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2023届河南省实验中学大联考高三1月测试理科数学试卷含答案
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1. 已知集合，设全集，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数（ ）
A. B. 1C. D.
3. 的展开式中，的系数为（ ）
A. 16B. C. 6D.
4. 已知圆上的点均满足则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5. 某公司对2021年的营收来源进行了统计，并绘制饼图如图所示．在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约1421万元．则下列说法错误的是（ ）
A. 该公司在华东地区的营收额，约为东北地区营收额的三倍
B. 该公司在华南地区的营收额，比西南地区的营收额和河南省的营收额之和还要多
C. 该公司2021年营收总额约为20300万元
D. 该公司在湖南省的营收额，在华中地区的营收额的占比约为34.18%
6. 已知点是抛物线上任意一点，则点到抛物线的准线和直线的距离之和的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 5
7. 已知均为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为2且圆心角为的扇形，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，．若关于的方程在上有且仅有四个实数解，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
10. 已知直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且点在第一象限.为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 5
11. 在中，角所对边分别为，面积为，且.当取得最大值时，的值为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知曲线与曲线在处的切线互相平行，记，则（ ）
A B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知非零向量满足，且，则向量夹角的大小为___________.
14. 已知函数在上单调递增，且在上有最大值．则的取值范围为__________．
15. 已知函数.若存在，，使得曲线在，处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为________.
16. 如图，三棱锥的侧面展开图在以为圆心，2为半径的圆上，其中为三棱锥的顶点在展开图中的对应点.已知，则三棱锥的外接球的半径为___________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（―）必考题：共60分.
17. 在如图所示的七面体中，底面为正方形，平面.已知.
（1）设平面平面，证明：平面；
（2）若平面平面，求长.
18. 已知数列各项均为正数，前项和为，且.
（1）若，证明：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前项和.
19. 最近几年，新型冠状病毒肺炎席卷全球，在病毒爆发之初，我国迅速建立防疫机制，通过将与新冠肺炎确诊患者接触过的人员分为“密接”和“次密接”两类人群，并对两类人群分别加以不同程度的隔离措施，有效地预防了新冠肺炎病毒的传播.已知某确诊阳性患者确诊当天的“密接”人员有2人，“次密接”人员有3人，且每个“密接”人员被感染的概率为，每个“次密接"人员被感染的概率为
（1）求在这五人中，恰好有两人感染新冠肺炎的概率；
（2）设这五人中，感染新冠肺炎的人数为随机变量，求的数学期望.
20. 已知椭圆的上､下顶点分别为，点在椭圆内，且直线分别与椭圆交于两点，直线与轴交于点．已知．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设的面积为的面积为，求的取值范围．
21. 已知函数，其中是自然对数的底数.
（1）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）设函数，证明：存在唯一的正实数，使得恰好有两个零点.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在极坐标系中，圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系．
（1）求圆及直线的直角坐标方程；
（2）若射线分别与圆和直线交于两点，其中，求的最大值．
选修：4-5不等式选讲
23. 已知正数满足．
（1）若，求的最大值；
（2）证明：．
1. 已知集合，设全集，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数（ ）
A. B. 1C. D.
3. 的展开式中，的系数为（ ）
A. 16B. C. 6D.
4. 已知圆上的点均满足则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5. 某公司对2021年的营收来源进行了统计，并绘制饼图如图所示．在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约1421万元．则下列说法错误的是（ ）
A. 该公司在华东地区的营收额，约为东北地区营收额的三倍
B. 该公司在华南地区的营收额，比西南地区的营收额和河南省的营收额之和还要多
C. 该公司2021年营收总额约为20300万元
D. 该公司在湖南省的营收额，在华中地区的营收额的占比约为34.18%
6. 已知点是抛物线上任意一点，则点到抛物线的准线和直线的距离之和的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 5
7. 已知均为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为2且圆心角为的扇形，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，．若关于的方程在上有且仅有四个实数解，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
10. 已知直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且点在第一象限.为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 5
11. 在中，角所对边分别为，面积为，且.当取得最大值时，的值为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知曲线与曲线在处的切线互相平行，记，则（ ）
A B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知非零向量满足，且，则向量夹角的大小为___________.
14. 已知函数在上单调递增，且在上有最大值．则的取值范围为__________．
15. 已知函数.若存在，，使得曲线在，处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为________.
16. 如图，三棱锥的侧面展开图在以为圆心，2为半径的圆上，其中为三棱锥的顶点在展开图中的对应点.已知，则三棱锥的外接球的半径为___________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（―）必考题：共60分.
17. 在如图所示的七面体中，底面为正方形，平面.已知.
（1）设平面平面，证明：平面；
（2）若平面平面，求长.
18. 已知数列各项均为正数，前项和为，且.
（1）若，证明：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前项和.
19. 最近几年，新型冠状病毒肺炎席卷全球，在病毒爆发之初，我国迅速建立防疫机制，通过将与新冠肺炎确诊患者接触过的人员分为“密接”和“次密接”两类人群，并对两类人群分别加以不同程度的隔离措施，有效地预防了新冠肺炎病毒的传播.已知某确诊阳性患者确诊当天的“密接”人员有2人，“次密接”人员有3人，且每个“密接”人员被感染的概率为，每个“次密接"人员被感染的概率为
（1）求在这五人中，恰好有两人感染新冠肺炎的概率；
（2）设这五人中，感染新冠肺炎的人数为随机变量，求的数学期望.
20. 已知椭圆的上､下顶点分别为，点在椭圆内，且直线分别与椭圆交于两点，直线与轴交于点．已知．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设的面积为的面积为，求的取值范围．
21. 已知函数，其中是自然对数的底数.
（1）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）设函数，证明：存在唯一的正实数，使得恰好有两个零点.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在极坐标系中，圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系．
（1）求圆及直线的直角坐标方程；
（2）若射线分别与圆和直线交于两点，其中，求的最大值．
选修：4-5不等式选讲
23. 已知正数满足．
（1）若，求的最大值；
（2）证明：．
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