时间即可；
（2）由（1）的结论，利用基本不等式求最小值作答.
【详解】（1）由题意得可变成本为元，固定成本为a元，
所用时间为，
则，定义域为．
（2）由（1）得，当且仅当，即时取等号，
易知函数在上单调递减，在上单调递增.
又，
所以当时，货车以km/h的速度行驶，全程运输成本最小；
当时，货车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小．
22．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）首先根据函数是单调递增函数，结合题意可得，即可证明；
（2）函数存在单调递增区间，再结合，即可求解；
（3）首先化简函数，结合函数的单调性，得到，化简为二次方程，根据韦达定理，化简，即可求最值.
【详解】（1）证明：由函数为上的增函数，
则有所以，即，无解，
所以函数不存在“黄金区间”．
（2）记是函数的一个“黄金区间”，
由及此时函数的值域为，
所以.
又因为其图象的对称轴为，
所以在上必为单调递增函数，
令，解得或，
故该函数有唯一的一个“黄金区间”．
（3）由在和上均为增函数，
因为在“黄金区间”上单调，
所以或，且在上为单调递增，
故即m，n为方程的两个同号的实数根，
即方程有两个同号的实数根，
注意到，则只要，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
其中或，
所以当时，取得最大值．
关键点点睛：结合函数的单调性，根据，转化为方程问题，即可求解.