辽宁省本溪市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份辽宁省本溪市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效.
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等
C.对角线互相平分D.对角线互相垂直
2.方程的解是（ ）
A.B.C.D.
3.如图是由7个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（ ）
正面
A.B.C.D.
4.用配方法解方程，配方后方程转化为的形式，则的值分别是（ ）
A.B.C.D.
5.若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A.且B.且C.D.
6.已知点，，都在反比例函数的图象上，则（ ）
A.B.
C.D.
7.一个不透明的袋子中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，现从袋子中随机摸出2个小球（不放回去），则这两个小球标号的和等于5的概率是（ ）
A.B.C.D.
8.如图，菱形中，对角线、相交于点，分别是边、的中点，连接、、，则下列叙述不正确的是（ ）
A.是等边三角形B.四边形是菱形
C.D.四边形与四边形是位似图形
9.某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A.B.
C.D.
10.如图，正方形和正方形的顶点在坐标轴上，点在上，点在函数的图象上，则点的坐标是（ ）
A.B.
C.D.
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11.如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么这两个相似三角形的周长比是________.
12.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是________.
13.如图，在中，若，，，则的长为________.
14.如图，直线与双曲线（且）交于点，点的纵坐标是1，点是双曲线上另一点，且点的横坐标是1，连接，，则的面积为________.
15.如图，平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点在轴上，若正方形的边长为12，则点坐标是________.
三、解答题（本题共8小题共75分，解答应写出文字说明演算步骤或推理过程）
16.计算（每题5分，共10分）
（1）解方程
（2）解方程
17.（本小题8分）如图一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去的每个正方形的边长.
18.（本小题9分）为增强学生的身体素质，本溪市教育局规定学生每天参加户外活动的时间不少于1小时.为了解学生参加户外活动的情况，对某学校部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下不完整的频数分布表.
频数分布表
请你根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中共调查了多少名学生？
（2）请你将频数分布表补充完整；
（3）如果这所学校共有1800名学生，你估计参加户外活动时间符合教育局要求的学生有多少名？
19.（本小题8分）
如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上.
（1）求证：；
（2）若为中点，，求的长.
20.（本小题8分）
如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点、点，连接，.
（1）求点的坐标；
（2）若的面积为8，求的值.
21.（本小题8分）
如图1所示，在正三角形中，是边（不含端点）上任意一点，是延长线上一点，是的平分线上一点，连接，若.
图1 图2
（1）求证：；
（2）若将试题中的“正三角形”改为“正方形”（如图2），是的平分线上一点，则当时，结论是否还成立？（直接给出结论，不需要证明）
22.（本小题12分）
【发现问题】数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，并与双曲线交于点.
【提出问题】徐老师认为可以求出直线与双曲线的解析式；
【分析问题】徐老师在图中连接，过点作于点（如图2），问同学们是否能求出的值；老师又提出，若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
图1 图2 图3
【解决问题】
（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）连接，过点作于点，求的值：
（3）若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
23.（本小题12分）
【问题初探】
如图1，课后习题课上，刘诗琪同学把一个足够大的三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合.三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点，求证：.
（1）刘诗琪同学认为通过证明与全等，可证.请你帮助刘诗琪同学完成这个证明；
【类比分析】
（2）如图2，刘诗琪同学移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变.你认为是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【学以致用】
（3）如图3，刘诗琪同学将“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值（用含有的代数式表示）.
图1 图2 图3
本溪市2023~2024学年（上）期末考试
九年级数学试卷答案及评分标准
（※若有其他正确解法或证法参照此标准赋分）
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1.C 2.D 3.C 4.A 5.A 6.D 7.A 8.A 9.D 10.A
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 12.13 13.8cm 14.4 15.
三、解答题（共75分）
16.（1）
，
（2）
，
17.解：设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得
.
整理得：
解得：，
经检验，不符合题意，故舍去
答：截去的每个正方形的边长为10厘米.
18.（1）（名）
答：这次调查中共调查了50名学生；
（2）
（3）1800×0.4=720（名）
答：估计参加户外活动时间符合教育局要求的学生约有720名.
19.（1）四边形是矩形
，，
，，
四边形是菱形，，
，
（2）连接，
四边形是菱形，，
为中点，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，，，.
20.（1）过点的直线与轴平行，点
在，，点.
（2）的面积为
的面积为，，
21.（1）证明：在上截取，连结，得.
是等边三角形，，
，
.
又平分，
..
又，
，即.
为等边三角形，
即.
..
（2）成立.
22.（1）将点带入中，得到，.
再将点带入得到，.
再将点带入中，得到，.
（2）直线与轴交于点，
，，是等腰直角三角形
在中，
，
，
作轴于点
同理：在中，得，
在中，得，.
（3），（过程略）
23.（1）由正方形可得：
，
，和都与互余
，，
（2）如图过点分别做，的垂线，垂足分别为，
可知四边形是正方形（证明方法同上）
（3）方法同（2）可证
时间分组（小时）
频数（人数）
频率
10
0.2
0.4
10
0.2
0.1
5
合计
1
时间分组（小时）
频数（人数）
频率
10
0.2
20
0.4
10
0.2
5
0.1
5
0.1
合计
50
1