2024届河南省周口市恒大中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届河南省周口市恒大中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．定义区间（）的长度为．已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】作出函数在值域为上的图象，由图象可得出长度最小和最大的区间，由此可得结论．
【详解】如图是函数在值域为[1，2]上的图象．使函数的值域为[1，2]的定义域区间中，长度最小的区间为或[0，1]，
长度最大的区间为，从而由定义可知区间的长度的最大值与最小值的差为．
故选：B
2．已知向量、的夹角为，，，则（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的数量积公式可得，再根据可求得结果.
【详解】因为，
所以.
故选：B
3．设集合，若,则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】 ，若 ，不满足集合元素的互异性，
故，
故结果选A.
4．在中，B=30°，BC=2，AB=，则边AC的长等于（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】利用余弦定理即得．
【详解】由余弦定理，得，
解得AC=1.
故选：B.
5．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合A和集合B，再根据交集运算即可求出.
【详解】，
，
.
故选：D.
【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及含绝对值不等式的求解，考查函数定义域的求法，属于基础题.
6．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有侧面和底面中，面积的最大值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【分析】画出三视图对应的直观图，然后利用勾股定理、余弦定理以及三角形面积公式计算出四个面的面积，由此判断出面积最大值.
【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中，为的中点，平面，，.
所以，，.
又因为，，
所以，故，
所以.故选C.
【点睛】本题考查三视图的知识，考查空间想象能力和运算求解能力.属于中档题.
7．已知，，，是第四象限角，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用同角三角函数平方关系及差角的余弦公式计算即可.
【详解】由已知得，，
则.
故选：C.
8．已知点A（，2），B（4，﹣3），若直线l过点P（0，1）与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．[]
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出直线PA、PB的斜率，即可求得直线l与线段AB相交时直线l的倾斜角取值范围.
【详解】如图所示，
由A（，2），B（4，﹣3），P（0，1），
可得斜率kPA，kPB1，
因为直线l与线段AB相交，
所以直线l的倾斜角的取值范围是.
故选：C.
二、多选题
9．设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】分别在和求得旋转后倾斜角即可.
【详解】直线倾斜角的取值范围为，
当时，旋转后得到的倾斜角为：；
当时，旋转后得到的倾斜角为：.
故选：AC.
10．若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】BCD
【分析】将转化为，构造函数，利用导数求其单调递减区间即可.
【详解】，且，
则，整理得
设，则只需要在上单调递减即可，
，
令，解得，
则，
所以BCD符合，
故选：BCD.
11．已知数列为等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列（其中且）是等比数列
C．数列为等比数列D．数列为等比数列
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用等比数列的定义，逐项判断作答.
【详解】数列为等比数列，设其公比为，则，
对于A，为常数，数列为等比数列，A正确；
对于B，且，为常数，数列是等比数列，B正确；
对于C，当，，此时数列不是等比数列，C错误；
对于D，为常数，数列为等比数列，D正确.
故选：ABD
12．化简下列各式，与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】结合二倍角公式 ，以及 ，逐项化简即可.
【详解】A. ，不合题意；
B.因为 ，
所以，故B对；
C. ，故C对；
D. ，故D错.
故选：BC
三、填空题
13．设，函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则a的取值范围是
【答案】
【分析】问题可转化为在上的图象与直线仅有两个交点，作出函数图象，观察图象即可得解．
【详解】由题意得，在上仅有两个不同的解，
即在上仅有两个不同的解，
即在上仅有两个不同的解，
设，则在上的图象与直线仅有两个交点，
作出及直线的图象如下图所示，
由图象可知，．
故答案为：．
【点睛】方法与易错点点睛：转化为在上的图象与直线仅有两个交点是解题的关键，易错点：结果的开闭区间要注意.
14．已知向量与的夹角为，且，，则 ．
【答案】1
【分析】求出，再利用给定等式及向量夹角，结合数量积运算律列式计算作答.
【详解】依题意，，则有，由两边平方得：
，即，解得：，
所以.
故答案为：1
15．二项式的展开式中常数项为 . （用数字表达）
【答案】
【分析】用二项展开式的通项公式得第r+1项，令x的指数为0得常数项，令x的指数为正整数得x的指数为正整数的项．
【详解】的展开式的通项为=（﹣1）r36﹣rC6rx6﹣2r
令6﹣2r=0得r=3
故展开式的常数项为T4=﹣33C63=﹣540
故答案为:﹣540；
【点睛】这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等．
16．已知，则
【答案】10
【分析】由题解出，直接代入即可求值．
【详解】因为，当时，解得，
所以
【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单题．
四、解答题
17．用列举法表示下列集合
（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合
（2）方程的所有实数解组成的集合
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）用列举法，直接写出结果；
（2）先解方程，即可得出对应的集合.
【详解】（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合为；
（2）解方程得，
所以方程的所有实数解组成的集合为.
【点睛】本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.
18．求证：函数在区间上至少有一个零点.
【答案】证明见解析
【解析】计算得到，利用零点存在定理得到证明.
【详解】函数的定义域为，图像是连接不断的.
因为，所以，
因此函数在区间上至少有一个零点.
【点睛】本题考查了零点存在定理的应用，意在考查学生对于零点存在定理的灵活运用.
19．已知函数，.
（1）讨论在上的单调性；
（2）当时，讨论在上的零点个数.
【答案】（1）答案见解析；（2）有3个零点.
【分析】（1）求，然后根据，和，判断原函数在上的单调性即可
（2）把代入原函数，转化为，然后构造函数，判断函数的奇偶性，然后计算，探讨函数的单调性，最后进行计算即可.
【详解】（1），，
当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，令，则，令，则，
若，即时，在上单调递增；
若，即时，在上单调递减；在上单调递增；
（2）当时，，
令，得，
令，则，
所以为奇函数，且，
所以0是的一个零点，
令，则，
当，，则在上单调递增，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
令，则恒成立，所以在上单调递减，
所以，则，
令，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，则当时，恒成立，
即当时，恒成立，所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
当时，，所以在上单调递增，
又，，
所以在上有且只有一个零点，设该零点为，
因为为奇函数，所以在上的零点为，
所以在上有3个零点，分别为，0，，
所以在上有3个零点.
【点睛】方法点睛：
含参数的函数单调性判断：（1）求导；（2）讨论参数范围；（3）判断的符号.
利用导数判断函数在区间的零点个数：（1）构造函数；（2）求导（可能用到二阶导）；（3）判断原函数的单调性；（4）得出结论.
20．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求边长和角；
(2)求的面积的最大值，并判断此时的形状．
【答案】(1)，
(2)，等边三角形
【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，求得a，再由求得角A；
（2）由余弦定理结合基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解：，
由正弦定理得．
可得．
由，得，
得，
得或，故或0（舍去）．
（2）由余弦定理可知，，
由（1）可得，
则，
当且仅当时等号成立，
即面积的最大值为，
此时为等边三角形．
21．从①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在平面四边形中，已知，且__________．
(1)求；
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，先用正弦定理算出，然后用余弦定理算出，再用正弦定理计算；若选②，先用面积公式算出，然后用余弦定理算出，再用正弦定理计算.
（2）先用两角和的正弦公式算出，然后利用正弦定理计算的长.
【详解】（1）选①
因为，所以，解得，
所以，
解得．
由，得．
选②
由，得，
所以，解得．
由，得．
（2）由（1）知，又，
所以，从而，
所以，
由，得．
22．已知，比较与的大小.
【答案】
【分析】利用作差法比较即可.
【详解】解：，
.
【点睛】本题考查作差法比较大小，是基础题.