2024六安一中高三上学期第五次月考数学试题含解析

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时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数是实数，则（ ）
A. 0B. －1C. 2D. －2
3. 已知双曲线方程为，则“”是“双曲线离心率为2”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 若，，则的值为（ ）
A. B. C. 0D.
5. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A. ＋＝1B. ＋＝1
C. ＋＝1D. ＋＝1
6. 椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 各棱长均相等的三棱柱，平面，是的中点，点是内动点，记二面角的平面角分别为．当点到点的距离和到直线的距离相等时，则（ ）
A. B. C. D.
8. 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，，经过右焦点垂直于的直线分别交，于，两点.已知、、成等差数列，且与反向.则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知、、是三条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B 若，，，则
C. 若，，则
D. 若、是异面直线，，，且，则
10. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，记与的离心率分别为，，在第一象限的交点为P，下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
11. 已知数列满足，，，则（ ）
A. 当且时，是等比数列
B. 当时，等比数列
C. 当时，是等差数列
D. 当且时，是等比数列
12. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新lg（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当时，下列关于曲线的判断正确的有（ ）
A. 曲线关于轴和轴对称
B. 曲线所围成封闭图形的面积小于8
C. 设，直线交曲线于两点，则的周长小于8
D. 曲线上的点到原点的距离的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 平面向量与的夹角为，，，则__________．
14. 抛物线的焦点为，且抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则________．
15. 如图，将绘有函数
部分图象的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则＝_____________．
16. 已知点、关于坐标原点对称，，以为圆心的圆过、两点，且与直线相切.若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
（1）求角B；
（2）若，，D为AC边的中点，求的面积．
18. 己知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．
（1）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．
19. 记数列的前项和为，已知.
（1）设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列前项和.
20. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21. 在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．
（1）若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；
（2）探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
22. 已知椭圆的焦距为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且．
①求证：直线经过定点；