海南省海南中学2023-2024学年高三上学期第三次月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份海南省海南中学2023-2024学年高三上学期第三次月考数学试卷（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. （-3，2]B. [-3，2）C. （2，3]D. [2，3）
2. 已知为虚数单位，且复数满足，则（ ）
A. 1B. 2
C. D.
3. 已知点是所在平面内的一点，且，设，则（ ）
A. B. C. 3D.
4. 我国古代学者庄子在庄子天下篇中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一指长的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有尺长的线段，每天取走它的，天后剩下的线段长度不超过寸尺寸，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
5. 在等差数列中，，其前项和为，且，则 的值等于（ ）
A. B. C. 2023D. 2024
6. 已知，，则（ ）
A B. 4C. D.
7. 若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知在中，角的对边分别为，，点Q在边BC上，且满足（），，则 的最小值是（ ）
A. 32B. 36C. 72D. 80
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同
B. 有A，B，C三种个体按的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
C. 若随机变量，则其数学期望
D. 若随机变量，，则
10. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A. 数列是递减数列B.
C. 时，n最大值是18D.
11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的取值范围是
C. 若为边上中点，且，则的最小值为
D. 若面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为
12. 已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
第二部分 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数则f(14)=_____
14. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则 _____
15. 已知向量，，，则向量与的夹角为__________．
16. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设且，数列的前项和为，则_______，____________.
四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，，求的值．
18. 设为数列的前项和．已知．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
19. 为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答一道有关党知识问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两名同学都回答错误的概率是，乙、丙两名同学都回答正确的概率是.若各同学回答是否正确互不影响.
（1）求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率.
20. 如图，在平面四边形中，，，．

（1）若，求面积；
（2）若，，求．
21. 已知等比数列是递增数列，且，.
（1）求通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、、…、，使、、、…、、成等差数列.若，且对恒成立，求实数的取值范围.
22. 已知函数.
（1）当时，讨论函数单调性；
（2）若函数有两个零点，，且，求证：(其中是自然对数的底数).
海南中学2024届高三年级第3次月考
数学试题卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. （-3，2]B. [-3，2）C. （2，3]D. [2，3）
【答案】D
【解析】
【分析】分别求得集合，，再结合集合的交集和补集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合，则，
又由，
所以．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记对数的运算性质正确求解集合，再根据集合的交集、并集和补集的运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
2. 已知为虚数单位，且复数满足，则（ ）
A. 1B. 2
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的运算法则计算即可.
【详解】由题，
则.
故选：D
3. 已知点是所在平面内的一点，且，设，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，可得为的中点，由图形结合平面向量基本定理用将表示出来，再结合，可求出的值，从而可求得答案
【详解】由题意作图，因为，所以为的中点，
所以，
因为，
所以由平面向量基本定理可得，
所以，
故选：D
4. 我国古代学者庄子在庄子天下篇中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一指长的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有尺长的线段，每天取走它的，天后剩下的线段长度不超过寸尺寸，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得出不等式，结合指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】由题意知，田后剩下的弦长长度为，则，即，
因为，所以，即的最小值是.
故选：C.
5. 在等差数列中，，其前项和为，且，则 的值等于（ ）
A. B. C. 2023D. 2024
【答案】B
【解析】
【分析】先设等差数列的公差为，根据等差数列前项和的性质，得到也是等差数列，由题意，求出，即可得出结果.
【详解】设等差数列的公差为，
，
所以数列是等差数列，公差为，
又，则，即，又，
所以，
，解得.
故选：B.
6. 已知，，则（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用和角的正弦公式、正切公式，结合同角公式求解即得.
【详解】由，得，
两边除以，得，即有，
又，因此，
所以.
故选：C
7. 若函数在区间内有极值点，则实数取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，依题意可得在区间内有零点，参变分离可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得到的取值范围，最后检验时不符合题意，即可得解.
【详解】解：函数，，
若函数在区间上有极值点，
则在区间内有零点，
由可得，
因为在上单调递减，在上单调递增，又，，，
所以，
，
当时，，不符合题意，
所以实数的取值范围是.
故选：C．
8. 已知在中，角的对边分别为，，点Q在边BC上，且满足（），，则 的最小值是（ ）
A. 32B. 36C. 72D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量关系，可得平分角，利用三角形面积公式求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】向量分别是与向量同向的单位向量，由（），
得是的内角的平分线，则，而，
于是，化简得，即，
所以，当且仅当，时取等号，
所以当，时， 取得最小值36.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同
B. 有A，B，C三种个体按的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
C. 若随机变量，则其数学期望
D. 若随机变量，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，计算出平均数，众数和中位数，得到A正确；B选项，计算出样本容量为18；C选项，根据二项分布的数学期望公式求出答案；D选项，利用正态分布的对称性得到概率.
【详解】A选项：平均数为：，3出现了两次，出现次数最多，众数为3，
将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，5.所以中位数为，故A正确；
B选项：样本的容量为，故B错误；
C选项：由，故C正确；
D选项：，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A. 数列是递减数列B.
C. 时，n的最大值是18D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得、，结合通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由，得，
解得，因为，所以.
A：由，可得
所以等差数列为递增数列，故A错误；
B：，故B正确；
C：，
由可得，所以，又，
所以n的最大值是18，故C正确；
D：，，
由，得，故D错误.
故选：BC.
11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的取值范围是
C. 若为边上中点，且，则的最小值为
D. 若面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三角函数恒等变换化简已知式可判定A，根据三角恒等变换及正弦函数性质求解范围可判定B，由余弦定理、平面向量的线性运算及基本不等式可判定C，由基本不等式及余弦定理可判定D.
【详解】对于A项，由得
，即，
因为，则，
若显然不符题意，或者也不符合题意，
所以，即，所以，故A正确；
对于B项，，
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是，故B错误；
对于C项，由余弦定理知，
又为边上中点，所以，
所以，所以，所以，
当且仅当时，取得等号，所以，所以，故C正确；
对于D项，不妨设三边上的高分别，则，
又，所以，所以，
根据余弦定理知，所以，
当且仅当时，取得等号，故D正确
故选：ACD
12. 已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由是偶函数得出是奇函数，由已知两条件推出是以4为周期的函数，进而可得为周期为4的偶函数，然后赋值法逐项分析即得．
【详解】因为是偶函数，则，两边求导得，
所以是奇函数，故，
由，，得，
即，所以是周期函数，且周期为4，，
，所以，
对选项A：由，令得，，所以，故A正确；
对选项B：由，令得，，故，所以B正确；
对选项C：由，可得，
又，所以，
又是奇函数，，
所以，又，
所以，即，
所以，，，
所以函数为周期为4的偶函数，
所以，故C正确；
对选项D：，由题得不出，所以不一定成立，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数的奇偶性及周期性，进而得到函数的性质，然后利用赋值法求解.
第二部分 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数则f(14)=_____
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数，由求解.
【详解】解：因为函数，
所以，
故答案：
14. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则 _____
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数平移变换求出，然后根据奇偶性求出参数的值.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
得，
因为为偶函数，即为对称轴，
所以，
化简得，
因，所以.
故答案为：
15. 已知向量，，，则向量与的夹角为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知，利用向量的模长、夹角公式、向量的坐标表示以及向量的运算律计算求解.
【详解】因为，所以，所以，
又，，所以，所以，
所以，所以，
又，
所以向量与的夹角为，
因为向量与的夹角范围为：，
所以向量与的夹角为.
故答案为：.
16. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设且，数列的前项和为，则_______，____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】对函数求导，结合已知得，进而求得，根据等比数列定义及前项和求、，最后求即可.
【详解】因为，则，
则，
又，所以，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，则，
所以，，即，
因为，即，解得.
故答案为：；.
四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，，求的值．
【答案】（1）.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由降幂公式化简即可得到函数的解析式，再由正弦型函数的单调区间，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得，再由余弦和差角公式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意得：
，
由，可得；
所以的单调递增区间是.
【小问2详解】
∵ ，∴，
∵， ∴，∵， ∴，
∴，
∴．
18. 设为数列的前项和．已知．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得出，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）由（1）中的结论可求出数列的通项公式，可求得的表达式，再利用裂项相消法可求得.
【小问1详解】
证明：已知①，
当时，②，
①②得：，即，
所以，，
当时，则，则，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列．
【小问2详解】
解：由（1）可知，，则，
所以，，
所以，，
.
19. 为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答一道有关党的知识问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两名同学都回答错误的概率是，乙、丙两名同学都回答正确的概率是.若各同学回答是否正确互不影响.
（1）求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率.
【答案】（1）和
（2）
【解析】
【分析】（1）记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C，根据相互独立事件的概率乘法公式，列出方程组，即可求解；
（2）根据独立事件的概率乘法公式，分别求得0名同学回答正确和1名同学回答正确的概率，结合对立事件的概率公式，即可求解.
【小问1详解】
记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，所以，，
所以乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率为和.
【小问2详解】
有0名同学回答正确的概率，
有1名同学回答正确的概率，
所以不少于2名同学回答正确这道题的概率.
20. 如图，在平面四边形中，，，．

（1）若，求的面积；
（2）若，，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用余弦定理求出，再利用面积公式即可求出结果；
（2）在和中，利用正弦定理，建立等量关系和，从而得到，再化简即可得出结果.
【小问1详解】
因为，，，由余弦定理得，
所以，即，解得，
所以．
【小问2详解】
设，
在中，由正弦定理得，所以①，
在中，，，
则，即②
由①②得：，即，∴，
整理得，所以．

21. 已知等比数列是递增数列，且，.
（1）求通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、、…、，使、、、…、、成等差数列.若，且对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等边数列的通项与前项和列式解出或，再由是递增数列，得出，即可得出答案；
（2）若、、、…、、成等差数列，设其公差为，即可得出，，结合等差数列前项和得出，即可根据错位相减法得出，则，令，则数列为递减数列，即可结合已知列不等式得出答案.
【小问1详解】
设的公比为，
由，得：，
解得或，
因为是递增数列，
所以，则，
所以.
【小问2详解】
在和之间插入个数、、…、，
使、、、…、、成等差数列，设其公差为，
此数列首项为，末项为，
则，，
则
又,
则,
则，
则，
令，则数列为递减数列，
由对恒成立，
则当为偶数时，对恒成立，则；
当为奇数时，对恒成立，则，即，
综上实数的取值范围为.
22. 已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，且，求证：(其中是自然对数的底数).
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再对分类讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）由题意，，是方程的两个根，即可得到，令则，则，只需证明当时，不等式成立即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
则，
当时令，解得或，
当，即时恒成立，所以在上单调递增；
当即时，令，解得或，则在，上单调递增，
令，解得，则在上单调递减；
当即时，令，解得或，则在，上单调递增，
令，解得，则在上单调递减；
综上可得， 当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
因为，由题意，是方程的两个根，①，②，
①②两式相加，得③，①②两式相减，得④，
联立③④，得，，
设，，，，，
因为，所以，则，
若，则一定有，
只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立，即不等式成立，
设函数，，
在上单调递增，故时，，
即证得成立，
即证得当时，，即证得，
，即证得，则．
【点睛】思路点睛：本题第二问是导数应用中的函数零点，双变量问题.根据函数零点的定义可得，，两式相加，相减运算可得，，即得，令，即，又易证，只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立，构造函数，用导数证明即可.