2024届辽宁省鞍山市第一中学五校联考高三上学期期末考试数学word版含答案

2023-2024学年度上学期期末考试高三年级数学科答案 一. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】B2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】A5. 【答案】D6. 【答案】A7. 【答案】C8. 【答案】C二. 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 【答案】ABC10. 【答案】BC11. 【答案】ABC12. 【答案】ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】14.【答案】45815. _____.【答案】##16.【答案】四. 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 的内角，，的对边分别为，，.已知.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦边角关系有，应用余弦定理求角；（2）由（1）及正弦边角关系得，且，，结合三角恒等变换求角的大小.【小问1详解】由题设及正弦边角关系可得：，则，而，且，则.【小问2详解】由题设，且，，所以，则，所以，则，即.18. 为了解某药物在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：随机抽取100只小鼠，给服该种药物，每只小鼠给服的药物浓度相同、体积相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内药物的百分比. 根据试验数据得到如下直方图：（1）求残留百分比直方图中的值；（2）估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在体内药物残留百分比位于区间的小鼠中任取3只，设其中体内药物残留百分比位于区间的小鼠为只，求的分布列和期望.【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据频率之和等于1列式求解即可；（2）根据直方图计算平均数的公式计算可得；（3）先根据百分比在区间和上的小鼠个数，根据超几何分布概率公式求概率，即可的分布列，然后可得期望.【小问1详解】由题知，，解得.【小问2详解】由图知，.【小问3详解】体内药物残留百分比位于区间内频率为，位于内的频率为.则百分比位于区间内的小鼠有10只，位于内的小鼠有5只，X的所有取值为0,1,2,3，所以，，，，所以，的分布列如下：由期望公式得.19. 如图，在平行六面体中，，，，，点为中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，写出各向量即可根据向量法证明；（2）利用向量法求出二面角的余弦值即可求出正弦值.【小问1详解】因为，所以，因为，所以，以为原点建立如图所示的坐标系，所以，，，，，所以，，，设面的法向量为，所以，令，所以，因为，不在面内，所以平面；【小问2详解】，所以，设面的法向量，因为，所以，令，则，设面的法向量，因为，所以，令，所以，所以，所以二面角的正弦值为.20. 记数列的前项和为，数列的前项和为. 已知，.（1）求的通项公式；（2）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据，注意验证当时也成立，即可求解；（2）由由（1）和得，讨论当时，，当时，，得，再利用错位相减即得.【小问1详解】当时，，当时，，经验证：当时也成立.所以的通项公式为：.【小问2详解】由（1）得，又，当时，，当时，，所以当时，，令，则，两式相减得：，所以，所以，即.【点睛】本题证明数列不等式，其常用方法有：（1）利用二项式定理的展开式，进行简单的放缩；（2）利用放缩法，注意放缩技巧和放缩的适度；比如：添项或舍去一些项；将分子和分母放大或缩小；真分数的性质；利用基本不等式；函数的有界性；绝对值不等式.（3）利用导数法，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.（4）利用数学归纳法与放缩法结合.21. 在平面直角坐标系中，已知点，，点满足. 记的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知点，设点，在上，且直线不与轴垂直，记，分别为直线，的斜率.（ⅰ）对于给定数值（且），若，证明：直线经过定点；（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为，求点的轨迹方程.【答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）（除去点）【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，写出点P的轨迹方程；（2）设直线MN的方程，与椭圆方程联立，得，，用k表示m，可得直线所过定点，消去定点中的参数，得Q点的轨迹方程.【小问1详解】因为，所以P的轨迹是以，为焦点的椭圆，设方程为，则，，，所以，，C的方程为.【小问2详解】设直线MN的方程为：，其中，点M，N满足，即，满足，则，且，.（ⅰ）证明：因为，所以，得，直线MN的方程为：，所以直线过定点.（ⅱ）由，得（其中），所以点Q的轨迹方程为直线（除去点）.【点睛】关键点睛：设直线MN的方程为：，因为要证明过定点，所以需要建立m和k之间的关系式，在方程中消去一个，可得直线所过定点.22. （1）已知函数及其导函数的定义域均为，设是曲线在点处的切线的方程. 证明：当是增函数时，（2）已知，设的最大值为，证明：.（参考数据：，，）【答案】证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，构造差函数根据导数研究函数的单调性求最值即可；（2）同（1）先构造差函数结合隐零点确定，再根据（1）的结论及隐零点的范围证明即可.【详解】（1）由题意可知，令，则，显然，易知，由，且是增函数，所以时，，时，，即在上单调递减，在上单调递增，故，故；（2）设，则，易知在上单调递增，，故使得，即，则时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，即，故，在的切线方程，由（1）的结论可知，当且时取得等号，故，又，所以单调递减，即，注意到.故.【点睛】本题第二问关键在于先构造差函数，利用隐零点确定，再结合（1）的结论适当放缩证明不等式即可，但结果的精度较高，需要多加练习总结取点思路技巧.0123