2024届北京市东城区景山学校高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届北京市东城区景山学校高三上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，或，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用集合的交、补运算求集合即可.
【详解】由题设，又，
所以.
故选：C
2．设 则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算求出复数及其共轭复数即可得解.
【详解】依题意，，则，
所以在复平面内z的共轭复数对应的点位于第二象限.
故选：B
3．下列函数中， 既是偶函数， 又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由奇偶性排除两个选项，符合条件的函数再判断单调性即可得解.
【详解】对于A，函数是奇函数，不是偶函数，A不是；
对于B，函数在R上单调递减，不具有奇偶性，B不是；
对于C，函数是偶函数，当时，在上单调递增，
于是在上单调递减，C是；
对于D，函数是偶函数，在上单调递增，D不是.
故选：C
4．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】利用向量数量积的坐标表示，求出对应的x的值，再根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，，则，
所以，故有，
当时，因为，
所以，即，解得或，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．已知双曲线的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等边三角形得出的关系，进而求得得渐近线方程．
【详解】由已知及双曲线的对称性可得，所以.所以，所以，所以C的渐近线方程为.
故选：A.
6．设函数则满足的x的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先作出的图象，然后根据条件结合图象列出关于的不等式组，由此求解出结果.
【详解】作出函数的图象如图所示，
要使，
则或，
即或，
所以不等式解集为，
故选：D
7．已知圆与圆相外切，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】A
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得，要使取得最大值，则，同号，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
由圆与圆相外切，得，
即，
∴，
要使取得最大值，则，同号，不妨取，，
由基本不等式，得
，当且仅当时等号成立，
∴的最大值为2．
故选：A.
8．某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，那么从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，结合实例分析空间两直线所成角即可得解.
【详解】取正方体的相邻两个面，它们的中心分别为，是对应钟面圆心，
0点时，两个钟面时针分别指向点，显然，
直线分别为正方体相邻两个正方形的面对角线所在直线，它们成的角，
即两个钟面时针分别指向点时，两个时针所成的角为，
当两个钟面时针分别指向点时，有，因此当时针从0点转到3点的过程中，
两个时针所在直线所成的角从逐渐增大到，令成角的位置时针分别指向棱上的点，
如图，建立空间直角坐标系，令，则，
设，显然，则，，
，解得，
因此时针从0点转到3点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有1个，
同理时针从3点转到6点，6点转到9点，9点转到12点，两个时针所成的角为的位置各有1个，
所以从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有4个.
故选：D
9．已知函数，在下列结论中：
①是的一个周期；
②的图象关于直线对称；
③在区间上无最大值
正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】①②根据周期性和对称性满足的关系式判断；③利用换元法求函数在的最值情况.
【详解】因为，
所以不是的一个周期，故①错误；
，所以的图象不关于直线对称，故②错；
，，
令，则，，
，在上单调递增，所以无最大值，即函数在上无最大值，故③正确.
故选：B.
10．设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）
A．若等比数列是收敛数列，则公比
B．等差数列不可能是收敛数列
C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列
D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列
【答案】C
【分析】根据题中定义，结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前项和公式逐一判断即可.
【详解】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此选项AB不正确；
选项C：设等差数列的公差为，
所以，当时，当时，，
所以数列一定是收敛数列，因此本选项正确；
选项D：因为，，所以可得，
当时，由，两式相减，得，
所以，所以该数列的周期为，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确，
故选：C
【点睛】关键点睛：利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.
二、填空题
11．函数的定义域为 （用区间表示）.
【答案】/
【分析】根据定义域的定义即可列不等式求解.
【详解】由题意可得且，
故定义域为：
12．二项式的展开式中常数项为 .(用数字作答)
【答案】60
【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出的指数为0的项即得.
【详解】二项式的展开式的通项公式，
由，得，则，
所以二项式的展开式中常数项为60.
故答案为：60
13．已知抛物线： ，焦点为，若在抛物线上且在第一象限，，求直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】设的斜率为，根据抛物线的定义以及弦长公式建立方程即可求解.
【详解】设则由于的斜率存在，设的斜率为．，
都在轴上方，由题意知，
由抛物线定义
则，由弦长公式
所以.
故答案为：
14．正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，，则的值为 ；的值为 .
【答案】
【分析】设出正项数列成等比数列的后7项的公比，求出及，再分组求和即得.
【详解】正项数列成等比数列的后7项的首项为，设公比为，则，而，解得，
于是，显然，
所以.
故答案为：；
15．已知函数的图象的一条对称轴为直线，为函数的导函数，函数，给出以下结论：①直线是图象的一条对称轴；②的最小正周期为；③的最大值为；④点是图象的一个对称中心.则所有正确结论的序号是 .
【答案】②③
【分析】根据题意可得，再结合，可求出，从而得出函数的解析式为，进而得到，即可判断各项的真假．
【详解】因为的图象的一条对称轴为直线，
所以，，所以，，
又，所以，所以，所以，
所以
，
可取，显然，且且，
易知的最大值为，最小正周期为，故①④错误，②③正确.
故答案为：②③．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握复合函数的求导，从而得解.
三、解答题
16．如图， 在三棱柱 中，为等边三角形，四边形 是边长为2的正方形， D为AB中点， 且
(1)求证: CD⊥平面；
(2)已知点 P 在线段上，且直线AP 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由勾股定理可得，再利用线面垂直的性质、判定推理即得.
（2）建立空间直角坐标系，结合线面角的向量求法求出点位置即可.
【详解】（1）在三棱柱 中，，
显然，则，又，
于是，又，平面，
因此平面，又平面，即有，
在正中，为中点，则，又平面，
所以平面.
（2）取中点为中点为，则，
由（1）知，平面，且平面，则，又，
有，平面，于是平面，两两垂直.，
以为坐标原点，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设，则，
由直线与平面所成角的正弦值为，得，
即，整理得，而，解得，
即点为线段的中点，所以.
17．在中，角的对边分别为.
(1)求的大小；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.
【答案】(1).
(2)条件①：；条件③：.
【分析】（1）利用正弦定理，边化角，再利用三角恒等变换求解即可.
（2）根据三角形全等条件可知①③满足条件，条件②由余弦定理可得有两解，不满足条件，条件①：根据，结合等面积求解即可；条件③：利用余弦定理结合等面积求解即可.
【详解】（1）在中因为，
由正弦定理得，
所以，即，
又因为，，所以，.
（2）设边上的高为，
条件①：因为，所以 ，，
所以，根据三角形全等（角角边）可知存在且唯一确定.
所以，
则，解得，即边上的高为.
条件②：由余弦定理得，即，
解得，此时满足条件的的三角形有两个，条件②不符合题意.
条件③：根据三角形全等（边角边）可得存在且唯一确定，
由余弦定理得，即，解得，
则，解得，即边上的高为.
18．根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
(2)从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；
(3)从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)与相互独立
【分析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，计算频率得到优秀率的估计值；
（2）由题设，的所有可能取值为．算出对应概率的估计值，得到的数学期望的估计值；
（3）利用两个事件相互独立的定义判断即可.
【详解】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．
（2）由题设，的所有可能取值为．
估计为；
估计为；
估计为；
估计为．
估计的数学期望．
（3）估计为；
估计为；
估计为，
，所以与相互独立．
19．已知椭圆，长轴长为4， 离心率是
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)斜率为且不过原点的直线交椭圆C于 A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点 G，交直线于点D. 若 证明：直线经过定点，并求出定点坐标.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，.
【分析】（1）根据给定条件，求出即可求出椭圆 C的标准方程.
（2）设直线的方程为：，，联立直线与椭圆得交点坐标，再结合已知求出的值即可得结论.
【详解】（1）由椭圆的长轴长为4，得，即，
由离心率是，得，解得，
所以椭圆 C的标准方程为.
（2）设直线的方程为：，，
由消去并整理得：，
，即，设，
则，，于是点，
直线的方程为，则点，
由，解得，设点，则，
显然点的纵坐标同号，由得，，
因此，解得，此时，直线：过定点，
所以直线经过定点，该定点坐标为.
20．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)当时，
①求证：有唯一的极值点；
②记的零点为，是否存在使得？说明理由.
【答案】(1)
(2)①证明见解析，②不存在，详细见解析.
【分析】（1）求得导函数，由，代入计算即可.
(2) ①求得设, 由函数性质可知在上单调递减.进而由，可得有有唯一解，进而利用导数可判断有唯一的极值点.
②由题意，可得假设存在a，使，进而可知由在单调递减，，则，求得，与已知矛盾，则假设错误.
【详解】（1）因为，所以
因为，所以
（2）①的定义域是，
令，则.
设,因为在上单调递减，
所以在上单调递减.
因为，所以在上有唯一的零点，|
所以有有唯一解，不妨设为.
与的情况如下,
所以有唯一的极值点.
②由题意，，则
若存在a，使，则，所以
因为在单调递减，，
则需，即，与已知矛盾.
所以，不存在,使得.
21．设是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.
（1）直接写出的所有自邻集；
（2）若为偶数且，求证：的所有含个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
（3）若，求证：.
【答案】（1），，，，，；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）每个自邻集中至少有两个元素，然后按相邻元素规则确定；
（2）利用配对原则证明，对于集合的含有5个元素的自邻集，
不妨设，构造集合，它们是不相等的集合，也是5个元素的自邻集，这样可得证结论；
（3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，.
当时，，，得.
下面只要证明即可，对自邻集进行分类确定自邻集的个数：①含有这三个元素，②含有两个元素，不含有这个元素，且不只有，两个元素.③只含有这两个元素，可得与的关系，完成证明．
【详解】解：（1）.的子集中的自邻集有：
，，，，，.
（2）.对于集合的含有个元素的自邻集，
不妨设.
因为对于任意，都有或，.
所以，，或.
对于集合，
因为，所以，.
且.
所以.
因为，，或.
所以，，
或.
所以，对于任意，都有
或，.
所以集合也是自邻集.
因为当n为偶数时，，
所以.
所以，对于集合任意一个含有个元素的自邻集，在上述对应方法下会
存在一个不同的含有个元素的自邻集与其对应.
所以，的含有个元素的自邻集的个数为偶数.
（3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，.
当时，，.
显然.
下面证明.
①自邻集中含，，这三个元素.
记去掉这个自邻集中的元素后的集合为，因为，所以
仍然是自邻集，且集合中的最大元素是，所以含这三个
元素的自邻集的个数为.
②自邻集中含有，这两个元素，不含，且不只有，两个
元素.
记自邻集中除，之外的最大元素为，则.
每个自邻集去掉，这两个元素后，仍然为自邻集，
此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为类：
含最大数为的集合个数为.
含最大数为的集合个数为.
含最大数为的集合个数为.
则这样的集合共有个.
③自邻集只含，两个元素，这样的自邻集只有1个.
综上可得
.
所以，
所以当时，.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义，并能利用新定义求解．特别是对新定义自邻集的个数的记数：记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，.然后求得与的关系．
．
立定跳远单项等级
高三男生
高三女生
优秀
及以上
及以上
良好
~
~
及格
~
~
不及格
及以下
及以下
男生
女生
+
0
-
增
极大值
减