2024届北京市东城区第一六六中学高三上学期期末模拟测试数学试题含答案

这是一份2024届北京市东城区第一六六中学高三上学期期末模拟测试数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
2．复数，在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算得到，再由共轭复数的概念及复数的几何意义即可求解.
【详解】，
，
复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于第四象限，
故选：D.
3．已知向量，若，则实数（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示求参数.
【详解】，
因为，所以，解得.
故选：B
4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性跟比较即可判断.
【详解】因为，，，
所以.
故选：B
5．在锐角中，“”是“不是最小内角”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】举例即可判断充分性，若不是最小内角，假设，利用反证法即可判断必要性，即可得解.
【详解】当时，，
此时是最小内角，故充分性不成立；
若不是最小内角，不妨设为最大角，则，
假设，由，可得，
则，此时，与题意矛盾，所以，
若锐角的最大角小于或等于，则三角形的内角和小于或等于，
这与三角形的内角和等于矛盾，
所以若不是最小内角，则，故必要性成立，
综上所述“”是“不是最小内角”的必要不充分条件.
故选：C.
6．风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年上级学生制作的一个风筝模型的多面体为的中点，四边形为矩形，且，当时，多面体的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，先证得平面，在中，利用余弦定理求得，再结合线面垂直判定定理证得平面，得到，设，利用，求得，结合，即可求解.
【详解】在中，因为且为的中点，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
在中，因为且，
所以，
所以，且，
因为四边形为矩形，可得，
又因为，且平面，所以平面，
因为，所以平面，
又因为平面，所以，
设，在直角中，可得，
在直角中，可得，
因为，所以，即，解得，
所以多面体的体积为：
.
故选：A.

7．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
8．设函数，若时，的最小值为.则下列选项正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数
C．当，的值域为
D．方程在区间 上的根的个数共有6个
【答案】D
【分析】A选项，由时，的最小值为，则可得半个最小正周期；BCD选项，由最小正周期可得，后由正弦函数奇偶性，值域，零点相关知识可判断选项正误.
【详解】A选项，时，的最小值为，可得的最小正周期为，故A错误；
B选项，由A可知，.则将函数的图像向左平移个单位，则得到的解析式为，则得到的函数为偶函数，故B错误；
C选项，当时，，因在上单调递增，在上单调递减，则，故C错误；
D选项，时，，则当时，，则在区间 上的根的个数共有6个，故D正确.
故选：D
9．北宋著名文学家苏轼的诗词“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”，描述的是我国岭南地区著名的水果荔枝.为了利用数学模型预测估计某果园的荔枝产量，现根据在果实成熟期，荔枝的日产量呈现“先递增后递减”的规律和该果园的历史观测数据，对该果园的荔枝日产量给出模型假设：前10天的每日产量可以看作是前一日产量的2倍还多1个单位；第11到15天，日产量与前日持平；从第16天起，日产量刚好是前一天的一半，直到第25天，若第1天的日产量为1个单位，请问该果园在不计损耗的情况下，估计这25天一共可以收获荔枝单位个数为（精确到整数位，参考数据：）（ ）
A．8173B．9195C．7150D．7151
【答案】A
【分析】设日产题为，分、、讨论求和可得答案.
【详解】根据题意，设日产题为，表示第天，则
当时，，化为，
∴是以为首项，公比为2的等比数列，
∴，即，同时，满足上式，
∴
，
当时，，
，
当时，，是以为公比的等比数列，
∴，
，
可得.
故选：A.
10．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】求导，设为“拉格朗日中值点”，由题意得到，构造，研究其单调性，结合零点存在性定理得到答案.
【详解】，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，
则，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，，
由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得.
故选：B.
二、填空题
11．已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
12．若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为 .
【答案】
【分析】由展开式的奇数项的二项式系数和为16可得，则展开式中第项为，令可得答案.
【详解】因的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则.
则展开式中第项为.
令可得，则的系数为.
故答案为：
13．若圆（）被直线平分，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】由题意可得直线过圆的圆心，故有，然后利用“1”的妙用进行求解即可
【详解】由，
所以该圆的圆心坐标为，
因为圆被直线平分，
所以圆心在直线上，
因此有，
所以，
当且仅当即时，取等号
故答案为：
14．已知定义在上的函数具备下列性质，①是偶函数，②在上单调递增，③对任意非零实数、都有，写出符合条件的函数的一个解析式 （写一个即可）.
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用对数函数的基本性质、函数奇偶性的定义结合对数的运算性质可得出结果.
【详解】函数的定义域为，
对任意的，，
即函数为偶函数，满足①；
当时，，则函数在上为增函数，满足②；
对任意的非零实数、，，满足③.
故满足条件的一个函数解析式为.
故答案为：（答案不唯一）.
15．已知正方体的棱长为，为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确的是
①若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆
②若三棱柱的表面积为定值，则点的轨迹为椭圆
③若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线
④若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线
【答案】①③④
【分析】根据圆的定义判断①，根据椭圆的定义判断②，根据抛物线定义判断③，根据圆锥曲线定义判断④.
【详解】由题知，如图，建立空间直角坐标系，
设，则，，
为与平面所成的角，
所以，
化简得，所以的轨迹为圆，①正确；
易知当三棱柱的侧面积为定值时，点的轨迹为椭圆，
表面积比侧面积增加了上下底面，
而底面积是变化的，所以②错；
对于③，因为点到直线与相等，
所以点的轨迹为点到点与直线距离相等的轨迹，
即抛物线，所以③对；
对于④，因为、，
所以，于是满足条件的运动成圆锥面，
其与平面的交线为双曲线，所以④对.
故答案为：①③④
三、解答题
16．在中，，，点在边上，，.
（1）求；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据平方和公式算出，根据两角差的正弦公式算出；
（2）由正弦定理算出，得到，代入面积公式，即可得出面积值.
【详解】解：（1）由，知，
则
，
（2）在中，由正弦定理得：，即，
即，
所以，
于是
.
【点睛】三角形常用面积公式：
（1） (表示边上的高)；
（2）；
（3） (为三角形内切圆半径).
17．如图在几何体中，底面为菱形，.

(1)判断是否平行于平面，并证明；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（i）平面与平面所成角的大小；
（ii）求点到平面的距离.
条件①：面面
条件②：
条件③：
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
【答案】(1)与平面不平行，证明见解析
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）利用线面平行的判定定理构造平行四边形得线线平行，即可得结论；
（2）选择条件证明线线垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的角及点到平面距离.
【详解】（1）不平行于平面，理由如下：
取中点，

因为，所以
则四边形为平行四边形，所以，又，所以不平行于，
假设平面，因为平面平面，平面
所以，与不平行于矛盾，所以假设不成立，即不平行于平面；
（2）选择条件①：
取中点，连接
因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，
由于，所以，
又因为面面，面面，面
所以面，因为面，所以
又因为，面，所以面，
而面，所以，
所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则
（i）因为面，所以为平面的一个法向量
设平面的法向量为，因为
所以，令，
设平面与平面所成角为，
所以，则
即平面与平面所成角大小为；
（ii）因为，由（i）知平面的一个法向量为
所以点到平面的距离为.
选择条件②：连接，取中点，连接
因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，所以，
在菱形中，有，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以
又因为，面，所以面，
而面，所以，
所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则
（i）因为面，所以为平面的一个法向量
设平面的法向量为，因为
所以，令，
设平面与平面所成角为，
所以，则
即平面与平面所成角大小为；
（ii）因为，由（i）知平面的一个法向量为
所以点到平面的距离为.
条件③：
取中点，连接
因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，所以，
因为，由（1）可得，所以
所以，即
因为，所以
又因为，面，所以面，
而面，所以，
所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则
（i）因为面，所以为平面的一个法向量
设平面的法向量为，因为
所以，令，
设平面与平面所成角为，
所以，则
即平面与平面所成角大小为；
（ii）因为，由（i）知平面的一个法向量为
所以点到平面的距离为.
18．为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：

(1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率；
(2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计概率，求的分布列和数学期望；
(3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计应定为多少合适？（只需写出结论）.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，
(3)
【分析】（1）分析可知户居民中，第组的居民数为，第组的居民数为，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值；
（3）计算出月均用电量的样本数据的第百分位数，即可得解.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，户居民中，第组的居民户数为，
第组的居民户数为，
从第组、第组中任取户居民，他们月均用电量都不低于的概率为.
（2）该地区月均用电量在之间的用户所占的频率为，
由题意可知，，
所以，，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
.
（3）前个矩形的面积之和为，
设月均用电量的样本数据的第百分位数为，则，
则，解得，
故应定为较为合适.
19．已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
20．设函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；
(2)求的单调区间；
(3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)最大值为2
【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）利用分离参数可得，令，利用导数求出函数的最小值，即可求解.
【详解】（1）由已知条件得，
在点处的切线斜率为，
即，
（2）的定义域为, ，
若，则，则在上单调递增；
若，由得，由得，
则单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）由得，
整理得，
当时，，即
令，则.
令，由（2）知，函数在上单调递增，
其中，，
∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即，
∴在上，在上，
∴在上，在上，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在上的最小值为，
又∵，∴，即，
∴，且为整数，
∴的最大值.
21．设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.
(1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
(2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.
【答案】(1)不是“紧密数列”，理由见解析
(2)数列是“紧密数列”，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用“紧密数列”的定义判断即可；
（2）利用求得数列的通项公式，再证得，由此证得是“紧密数列”；
（3）先根据是“紧密数列”，求得的一个取值范围，对于对分成、和三种情况，利用列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】（1），所以不是“紧密数列”；
（2）数列为“紧密"数列；理由如下：
数列的前项和，
当时，；
当时，，
又，即满足，因此，
所以对任意，
所以，
因此数列为“紧密”数列；
（3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，
当时，有，
所以，满足题意；
当时.，
因为为“紧密"数列，所以.即或，
当时，，
，
所以，满足为“紧密”数列；
当时，，不满足为“紧密"数列；
综上，实数的取值范围是.