2023-2024学年吉林省吉林市桦甸二中九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林市桦甸二中九年级（上）期末数学试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运动项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的左视图是( )
A. B. C. D.
3.二次函数y=−(x+1)2+2图象的顶点所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的坡角(∠BAC)为30.5°，乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC为5米，则自动扶梯AB的长为( )
A. 5tan30.5°米B. 5sin30.5°米C. 5sin30.5∘米D. 5cs30.5∘米
5.已知二次函数y=2x2−4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是( )
A. x1C. x2
6.道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线AB的长为(单位：m)( )
A. 40π3
B. 80π3
C. 1600π3
D. 3200π3
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
7.计算：tan60°−sin60°= ______ ．
8.若关于x的方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______ ．
9.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=95°，则∠C的度数为______ ．
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3AC，则sinB= ______ ．
11.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程______ ．
12.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，点C为OF的中点，则△ABC与△DEF的周长比为______ ．
13.如图，在△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE交AC于点F，则∠AFE= ______ °.
14.如图，已知点A(3,3)，B(3,1)，反比例函数y=kx(k≠0)图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值：______ ．
三、解答题：本题共12小题，共80分。
15.解方程：2x2+x−5=0．
16.如图，某科技物展览大厅有A，B两个入口，C，D，E三个出口，小昀任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开．
(1)若小昀已进入展览大厅，求他选择从出口C离开的概率；
(2)求小昀选择从入口A进入，从出口E离开的概率．(请用画树状图求解)
17.已知反比例函数y=kx图象经过A(1,1)．
(1)求反比例函数解析式；
(2)若点(2,y1)，(4,y2)是反比例函数图象上两点，试比较y1，y2大小．
18.如图，已知AD//EB//FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长．
19.方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A，B，D和点E，F，H均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出四边形ABCD，使得四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点C在小正方形的顶点上；
(2)在图2中画出四边形EFGH，使得四边形EFGH是轴对称图形，但不是中心对称图形，且点G在小正方形的顶点上.在线段HG所经过的小正方形顶点中，找一点K，满足GF=GK，连接FK，并直接写出tan∠GFK的值．
20.如图，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，连接BD，CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)连接DE，若∠ADB=115°，求∠CED的度数．
21.如图，某同学在A处看见河对岸有一大树P，想测得A与P的距离，他先从A向正西走90米到达P的正南方C处，再回到A向正南走30米到D处，再从D处向正东走到E处，使得E，A，P三点恰好在一条直线上，测得DE=22.5米，求A与P的距离．
22.为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4.4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.(结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29)
23.给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p(KPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸(球体的体积公式V=43πr3，π取3)；
(2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
24.已知△ABC，AD是一条角平分线．
【探究发现】如图①，若AD是∠BAC的角平分线.可得到结论：ABAC=BDDC．
小红的解法如下：
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ______ ．
∴S△ABDS△ADC=12AB×DE12AC×DF= ______ ．
又∵S△ABDS△ADC=12BD×AG12CD×AG=BDCD，
∴ ______ ．
【类比探究】
如图②，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D．
求证：ABAC=BDCD．
25.如图，反比例函数y=kx(x0)的图象与线段AB有交点，且点A(3,3)，B(3,1)，
∴把B (3,1)代入y=kx得，k=3，
把A(3,3)代入y=kx得，k=3×3=9，
∴满足条件的k值的范围是3≤k≤9，
故k=4(答案不唯一)，
故答案为：k=4(答案不唯一)．
把点A(3,3)，B(3,1)代入y=kx即可得到k的值，从而得结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
15.【答案】解：2x2+x−5=0，
∵a=2，b=1，c=−5，
∴x=−b± b2−4ac2a=−1± 1−4×2×(−5)2×2=−1± 414，
∴x1=−1+ 414，x2=−1− 414；
【解析】根据求根公式x=−b± b2−4ac2a，把a，b，c的值代入计算即可．
此题考查了公式法解一元二次方程，掌握求根公式x=−b± b2−4ac2a是本题的关键．
16.【答案】解：(1)他选择从出口C离开的概率为13；
(2)画树形图，如图：

由树形图可知所有可能的结果有6种，其中选择从入口A进入，从出口E离开的只有1种结果，
∴选择从入口A进入，从出口E离开的概率为16．
【解析】(1)直接利用概率公式计算可得；
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小钧选择从入口A进入，从出口E离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法，掌握概率公式是解题的关键．
17.【答案】解：(1)将点A(1,1)代入y=kx，得k=1，
∴反比例函数解析式为：y=1x，
(2)∵点(2,y1)，(4,y2)是反比例函数图象上两点，
∴当x=2时，y1=12，当x=4时，y2=14，
∴y1>y2．
【解析】(1)将点A(1,1)代入y=kx之中，求出k的值即可．
(2)将点(2,y1)，(4,y2)分别代入(1)中所求的函数解析式求出y1，y2，进而再比较它们的大小即可．
此题主要考查了反比例函数的图象，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式，理解反比例函数图象上的点都满足反比例函数的解析式，满足反比例函数的解析式得点都在反比例函数图象上是解决问题的关键．
18.【答案】解：∵AD//EB//FC，
∴DBBF=AEEC，
∴37=AEEC，
∴107=ACEC，
∴107=12EC，
∴EC=425．
【解析】利用平行线分线段成比例定理求解．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
19.【答案】解：(1)如图，四边形ABCD即为所求；

(2)如图，四边形EFGH即为所求；
根据网格可知：tan∠GFK=42=2．
【解析】(1)根据轴对称图形和中心对称图形的性质即可在图1中画出四边形ABCD；
(2)根据轴对称图形和中心对称图形的性质即可在图2中画出四边形EFGH，然后根据GF=GK=5，可以找到点K，进而根据网格即可写出tan∠GFK的值．
本题考查了作图−轴对称变换，中心对称图形，解直角三角形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
20.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠DAC=60°，∠EAC+∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)解：由(1)得：△ABD≌△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=115°，
∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠CED=∠AEC−∠AED=115°−60°=55°．
【解析】(1)根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，根据旋转的性质得AD=AE，∠DAE=60°，利用SAS理解求证结论．
(2)由(1)得△ABD≌△ACE，进而可得∠AEC=∠ADB=115°，根据旋转的性质可得 AD=AE，∠DAE=60°，进而可得△ADE是等边三角形，则可得∠AED=60°，进而可求解．
本题考查了全等三角形的判定及性质、旋转的性质及等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
21.【答案】解：由题意可得：AC/​/DE，
∴∠PAC=∠E，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ACP∽△EDA，
∴ACDE=PCAD，
∵AC=90m，AD=30m，DE=22.5m，
∴PC=120m，
∴AP= PC2+AC2= 1202+902=150(m)，
答：A与P的距离为150m．
【解析】先证明∠PAC=∠E，可得△ACP∽△EDA，再求解PC=120m，再利用勾股定理可得答案．
本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的证明△ACP∽△EDA是解本题的关键．
22.【答案】解：如图，过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，
在Rt△ABT中，sin∠BAT=BTAB，cs∠BAT=ATAB，
∴BT=AB⋅sin∠BAT=5×sin16°≈1.4(米)，AT=AB⋅cs∠BAT=5×cs16°≈4.8(米)，
∵∠ATC=∠C=∠CKA=90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK=AT=4.8米，AK=CT=BC−BT=4.4−1.4=3(米)，
在Rt△AKD中，∠ADK=45°，
∴DK=AK=3米，
∴CD=CK−DK=4.8−3=1.8(米)，
答：阴影CD的长约为1.8米．
【解析】过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，在Rt△ABT中，BT=AB⋅sin∠BAT=1.4米，AT=AB⋅cs∠BAT≈4.8米，得到CK=AT=4.8米，AK=CT=BC−BT=3米，根据∠ADK=45°，得到DK=AK=3米，根据CD=CK−DK计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
23.【答案】解：(1)设函数关系式为p=kV，
根据图象可得：k=pV=120×0.04=4.8，
∴p=4.8V，
∴当p=150时，V=4.8150=0.032，
∴43×3r3=0.032，
解得：r=0.2，
∵k=4.8>0，
∴p随V的增大而减小，
∴要使气球不会爆炸，V≥0.032，此时r≥0.2，
∴气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；
(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【解析】(1)设函数关系式为p=kV，用待定系数法可得p=4.8V，即可得当p=150时，V=4.8150=0.032，从而求出r=0.2；
(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
24.【答案】DE=DF ABAC ABAC=BDCD
【解析】解：【探究发现】如图①，若AD是∠BAC的角平分线．可得到结论：ABAC=BDDC，
小红的解法如下：
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABDS△ADC=12AB×DE12AC×DF=ABAC，
又∵S△ABDS△ADC=12BD×AG12CD×AG=BDCD，
∴ABAC=BDCD，
故答案为：DE=EF；ABAC；ABAC=BDCD；
【类比探究】
证明：过点D作DE⊥BA于E，过点D作DF⊥AC于F，过点A作AG⊥BD于点G，
∵AD平分∠EAF，
∴DE=DF，
∴S△ABDS△ADC=12AB×DE12AC×DF=ABAC，
又∵S△ABDS△ADC=12BD×AG12CD×AG=BDCD，
∴ABAC=BDCD．
【探究发现】利用角平分线的性质，三角形的面积进行推理，即可解答；
【类比探究】过点D作DE⊥BA于E，过点D作DF⊥AC于F，过点A作AG⊥BD于点G，然后利用【探究发现】的解题思路进行推理，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)将A(−1,4)代入y=kx得，4=k−1，
解得，k=−4，
将A(−1,4)代入y=−2x+m得，4=−2×(−1)+m，
解得，m=2，
∴反比例函数为y=−4x，一次函数为y=−2x+2；
(2)①∵BC⊥y于点D，
∴BC/​/x轴．
∵OD=1，
∴B，C的纵坐标为1．
将y=1代入y=−4x得，1=−4x，
解得，x=−4，
∴B(−4,1)；
将y=1代入y=−2x+2得，1=−2x+2，
解得，x=12，
∴C(12,1)，
∴BC=12−(−4)=92；
②解：设P(a,−4a)，
∵S△PBC=98，
∴12×92×|−4a−1|=98，
解得，a=−8或a=−83，
∴P点坐标为(−8,12)或(−83,32)．
【解析】(1)将A(−1,4)，分别代入y=kx，y=−2x+m，计算求解可得k，m，进而可得函数表达式；
(2)①由题意知，B，C的纵坐标为1.将y=1代入y=−4x，y=−2x+2，求B，C的横坐标，然后求线段长度即可；②设P(a,−4a)，则12×92×|−4a−1|=98，计算求解，然后作答即可．
本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数、反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合是解题的关键．
26.【答案】解：(1)把点A(−1,0)，B(1,4)代入二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)得，
a−b+3=0,a+b+3=4.
解得a=−1,b=2.
∴二次函数的关系式为y=−x2+2x+3；
(2)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4
∴抛物线的开口方向向下，对称轴为x=1，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵−2≤x≤2，
∴当x=1时，y最大，y最大=−1+2+3=4；当x=−2时，y最小，y=−4−4+3=−5．
∴−2≤x≤2时，函数y的最大值4和最小值−5的差为9；
(3)∵函数y的取值范围为0≤y≤4，即函数图象位于x轴上方的部分所对应的函数值，
∴当y=0时，即−x2+2x+3=0.解得x=3或x=−1．
又∵当x=1时，y=4，
∴1≤m≤3；
(4)令y=2可得，x1=1− 2，x2=1+ 2，
如图所示，当线段MN与该函数图象的交点在对称轴左侧时，1− 2≤n+4≤1+ 2，

解得：−3− 2≤n≤−3+ 2；
如图所示，当线段MN与该函数图象的交点在对称轴右侧时，1− 2≤n≤1+ 2，

综上，n的取值范围为−3− 2≤n≤−3+ 2或1− 2≤n≤1+ 2．
【解析】(1)待定系数法求出函数解析式即可；
(2)根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，作差即可；
(3)图象法，求m的取值范围即可；
(4)令y=2可得，x1=1− 2，x2=1+ 2，结合图象分交点在对称轴左侧和右侧两种情况讨论即可．
本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键．