2023-2024学年上海市东华大学附属奉贤致远中学高三上学期期中考试数学含答案

这是一份2023-2024学年上海市东华大学附属奉贤致远中学高三上学期期中考试数学含答案，共28页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）
1. 已知集合，，则______.
2. 若，则__________．
3. 已知平面向量，的夹角为，若，则的值为____________.
4. 若第三象限角，且，则等于_____.
5 已知向量，且，则__________.
6. 在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.
7. 若直线与曲线相切，则的值为___________.
8. 已知等比数列的前项和为，若，则__________.
9. 设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________.
10. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，则球的体积为__________.
11. 已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .
12. 已知函数，若关于的方程，有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______．
二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）
13. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
14. 某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：
根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系（ ）
A. B.
C. D. ；
15. 已知定义在R上奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
16. 如图，己知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是（ ）
A. 与所成的角是
B. 平面与平面所成的锐二面角余弦值是
C. 与平面所成的角的正弦值是
D. 线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为
三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）
17. 在数列中，，，其中为给定的正整数，的前项和为.
（1）若等比数列，，求；
（2）若为等差数列，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18. 如图，三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC，且M，N分别为线段AB，PC的中点．
（1）若点K是线段PM的中点，求证：直线平面ABC；
（2）求证：平面PCM⊥平面ABC．
19. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求的大小；
（2）若平分交于且，求面积的最小值.
20. 在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆内切，且与圆外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）不过圆心且与x轴垂直的直线交轨迹E于A，M两个不同的点，连接交轨迹E于点B
（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．
21. 已知函数，．
（1）若，证明：；
（2）若不等式恒成立，求正实数的值；
（3）证明：．
上市时间天
4
10
36
市场价元
90
51
90
东华致远2023学年第一学期期中教学评估
高三数学 试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）
1. 已知集合，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】对集合解一元二次不等式，取并集即可.
【详解】∵，∴.
2. 若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，再求出其模.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
3. 已知平面向量，的夹角为，若，则的值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由平面向量数量积运算律，代入计算，即可得到结果.
【详解】由两边平方得，，
，解得
故答案为：
4. 若是第三象限角，且，则等于_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出，再利用平方关系求出，进而求出.
【详解】 ，
，
是第三象限角，
，
.
故答案为：.
5. 已知向量，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得的坐标，再利用向量相等求解.
【详解】解：因为，
所以，
又因为，
所以
解得．
故答案为：
6. 在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.
【答案】 ①. 车长 ②. 车速
【解析】
分析】由题意求出一辆车通过该路段所需时间表达式，看表达式主要与哪些量有关即可.
【详解】设式子路口的宽度、车长、车速为，则若车辆在内能够通过该式子路段，需要满足，
因此在该段时间内，车辆通过的数量可能会受到车长、车速等因素的影响.
故答案为：车长，车速.
7. 若直线与曲线相切，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设切点为，利用导数的几何意义结合条件即得.
【详解】设切点为，则，，
，，
，
所以，.
故答案为：.
8. 已知等比数列的前项和为，若，则__________.
【答案】32
【解析】
【分析】利用等比数列通项公式将化简，再利用等比数列前n项和性质将化为，两式联立解方程即可.
【详解】设该数列的公比为q，
则，
解得，则.
故答案为：32.
9. 设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________.
【答案】或
【解析】
【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，求出A，B两点的坐标，再判断是否成立，当直线l的斜率存在时，设直线，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系列方程可求出，从而可求出直线方程
【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
由，得或，
此时，符合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线，
因为圆的圆心，半径，
所以圆心C到直线l的距离.
因为，所以，解得，
所以直线l的方程为，即.
综上，直线l的方程为或.
故答案为：或
10. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，则球的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正余弦定理可得的外接圆半径，然后根据球的性质结合条件可得球的半径，再利用球的体积公式即得.
【详解】因为，
所以，
即，所以的外接圆半径为，
在直三棱柱中，，
设球的半径为，则，
因此球的体积为．
故答案为：.
11. 已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .
【答案】
【解析】
【详解】
故答案为.
12. 已知函数，若关于的方程，有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用导函数求的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案．
【详解】解：因为，则，
当或时，，
当时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，，
故的大致图像如图所示：

关于的方程等价于，
即或，
由图可得，方程有且仅有一解，则有两解，
所以，解得，
故答案为：
二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）
13. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据指数与对数互化，求出，再根据指数的运算，结合换底公式与基本不等式逐个选项判断即可.
【详解】由题意，.
对A，，成立，故A正确；
对B，，不成立，故B错误；
对C，，成立，故C正确；
对D，因为，故，当且仅当时取等号，但，故，成立，故D正确；
故选：ACD
14. 某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：
根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系（ ）
A. B.
C. D. ；
【答案】B
【解析】
【分析】由题意观察出随的变化趋势，对比函数单调性即可得解.
【详解】∵随着时间的增加，的值先减后增，
而三个函数中、、显然都是单调函数，不满足题意，
∴选择．
故选：B.
15. 已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知得出函数的图象关于直线对称，这样得出函数在上是减函数，再由奇函数得出在上是增函数，利用奇函数得，从而得出，确定的值或范围后利用单调性可比较大小．
【详解】因为是定义在R上的奇函数且满足，
，所以的图象关于直线对称，
在上是减函数，则在上是增函数，
又是奇函数，所以在上是增函数，
所以在上是增函数，在上是减函数，
结合奇函数得，所以，
，，，
所以，即，
故选：C．
16. 如图，己知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是（ ）
A. 与所成的角是
B. 平面与平面所成的锐二面角余弦值是
C. 与平面所成的角的正弦值是
D. 是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线线角、线面角、面面角以及点到面的距离问题.
【详解】 ，， ，
平面，
以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
对于A， ，
且， ，
与所成的角是，故A错误；
对于B，设平面的法向量为，
则
令，则，，所以，
显然平面的法向量为，
，
平面与平面所成的锐二面角余弦值是，故B错误.
对于C，，故C正确；
对于D， 是线段上动点， 设，
为中点， ，，
，
当时，位于点，此时点到平面距离为,
当时，设平面的法向量为，
则
令，则，，所以，
点到平面距离
，
当，即时，，
此时， ，
点到平面距离的最大值为，故D错误.
故选：C.
三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）
17. 在数列中，，，其中为给定的正整数，的前项和为.
（1）若为等比数列，，求；
（2）若为等差数列，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】(1)利用等比数列任意两项之间的关系求出公比，结合等比数列的通项公式即可得出结果.
(2)利用等差数列任意两项之间的关系求出公差，进而求出首项，结合等差数列的求和公式即可.
【小问1详解】
由题意，，，设等比数列的公比为，则.
故.
【小问2详解】
设等差数列的公差为，由题意，.
由可知.
由，解得.
存在正整数，使得
18. 如图，三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC，且M，N分别为线段AB，PC的中点．
（1）若点K是线段PM的中点，求证：直线平面ABC；
（2）求证：平面PCM⊥平面ABC．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意利用中位线定理知，利用线面平行的判定定理即可证明平面ABC．
（2）由PA，PB，PC两两垂直，可证PC⊥平面PAB，进而可得，再证明平面PCM,根据面面垂直判定定理即可证明平面PCM⊥平面ABC．
【小问1详解】
因为N为线段PC的中点，点K是线段PM的中点，
所以由中位线定理知，
又CM在平面ABC内，且NK在平面ABC外，
因此根据线面平行判定定理得直线平面ABC，得证．
【小问2详解】
因为PA，PB，PC两两垂直，
所以PC⊥PA，PC⊥PB，平面PAB，
所以PC⊥平面PAB，
又平面PAB，所以，
又PA＝PB，且M为线段AB的中点，所以，
结合平面PCM,所以平面PCM,
因为平面ABC，所以平面PCM⊥平面ABC，得证．
.
19. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求的大小；
（2）若平分交于且，求面积的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）结合三角形的内角和定理、诱导公式化简已知条件，由此求得.
（2）根据已知条件求得或，结合基本不等式求得三角形面积的最小值.
【小问1详解】
依题意，，则，
故，则，
，
，
由于，所以，所以，
则为锐角，且.
【小问2详解】
依题意平分，
在三角形中，由正弦定理得，
在三角形中，由正弦定理得，
所以，由正弦定理得.
在三角形中，由余弦定理得，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，
整理得，
所以或.
当时，三角形是等边三角形，，，
，所以.
当时，，
当且仅当时等号成立，
所以三角形.
综上所述，三角形面积的最小值为.
20. 在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆内切，且与圆外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）不过圆心且与x轴垂直的直线交轨迹E于A，M两个不同的点，连接交轨迹E于点B
（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；
（ii）若过圆心直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设动圆P的半径为R，圆心为，根据题意列出，即可得，结合椭圆定义即可求得答案；
（2）（i）设直线AB的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，进而利用BM方程，求出N点坐标，结合根与系数关系式化简，可得结论；
（ii）求出弦长和，结合题意可求出四边形ADBG面积的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.
【小问1详解】
设动圆P的半径为R，圆心为，
即，
，即，
而动圆P与圆内切，且与圆外切，
故，则，
故动圆P的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，
设其方程为，则，
故轨迹E的方程为.
【小问2详解】
（i）由题意知AB斜率存在，设其方程为，，
则，
由，得，
由于直线AB过椭圆焦点，则必有，则，
直线BM的方程为，
令，可得
，
即N为一个定点；
（ii）
，同理可得，
，则
，
当且仅当，即时等号成立，
即四边形ADBG的面积的最小值为.
21. 已知函数，．
（1）若，证明：；
（2）若不等式恒成立，求正实数的值；
（3）证明：．
【答案】（1）证明详见解析
（2）
（3）证明详见解析
【解析】
【分析】（1）将转化为，然后利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.
（2）利用换元法，将不等式恒成立，转化为恒成立，利用构造函数法，结合导数求得正实数的值.
（3）结合（1）（2），将所要证明的不等式转化为证明，结合二次函数的性质证得不等式成立.
【小问1详解】
时，，
设，，
所以在区间递增；在区间递减.
所以，即，
所以时，.
【小问2详解】
依题意，，
令，在上递增，且，
所以对任意恒成立.
设，
所以函数在区间递减；
在区间递增.
所以，
所以，，
由（1）知，即，即，
所以，当且仅当，即时成立.
【小问3详解】
由（2）得，当时，对任意恒成立.
所以，，
则，
要证明，
只需证明，
即证，
由（1）知，
所以只需证，
即证，
①当时，，不等式成立.
②当时，，
，不等式成立.
所以成立，
所以成立.
【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可对不等式进行转化，然后利用构造函数法，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.
上市时间天
4
10
36
市场价元
90
51
90