2024届内蒙古锡林郭勒盟高三上学期第二次统一考试（12月月考）（全国乙卷）数学（理）试题含答案

这是一份2024届内蒙古锡林郭勒盟高三上学期第二次统一考试（12月月考）（全国乙卷）数学（理）试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若（是虚数单位），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由复数的四则运算、共轭复数的概念即可得解.
【详解】由题意.
故选：B.
2．若全集，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由集合的补集运算、子集的概念以及二次函数的值域即可求解.
【详解】由题意，故AB错误；
而，所以，所以，故C错误，D正确.
故选：D.
3．造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，…，A10；B0，B1，.B10等标记来表示纸张的幅面规格，其中A系列的幅面规格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…如此对开至A8规格.若A4纸的面积为624cm2，则A8纸的面积为（ ）
A．39cm2B．78cm2C．4992cm2D．9984cm2
【答案】A
【分析】由条件可得纸张的面积分别为，为等比数列，并且公比为，利用等比数列求A8纸的面积.
【详解】设纸张的面积分别为，，则为等比数列，公比，
，解得：.
故选：A
4．如图，在中，是直角，的内切圆与分别切于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则至少满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】以为原点，所在的直线分别为的正半轴建立平面直角坐标系，求出内切圆的方程，根据点是图中阴影区域内的一点（不包含边界），得点应该在圆外可得答案.
【详解】以为原点，所在的直线分别为的正半轴建立平面直角坐标系，
则，可得，
设内切圆圆心为，内切圆的半径为，则，解得，
可得圆心，所以内切圆的方程为，
所以，
，
若点是图中阴影区域内的一点（不包含边界），则点应该在圆外，
所以至少满足.
故选：C.
5．若，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】由诱导公式、商数关系以及二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
所以，.
故选：C.
6．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，与交于两点、，，为的准线上的一点，则的面积为（ ）
A．18B．24C．36D．48
【答案】C
【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．
【详解】
设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），
则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=-
∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，
又∵AB⊥x轴
∴|AB|=2p=12
∴p=6
又∵点P在准线上
∴DP=（+|-|）=p=6
∴S△ABP=（DP✖AB）=×6×12=36
故选：C．
7．的展开式中有常数项，则不可能为（ ）
A．6B．8C．9D．12
【答案】B
【分析】先求出展开式的通项公式，由于有常数项，所以令，从而可判断出一定为3的倍数
【详解】解：，令，即，
∵，，∴一定为3的倍数，∴不可能是8.
故选：B
8．已知四面体的体积为3，从顶点出发的三条棱两两垂直，若，则该四面体外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求外接球半径，后运用基本不等式求最值即可.
【详解】
设四面体体积是，外接球半径是，表面积是，
棱两两垂直，，
，，
易知，
当且仅当时取等，故有，
则，
故选：A
9．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（素数即质数）猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数.则从不超过18的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得不超过18的素数有7个，满足题意的孪生素数对有3对，利用古典概型公式可得结果.
【详解】不超过18的素数有：2,3,5,7,11,13,17，共7个，
则从不超过18的素数中任取两个素数共有种，
不超过18的素数组成的孪生素数对为，，共有3组，
能够组成孪生素数的概率为.
故选：C.
10．甲、乙、丙做同一道题：已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，且满足，，，…．甲说：“”，乙说：“”，丙说：“”，如果三人说的均是正确的，以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．直线，不一定垂直D．直线，为异面直线
【答案】D
【分析】将甲、乙、丙三人的说法作为已知条件推理即可得答案.
【详解】结合甲、乙、丙三人的说法可知，当，，正确时，可得到，故C选项错误；
又因为，，，所以，故A选项错误；
由于，，，，，是三条不同的直线，所以，故B选项错误；
当，，正确时，直线，只能为异面直线，故D选项正确.
故选：D．
11．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道II绕月球飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为，圆形轨道III的半径为，则下列结论中正确的序号为（ ）

①轨道II的焦距为；
②若不变，越大，轨道II的短轴长越小；
③轨道II的长轴长为；
④若不变，越大，轨道II的离心率越大.
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为，然后结合圆的半径和，分别表示出焦距，短轴，长轴，离心率后逐一分析选项即可.
【详解】由已知得圆形轨道I的半径为，
设轨道II的方程为，则，
又因为圆形轨道III的半径为，则，
联立，解得，
所以轨道II的焦距为，故①正确；
又，
所以，
所以若不变，越大，轨道II的短轴长越大，故②不正确；
长轴，故③正确；
所以离心率，
若不变，越大，轨道II的离心率越大，故④正确.
故选：C.
12．已知且，且，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】可设，利用导数说明其单调性，依题意可得，，，从而得出，根据题意可知，，，这样即可得出，，的大小关系．
【详解】解：记，有，
所以当时，当时，
在单调递减，在单调递增，
因为且，且，且
即，，
即，，，
则，，
，，，，，，
．
故选：．
二、填空题
13．的三内角所对边的长分别是，设向量，若向量与向量共线，则角 .
【答案】
【分析】利用向量共线的坐标运算得，然后利用余弦定理求解即可.
【详解】因为向量共线，
所以，即，
在中，由余弦定理得，，又，所以.
故答案为：.
14．已知一组数据为，若在这组数据中插入一个自然数使得这组新数据满足中位数是7且平均数大于7，则满足上述条件的最小自然数是 .
【答案】
【分析】根据条件进行推理确定a的位置和大小.
【详解】要使得中位数是7，a必须插在7的前面，即，
平均数为，
解得，a是满足上述条件的最小自然数，则.
故答案为：4.
15．已知函数的部分图象如图所示，下述四个结论：①；②；③是奇函数；④是偶函数中，其中所有正确结论的编号是 .
【答案】①②④
【分析】根据部分图象求出的解析式，再利用三角函数的性质即可求解.
【详解】由函数图象的最值可得，
由，解得，所以，所以①正确；
此时
代入得，
，
又，，所以②正确；
所以的解析式为.
不是奇函数，所以③错误；
，
为偶函数，所以④正确．
综上知，正确的命题序号是①②④．
故答案为：①②④．
16．已知对一切上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．
【详解】可化为，
令，由，得，
则，
在上递减，当时取得最大值为，
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.
三、解答题
17．设公差不为0的等差数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和满足：，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）利用错位相减法进行求解即可.
【详解】（1）设数列的公差为，
，
，
，
；
（2）当，
当时，，
，
，
①，
②，
由①-②得，，
，
.
18．2023年，在第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议上教育部关于考试招生制度改革情况的报告中提出：改革考试内容和形式，实现从“考知识”向“考能力素养”转变；探索拔尖创新人才超常规选鉴通道，设立清华大学数学科学领军人才培养计划､北京大学物理卓越人才培养计划等专项计划，推进拔尖创新人才选拔培养.为此，各地区高中积极推进“强基计划”的落实，“强基培训”成为学生们热爱的课程之一.某高中随机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否参加“强基培训”的情况，经统计，“强基培训”与性别情况如下表：（单位：人）
(1)根据表中数据并依据小概率值的独立性检验，分析参加“强基培训”与性别是否有关联？
(2)用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中参加“强基培训”的人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)有关联
(2)分布列见解析，1
【分析】（1）计算的值，与临界值比较，即可得结论；
（2）求得考生参加“强基培训”的概率，确定变量X的取值，结合二项分布的概率计算，求出每个值对应的概率，即可得分布列，根据二项分布的期望公式，即可求得期望.
【详解】（1）假设参加“强基培训”与性别无关联，
由题意，，
依据小概率值的独立性检验，可推断假设不成立，
即认为参加“强基培训”与性别有关联.
（2）由题意知，考生参加“强基培训”的概率，
不参加“强基培训”的概率为，
结合题意知的可能取值为，则，
，
，，
所以的分布列如下：
由，数学期望.
19．如图，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是菱形，平面平面.
（1）证明：；
（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE与平面CDF所成的二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接交于点，连接，要证明，只需证明平面即可；
（2）以D为原点建系，分别求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算即可得到答案.
【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接．
四边形为正方形，
，且为的中点．
又四边形为菱形，
．
平面
平面
又平面OAE
．
（2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设，
则，，
则．
由（1）得
又平面平面，平面平面，
平面ABCD，故，同理，
．
设为平面的法向量，为平面的法向量，
则故可取，
同理故可取，
所以．
设平面与平面所成的二面角为，则，
所以平面与平面所成的二面角的正弦值为．
20．设分别是椭圆的左､右焦点.
(1)求的离心率；
(2)过的直线与相交于两点（与轴不平行）.
①当为常数时，若成等差数列，求直线的方程；
②当时.延长与相交于另一个点（与轴不垂直），试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)
(2)①；②相切，理由见解析
【分析】（1）根据椭圆方程求得离心率即可.
（2）①由成等差数列，求得.设直线方程为，与椭圆联立，由弦长公式求的长，求得直线斜率，写出直线方程；②设，则，令，将直线方程与椭圆联立，分别表示出的坐标，求得的斜率，写出的方程，与椭圆联立，计算判别式，从而确定直线与椭圆的关系.
【详解】（1）由题意得，，
则，故，
即.
（2）①成等差数列，
，又，
，
与轴不平行，所以直线的斜率存在，若的斜率为，
设直线方程为，
联立，消去得，
则，
，
解之得，
故直线方程为或.
②设，则，
令，
与轴不平行且斜率存在，
，
联立，消去得，且，
由韦达定理可知，，并注意到，
得，即，
故，
得，
同理得.
此时，，
直线的方程为，
整理得，
联立，消去得，
注意到，故，
此时，，
直线与椭圆相切.

【点睛】思路点睛：本题第二问主要考查直线与椭圆的关系.第二小问中设出点坐标，求出直线的方程，与椭圆联立得坐标，同理求得坐标，求出直线方程，注意消元化简，与已知椭圆联立利用判别式判断二者位置关系.
21．已知函数，其中．
(1)证明：恒有唯一零点；
(2)记（1）中的零点为，当时，证明：图像上存在关于点对称的两点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）令，对函数求导利用函数导数单调性进行证明即可；
（2）将问题转化，构造新函数，对函数求导，利用函数导数单调性进行证明即可.
【详解】（1），又，
令，则，递增，
令，则，递减，
而时，，时，
有，，
可得恒有唯一零点．
（2）因为，故，
要证图像上存在关于点对称的两点，
即证方程有解；
，
令，
，
令，
则，
令
，
当时，，则，递增，
当时，，则，递减，
故，因为，故，
又时，，时，，
故先负后正再负，则先减再增再减，
又，且时，，时，，
故先正后负再正再负，则先增再减再增再减，
又时，，时，，而，
故在区间存在两个零点，则原题得证！
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，
难度相当大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，
在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，
对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程，曲线的参数方程；
（2）若分别为曲线，上的动点，求的最小值，并求取得最小值时，点的直角坐标.
【答案】(1) ,的参数方程为（为参数）. (2)
【分析】(1)由参数方程、普通直角坐标方程及极坐标方程间的关系转化即可；(2)结合(1)的结论，设，利用点到直线的距离公式可得到的表达式，利用三角函数求最值即可得到的最小值，即的最小值，进而可以得到点的直角坐标．
【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），
消去，得，
由，
即，
，即，
的参数方程为（为参数）.
（2）设曲线上动点为Q，则点到直线的距离：
d=,
当时，即时，取得最小值，即的最小值为，
，.
【点睛】本题考查了直角坐标方程，参数方程，及极坐标方程间的转化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了利用三角函数求最值，属于基础题．
23．已知不等式的解集为 ．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，，求证：.
【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）根据，，进行分类讨论，求出不等式的解集，由此能求出a+b．
（2）由x＞0，y＞0，，知 ，由此利用作商法和基本不等式的性质能证明x+y≥9xy．
【详解】（Ⅰ）原不等式等价于或或，
解得或，即 ∴，，
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，且，，
∴ ，
当且仅当，时取“”,∴.
【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查了基本不等式求最值，运用了推理论证能力、运算求解能力，是中档题．
参加“强基培训”
不参加“强基培训”
男生
25
35
女生
5
25
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
0
1
2
3