2024届新疆乌鲁木齐市第一中学高三第三次月考数学含答案

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数学答案
单选题+多选题
三、填空题
13.【答案】 14．【答案】
15．【答案】 16．【答案】 ,
【详解】,
（i）若,则,
向右平移个单位后所得函数为，
因为平移得到一个偶函数，所以,
解得，
因为，所以当时，满足题意，
（ii）若在上单调递增，
则函数的最小正周期,解得，
且，
即，解得，
又因为，所以当时，，即，
所以的最大值为.
故答案为: ；.
四、解答题
17．【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，所以，即，
根据余弦定理可得，
又因为，所以；
（2） 是 上的中线，，即，
，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
，即面积的最大值为.
18．【答案】(1)证明见解析，(2)
【详解】（1）当时，，解得.
当时，
有，
，
两式作差可得，，
整理可得，.
又，
所以，数列为首项为2，公比为2的等比数列，
所以，，
所以，.
（2）由（1）可知，，，
所以，，.
设的公差为，
则，
解得，，
所以，.
所以，，
所以，数列的前项和
.
19．【答案】(1)①；②3000
(2)依据小概率值的的独立性检验，该校学生对数学文化节活动是否满意与学生的性别有关联.
【详解】（1）①由题意可得，
，
，
所以，
故关于的回归方程为．
②令，得，
据此预测2024年该校参与数学文化节活动的人数为．
（2），
依据小概率值的的独立性检验，该校学生对数学文化节活动是否满意与学生的性别有关联.
20．【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）∵四边形ABCD中，，，，，
M为AD的中点，且，
∴四边形ABNM为正方形，且边长为1，
∴题图2中，四边形EMNF是边长为1的正方形，故，
又，，∴，∴，
又，，平面MDCN，平面MDCN，
∴平面MDCN，∵平面MDCN，∴，
易知，∴，∴，
又，平面，平面，
∴平面；
（2）解法一：由（1）知平面MDCN，又，
以N为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，
∴，，，
设平面FND的法向量为，则，
令，令，则，∴，
设平面PND的法向量为，则，
令，则，，∴，
∴，
∴，
∴二面角的正弦值为．
解法二：如图，取NC的中点O，连接PO，则，
∴平面MDCN，
∵平面MDCN，∴，
过O作，垂足为H，连接PH，则就是二面角的平面角，

又，，∴，∴，
∵平面MDCN，平面FND，∴平面平面MDCN，
∴二面角的正弦值为．
21．【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意可设双曲线C的标准方程为，
的一条渐近线与直线垂直,
由已知得，则，解得,,
故双曲线C的标准方程为.
（2）由双曲线的对称性不妨设M在第一象限，设，，，
若直线MB的斜率存在，则，
则直线MB的方程为.
联立，消去x整理得，
将代入上式整理得.
，，
则，
故，同理可得，故.
若直线MB的斜率不存在，则，此时轴，，
直线MA的方程为.
联立，消去x整理得，解得，
故，此时.
综上所述，为定值.
22．【答案】(1)答案见解析(2)．
【详解】（1）因为，
所以的定义域为，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得或（舍去），
所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）存在，使得，
即存在，使得，
整理可得，存在，使得，
令，则恒成立，
所以在上单调递减，所以恒成立，
所以， 即，
令，
则，
令，则，
所以当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以当时，恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，
所以，即实数的最小值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
C
D
D
C
B
BC
AC
BCD
ACD