2024届福建省漳州市第三中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届福建省漳州市第三中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由交集概念直接求解.
【详解】由题意得，又因为，所以,
故选：B.
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用复数的乘方和乘法运算化简，再利用共轭复数的定义求解.
【详解】解：因为，
所以.
故选：B
3．已知非零向量、满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可得，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出与的夹角.
【详解】因为非零向量、满足，且，
则，
所以，，又因为，故.
因此，与的夹角为.
故选：A.
4．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用二次函数与指数函数的图象与性质，结合复合函数的单调性的判定方法，列出不等式，即可求解.
【详解】设，对称轴为，抛物线开口向上，
因为函数是上的增函数，
要使在区间单调递减，则在区间单调递减，即，即，
所以实数的取值范围是．
故选：C．
5．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积.
【详解】由椭圆方程得..
故选：D.
6．已知等比数列的公比为q，则“是“，，成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，由等差数列与等比数列的定义，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】因为为等比数列，则，
若，则，，为常数数列，且为等差数列，所以充分性满足；
若，，成等差数列，由等差中项的性质可得，，化简可得，
，且，则，解得或，所以必要性不满足；
所以“是“，，成等差数列”的充分不必要条件.
故选：A
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，倍角公式求出，再由，可求.
【详解】已知，则，则，
又，则，即，
又，，则．
故选：C．
8．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由分离常数，利用构造函数法，结合导数，求得的取值范围.
【详解】依题意在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，
，
在上递增，，
所以.
所以的取值范围是.
故选：B
二、多选题
9．某校有5名同学参加知识竞赛，甲同学得知其他4名同学的成绩（单位：分）分别为80，84，86，90，若这5名同学的平均成绩为87，则下列结论正确的是
A．甲同学的竞赛成绩为95
B．这5名同学竞赛成绩的方差为26.4
C．这5名同学竞赛成绩的第40百分位数是84
D．从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为0.6
【答案】AB
【分析】对于A，利用平均数计算公式建立方程，可得答案；
对于B，利用方差计算公式，可得答案；
对于C，利用百分位数计算方法，可得答案；
对于D，利用古典概型的概率计算方法，可得答案.
【详解】对于A，设甲的成绩为，则有，解可得，A正确；
对于B，甲的成绩为95，则这5名同学竞赛成绩的方差
，B正确；
对于C，五人的成绩从小到大排列，依次为：80、84、86、90、95，而，则其第40百分位数是，C错误；
对于D，五人的成绩中，高于平均分的有2人，则从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为，D错误．
故选：AB．
10．关于函数，下列选项正确的是（ ）
A．的定义域为B．是奇函数
C．的最小正周期是D．
【答案】AC
【分析】根据正切函数的性质判断A，画出函数图象，结合图象判断B、C，根据奇偶性与单调性判断D.
【详解】解：函数的定义域与的定义域相同，即为，故A正确；
由及的定义域知是偶函数，故B错误；
作出的图象如图所示，
由图可知函数的最小正周期为，故C正确；
由于，，且根据图象知在上单调递增，
所以，即，故D错误.
故选：AC．
11．如图，三棱锥中，，平面，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与平面所成的角为
B．二面角的正切值为
C．点到平面的距离为
D．
【答案】ABC
【分析】根据线面垂直结合线面角的定义即可求解A，根据二面角定义即可求解B，利用等体积法即可求解C，根据垂直关系得矛盾即可判断D.
【详解】选项A，因为平面，故为直线与平面所成的角，
又，所以，
故直线与平面所成的角是，故A正确；
选项B，取中点为，连接，，
因为，平面，
所以，，
因为，平面，所以平面，
故为二面角的平面角，则，
故二面角的正切值为，故B正确；
选项C，因为，
所以，
设到面的距离为，则由，
可得：，解得，故C正确；
选项D，若，又，且，
平面,则面，
则有，与矛盾，故D错误．
故选:ABC．
12．已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若f(1－x)，g(x＋2)均为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称
B．g(2023)＝2
C．
D．若函数g(x)在[1，2]上单调递减，则g(x)在区间[0，2024]上有1012个零点
【答案】ACD
【分析】根据偶函数的性质，结合函数的对称性的性质、函数的单调性逐一判断即可.
【详解】因为f(1－x)是偶函数，
所以，所以函数函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，因此选项A正确；
因为g(x＋2)为偶函数，所以有，
因此函数关于直线对称，
由，
因此函数关于点对称，由
，所以函数的周期为4，
在中，令，得，
在中，令，得，
所以，故选项B不正确；
由，令，得，因此选项C正确；
因为函数关于点对称，且在[1，2]上单调递减，
所以函数在也单调递减，而函数关于直线对称，
所以函数在上单调递增，且，
所以当时，函数有两个零点，
当时，由函数的周期为4，
可知函数的零点的个数为，所以选项D说法正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：根据函数的对称性判断函数的周期是解题的关键.
三、填空题
13．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
【答案】
【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.
【详解】［方法一］：反面考虑
没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．
故答案为：.
［方法二］：正面考虑
若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；
若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．
故答案为：.
【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；
方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．
14．若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为 ．
【答案】/1.25
【分析】先求出双曲线方程，再由双曲线的性质得到，最后用离心率公式算出结果.
【详解】因为点在双曲线上，代入可得，解得，
由曲线方程可知，故，
所以双曲线的离心率为，
故答案为：
15．已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 .
【答案】1
【详解】函数f(x)=ax−lnx,可得,切线的斜率为：，
切点坐标(1,a),切线方程l为：y−a=(a−1)(x−1)，
l在y轴上的截距为：a+(a−1)(−1)=1.
故答案为1.
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
16．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线以AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为1的正方体中，点P是正方体的表面（包括边界）上的动点，若动点P满足，则点P所形成的阿氏圆的半径为 ；三棱锥体积的最大值是 ．
阿波罗尼奥斯
【答案】
【分析】以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，设，利用，求出点的轨迹方程，即可得到点所形成的阿氏圆的半径；求出即为三棱锥最大的高，然后利用三棱锥的体积公式求解即可．
【详解】解：以为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，设，
因为，所以，
整理得，
点所形成的阿氏圆的半径为；
则当到距离最大时，三棱锥的体积最大，
结合图形可知当在上，即为三棱锥最大的高，
则三棱锥体积的最大值是．
故答案为：；．
四、解答题
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角C；
(2)若，的面积为，求c.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、特殊角的正切值进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式和余弦定理进行求解即可.
【详解】（1）根据正弦定理由
因为，所以，所以由，
因为，所以
（2）因为，的面积为，
所以有，舍去，
即，
所以.
18．如图，已知圆锥，是底面圆的直径，且长为4，是圆上异于，的一点，，，取的中点，连接，，．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先推出，，再根据线面垂直的判定定理可得平面；
（2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．利用平面的法向量可求出结果.
【详解】（1）因为点为圆锥的顶点，所以平面．
，又，分别为、中点，．
由平面，平面，得．
又，平面，平面，
所以平面，
（2）因为，，，
所以，，，，
又，．
在圆中，，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．
则，，．
又因为平面，所以轴，从而．
则，，．
设平面的法向量为，
则，即，
不妨取，则，，此时．
平面的一个法向量为，
所以．
又二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
19．近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨．某学生兴趣小组在月日随机抽取了该市人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，如图是根据调查结果绘制的体育锻炼时间的频率分布直方图，锻炼时间不少于分钟的人称为“运动达人”．
(1)估算这人当天体育锻炼时间的众数和平均数（每组中的数据用组中值代替）；
(2)根据已知条件完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为“运动达人”与性别有关．
附：，，
【答案】(1)众数为35，平均数为
(2)填表见解析；没有的把握认为“运动达人”与性别有关
【分析】（1）由频率分布直方图求众数与平均数知识可得答案；（2）由题目数据可完成列联表，后由独立性检验知识可得答案.
【详解】（1）（1）由众数的定义可知，这人当天体育锻炼时间的众数为的组中值，即35，
设这人当天体育锻炼时间的平均数为；
则；
（2）根据已知条件，列联表如下：
根据列联表中的数据有
，
所以没有的把握认为“运动达人”与性别有关．
20．设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.
（Ⅰ）求通项公式；
（Ⅱ）求数列{||}的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力.
试题解析：（Ⅰ）由题意得，则
又当时，由，
得.
又,
所以，数列的通项公式为.
（Ⅱ）设，，.
当时，由于，故.
设数列的前项和为，则.
当时，，满足上式，
所以，
【解析】等差、等比数列的基础知识.
【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列的求和，其中是等差数列，是等比数列；（2）裂项法：形如数列或的求和，其中，是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．
21．学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛．
(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，比赛共进行两轮，在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，均值为0
【分析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；
（2）（i）的可能取值为－2，0，2，计算出相应概率，即得分布列；（ii）的可能取值为－4，－2，0，2，4，计算出相应概率，即得分布列和均值；
【详解】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，
B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”
由全概率公式得
（2）设在一轮比赛中得分为，则的可能取值为－2，0，2，则
设在二轮比赛中得分为，则的可能取值为－4，－2，0，2，4，则
得分为的分布列用表格表示为
22．已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（Ⅲ）如果，且，证明
【答案】（Ⅰ）f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【详解】（Ⅰ）解：f’
令f’(x)=0,解得x=1
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数．
又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
（Ⅲ）证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.
非“运动达人”
“运动达人”
合计
男性
女性
合计
临界值表：
0.05
0.01
3.841
6.635
非“运动达人”
“运动达人”
合计
男性
女性
合计
－4
－2
0
2
4
P
X
()
1
()
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值