2024届青海省西宁市大通县高三上学期期中考试数学（理）试题含答案

这是一份2024届青海省西宁市大通县高三上学期期中考试数学（理）试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据交集运算即可求解.
【详解】,
故选：D
2．若复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简，即可由共轭复数的定义求解虚部.
【详解】,故，
故的虚部为，
故选：A
3．五一国际劳动节放假三天，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用乘法原理计算出他们在同一天去和总的方法，再利用古典概型概率计算公式可得答案.
【详解】甲同学在三天中随机选一天共有3种方法，乙同学在前两天中随机选一天共有2种方法，
所以一共有种方法，他们在同一天去共有2种，
所以他们在同一天去的概率为.
故选：B.
4．记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．4B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.
【详解】由，可得，解得，
故
故选：B
5．我国西北某地区开展改造沙漠的巨大工程，该地区对近5年投入的沙漠治理经费x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据统计如下表所示．
根据表中所给数据，得到y关于x的线性回归方程为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用线性回归直线方程过定点，可得答案.
【详解】因为，
因回归方程过定点，将其代入，得，解得，
故选：C
6．已知向量，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律，即可由夹角公式求解.
【详解】由可得，所以，
同理由和可得
所以，
故，
故选：D
7．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数单调性及中间值比大小.
【详解】，，，故.
故选：C
8．已知圆锥的侧面积为，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆锥的侧面积和侧面展开图是半圆，求出底面圆的半径和母线长与高，再求圆锥外接球的半径和表面积．
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
则侧面积为，①
底面圆的周长为，②
由①②解得，，
所以．
设圆锥外接球的半径为，画出轴截面图形，如图所示：
由勾股定理得，
解得，
所以外接球的表面积为,
故选:D
9．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的一个可能取值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】首先求平移后的解析式，再根据函数的性质，求的一个可能取值.
【详解】函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，函数关于奇函数，
所以当时，，解得：，
当时，.
故选：A
10．在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题.由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界.从AlphaG到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的.在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：.下列关于Sigmid函数的表述，正确的是（ ）
①Sigmid函数是单调递增函数；
②Sigmid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为；
③对于任意正实数，方程有且只有一个解；
④Sigmid函数的导数满足：.
A．①②B．③④C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】根据初等函数的单调性即可判断①；求出的值即可判断②；根据函数的单调性以及的范围即可判断③；分别求出与的关系式，由此即可判断④．
【详解】因为为单调递减函数，所以为单调递增函数，故①正确，
因为，
所以Sigmid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为，故②正确，
由①可知函数为单调递增函数，又，所以，
即仅当时，方程有且仅有一个解，故③错误，
，
而，所以，故④正确，
故选：D．
11．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式、导数的性质进行逐一判断即可.
【详解】解：令、，则、，
在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像，
因为函数的零点为，函数的零点为，所以，，
解方程组，
因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称，
则，，，A、B、D错误，
因为，所以在上单调递增，因为，，
所以，因为点在直线上，
所以，，故C正确，
故选：C．
【点睛】关键点睛：函数零点转化为两个函数交点的形式利用数形结合思想进行求解是解题的关键．
12．已知、分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线右支上的点且直线的斜率为，的平分线与x轴交于点M.若，则双曲线C的离心率e的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可设，根据平分，，可得，从而可求的，再根据可得三者之间的关系，再根据直线的斜率为，求得，在中，由余弦定理得三者之间的关系，再根据，分别求得从而可得出答案.
【详解】解：根据题意可设，
因为平分，所以，
因为，所以，
则，
所以，
所以，
所以，
由，得，①
因直线的斜率为，所以，所以，
所以，
在中，由余弦定理得：，②
由①②得，所以，
又因为，
所以，
因为，
所以，所以，
即双曲线C的离心率e的值为.
故选：A.
二、填空题
13．已知，，为平面内的一个动点，且满足，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解．
【详解】设，由，则，
即，
即，
所以点的轨迹方程为．
故答案为：．
14．等比数列{an}中，Sn表示前n顶和，a3＝2S2+1，a4＝2S3+1，则公比q为 ．
【答案】3
【分析】利用等比数列的基本量转化已知条件，列出方程，即可求得结果.
【详解】∵a3＝2S2+1，a4＝2S3+1
两式相减可得，a4﹣a3＝2（S3﹣S2）＝2a3
整理可得，.
故答案为：3
【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属综合简单题.
15．点P是抛物线上一动点，则点P到点的距离与到直线的距离之和的最小值是 .
【答案】
【分析】根据抛物线的定义，由A，P，F三点共线时，P到点的距离与到直线的距离之和最小求解.
【详解】因为抛物线方程为，
所以抛物线的焦点坐标为准线方程为：，
如图所示：
由抛物线的定义得：点p到的焦点的距离与到准线的距离相等，
所以当A，P，F三点共线时，P到点的距离与到直线的距离之和最小，
最小值为，
故答案为：
16．已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，若直线与函数的图象恰有11个不同的公共点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据对称性可知，时直线与函数的图象有6个交点，求得函数在上的解析式，并作出图象，可求得临界情况下的值，进而可求得的取值范围.
【详解】由题意，函数和的图象都关于原点对称，则他们的图象交点也关于原点对称，
又，可知时，直线与函数的图象有6个交点.
当时，，即，则时，，
所以，时，；
时，；
时，.
作出函数在上的图象，
①当直线与的图象在处相切时，二者图象在上5个交点，
设切点为点，联立，可得，则，解得，因为，所以只有符合题意；
②当直线与的图象在处相切时，二者图象在上7个交点，
设切点为点，联立，可得，则，解得，因为，所以只有符合题意；
显然，当时，直线与函数的图象在时有6个交点，根据对称性可知，此时直线与函数的图象恰有11个不同的公共点.
故答案为：.
【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数图象交点问题，函数的对称性，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
三、解答题
17．设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2.
（1）当时，求角A的度数；
（2）求△ABC面积的最大值.
【答案】（1）；（2）3.
【解析】（1）由求出的值，再由正弦定理可求得，从而可求出角A的度数；
（2）由余弦定理可得，再利用基本不等式可得，从而可求出三角形的面积的最大值
【详解】解：（1）因为，
所以，
由正弦定理得，即，
解得，
∵a