2024届内蒙古锡林郭勒盟高三上学期第二次统一考试（12月月考）（全国乙卷）数学（文）试题含答案

这是一份2024届内蒙古锡林郭勒盟高三上学期第二次统一考试（12月月考）（全国乙卷）数学（文）试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若（是虚数单位），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据复数的运算法则求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：C
2．若全集，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据子集的定义结合补集运算即可判断.
【详解】因为，，
所以集合A不是集合B的子集，集合B不是集合A的子集，
又，且，所以.
故选：D
3．已知，则（ ）
A．1B．-2C．-1D．
【答案】B
【分析】利用两角差的正切公式展开计算即可.
【详解】因为，所以.
故选：B
4．造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，…，A10；B0，B1，.B10等标记来表示纸张的幅面规格，其中A系列的幅面规格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…如此对开至A8规格.若A4纸的面积为624cm2，则A8纸的面积为（ ）
A．39cm2B．78cm2C．4992cm2D．9984cm2
【答案】A
【分析】由条件可得纸张的面积分别为，为等比数列，并且公比为，利用等比数列求A8纸的面积.
【详解】设纸张的面积分别为，，则为等比数列，公比，
，解得：.
故选：A
5．如图，在中，是直角，的内切圆与分别切于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则至少满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】以为原点，所在的直线分别为的正半轴建立平面直角坐标系，求出内切圆的方程，根据点是图中阴影区域内的一点（不包含边界），得点应该在圆外可得答案.
【详解】以为原点，所在的直线分别为的正半轴建立平面直角坐标系，
则，可得，
设内切圆圆心为，内切圆的半径为，则，解得，
可得圆心，所以内切圆的方程为，
所以，
，
若点是图中阴影区域内的一点（不包含边界），则点应该在圆外，
所以至少满足.
故选：C.
6．已知抛物线第一象限上一点到其焦点的距离为10，则点的纵坐标为（ ）
A．B．4C．D．8
【答案】D
【分析】由抛物线定义先求出横坐标，再代入抛物线方程即可得纵坐标.
【详解】不妨设点，由题意抛物线的准线为，焦点为，
由题意并结合抛物线的定义可知点到其焦点的距离为，
解得，将其代入抛物线方程得，解得.
故选：D.
7．已知函数，在以下四个选项中，错误的选项是（ ）
A．
B．若关于的方程有两解，则
C．在R上是减函数
D．若，则
【答案】C
【分析】代入函数解析式求值判断A，由方程两解得两函数有两个交点，数形结合判断B，画出函数图象知单调性判断C，分段求值判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，正确；
对于B，若关于的方程有两解，则图象与图象有两个交点，
作出函数图象，如图：

由图知，，即，正确；
对于C，作出函数图象，如图：

由图知，函数在和上是减函数，但是函数在R上不是减函数，错误；
对于D，当时，，解得，不合题意，
当时，，解得，符合题意，
所以时，有，正确.
故选：C
8．已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角的大小为，则该四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】A
【分析】由题意画出图形，设点为底面正方形的中心，点为的中点，由题意，因此，由勾股定理可得，解直角三角形即可求解.
【详解】如图所示：
在正四棱锥中，设点为底面正方形的中心，
所以面，即为侧棱与底面所成的角，
又因为面，
所以，
设点为的中点，
所以，，，
所以，
又由以及三线合一可知，
且由题意侧面与底面所成角的大小为，面面，
所以即为侧面与底面所成的角，即，
在中，有，，，
所以，
在中，有，，
所以，
即正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为.
故选：A.
9．设是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ）
A．过且与平行的平面有且只有一个
B．过且与垂直的平面有且只有一个
C．过空间一点与均相交的直线有且只有一条
D．过空间一点与均平行的平面有且只有一个
【答案】A
【分析】根据平面性质、异面直线的定义逐项判断可得答案.
【详解】
对于A，过上一点作的平行直线，则与确定一平面，由平面，
平面，所以平面，故A正确；
对于B，设过的平面为，若平面，则，故若与不垂直，则不存在过的平面与垂直，故B错误；
对于C，当点与确定一个平面，且与平行时，如图，则过空间一点与均相交的直线不存在，故C错误；

对于D，当点与中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D错误.

故选：A.
10．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（素数即质数）猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数.则从不超过18的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得不超过18的素数有7个，满足题意的孪生素数对有3对，利用古典概型公式可得结果.
【详解】不超过18的素数有：2,3,5,7,11,13,17，共7个，
则从不超过18的素数中任取两个素数共有种，
不超过18的素数组成的孪生素数对为，，共有3组，
能够组成孪生素数的概率为.
故选：C.
11．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的奇偶性和单调性即可将不等式转化为对恒成立，根据恒成立问题求解即可.
【详解】解：的定义域为关于原点对称，
且，
为上的奇函数，
又，
而，
当且仅当，即时等号成立，
故恒成立，
故为上的增函数，
不等式对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
当时，不等式恒成立，
当时，则 ，
解得：，
综上所述：.
故选：D.
12．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道II绕月球飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为，圆形轨道III的半径为，则下列结论中正确的序号为（ ）

①轨道II的焦距为；
②若不变，越大，轨道II的短轴长越小；
③轨道II的长轴长为；
④若不变，越大，轨道II的离心率越大.
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为，然后结合圆的半径和，分别表示出焦距，短轴，长轴，离心率后逐一分析选项即可.
【详解】由已知得圆形轨道I的半径为，
设轨道II的方程为，则，
又因为圆形轨道III的半径为，则，
联立，解得，
所以轨道II的焦距为，故①正确；
又，
所以，
所以若不变，越大，轨道II的短轴长越大，故②不正确；
长轴，故③正确；
所以离心率，
若不变，越大，轨道II的离心率越大，故④正确.
故选：C.
二、填空题
13．的三内角所对边的长分别是，设向量，若向量与向量共线，则角 .
【答案】
【分析】利用向量共线的坐标运算得，然后利用余弦定理求解即可.
【详解】因为向量共线，
所以，即，
在中，由余弦定理得，，又，所以.
故答案为：.
14．已知一组数据为，若在这组数据中插入一个自然数使得这组新数据满足中位数是7且平均数大于7，则满足上述条件的最小自然数是 .
【答案】
【分析】根据条件进行推理确定a的位置和大小.
【详解】要使得中位数是7，a必须插在7的前面，即，
平均数为，
解得，a是满足上述条件的最小自然数，则.
故答案为：4.
15．已知直线与函数的图象相邻的三个交点依次为，则 .
【答案】
【分析】根据正弦函数的对称性得周期，利用周期公式直接计算即可.
【详解】因为直线与函数的图象相邻的三个交点依次为，
所以函数的相邻的两条对称轴分别为，，
所以函数的周期为，所以.
故答案为：
16．设函数在定义域上单调递减，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再结合基本不等式求最值即可得解.
【详解】函数定义域为，且，
依题意在上恒成立，
所以在上恒成立，所以，
因为，当且仅当即时，等号成立，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：
三、解答题
17．设公差不为0的等差数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和满足：，求数列的前项和.
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）由题意计算出等差数列的基本量即可.
（2）首先根据的关系式求出数列的通项公式，发现数列是“差比数列之积”的形式，所以采用等比公式法、错位相减法求和即可.
【详解】（1）设数列的公差为，
，
，
.
（2）当，
当时，，
当时，也满足，
所以，
①
②
由①-②得，
.
18．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱的中点．
（1）设经过、、三点的平面交于，证明：为的中点；
（2）若底面，且，求四面体的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连结，利用线面平行的判定定理证得平面，利用线面平行的性质定理可以证得，进而得到，即得为的中点；
（2）先利用线面垂直的判定定理证得平面.然后取中点，连，证明平面，找到四面体的高，利用体积公式计算即得解.
【详解】（1）
证明：连结.
因为底面为矩形，所以.
又平面，且平面，
所以平面.
又平面，且平面平面，
所以.
又因为，所以
因为为的中点，所以为的中点.
(2)
平面，平面，
，又，
平面.
取中点，连，
是中点，
，即且平面，
又的面积.
四面体的体积.
【点睛】方法点睛：求几何体的体积常用的方法有：（1）规则的公式法；（2）不规则的割补法；（3）等体积法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
19．2023年，在第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议上教育部关于考试招生制度改革情况的报告中提出：改革考试内容和形式，实现从“考知识”向“考能力素养”转变；探索拔尖创新人才超常规选鉴通道，设立清华大学数学科学领军人才培养计划､北京大学物理卓越人才培养计划等专项计划，推进拔尖创新人才选拔培养.为此，各地区高中积极推进“强基计划”的落实，“强基培训”成为学生们热爱的课程之一.某高中随机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否参加“强基培训”的情况，经统计，“强基培训”与性别情况如下表：（单位：人）
(1)根据表中数据并依据小概率值的独立性检验，分析参加“强基培训”与性别是否有关联？
(2)在本校被调研的90位考生中，先对多加“强基培训”的30人采用分层抽样的方法抽取6位同学，然后从这6名同学中选拔2人参加北京大学物理卓越人才培养计划专项计划的招生考试，求有女生参加北京大学物理卓越人才培养计划专项计划的招生考试的概率.
【答案】(1)有关联
(2)
【分析】（1）根据卡方计算公式运算，对比临界值即可求解.
（2）先根据分层抽样确定抽取的男同学人数和女同学人数，再列出所有的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即可求解.
【详解】（1）假设参加“强基培训”与性别无关联，
由题意，，
依据小概率值的独立性检验，可推断假设不成立，即认为参加“强基培训”与性别有关联.
（2）由题知，在本校被调研的90位考生中，
先对参加“强基培训”的30人采用分层抽样的方法抽取6位同学，其中有5位男同学，一名女同学.
5位男同学分别记为：；一名女同学记为：.
从中抽取2名同学共有：，，
种方法，
其中抽到女生的方法有，G）共5种.
有女生参加北京大学物理卓越人才培养计划专项计划的招生考试的概率为，则.
20． 设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为B.已知（为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.
【答案】（I）；（II）.
【分析】（I）根据题意得到，结合椭圆中的关系，得到，化简得出，从而求得其离心率；
（II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得，从而得到椭圆的方程.
【详解】（I）解：设椭圆的半焦距为，由已知有，
又由，消去得，解得，
所以，椭圆的离心率为.
（II）解：由（I）知，，故椭圆方程为，
由题意，，则直线的方程为，
点的坐标满足，消去并化简，得到，
解得，
代入到的方程，解得，
因为点在轴的上方，所以，
由圆心在直线上，可设，因为，
且由（I）知，故，解得，
因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，
又由圆与相切，得，解得，
所以椭圆的方程为：.
【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.
21．已知函数，其中．
(1)若有两个零点，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由题可得方程有两个解，然后构造函数利用导数研究函数的性质进而即得；
（2）由题知恒成立，进而转化为证明当时，然后利用二次函数的性质结合条件可得只需证明即可，再构造函数利用导数证明不等式即得.
【详解】（1）由有两个零点，得方程有两个解，
设，则，
由，可得，单调递增，由，可得，单调递减，
所以的最大值为，当时，当时，，
所以可得函数的大致图象，
所以，解得，
所以，有两个零点时，的取值范围是；
（2）设，即，则恒成立，
由，，可得，
下面证明当时，，即证，
令，则证，，
令为开口向上的二次函数，对称轴为，
由（1）可知，故在时单调递增，
则，
下面只需证明即可，即证，
令，则，
令，则，
所以函数单调递减，且，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，从而不等式得证，
综上，的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程，曲线的参数方程；
（2）若分别为曲线，上的动点，求的最小值，并求取得最小值时，点的直角坐标.
【答案】(1) ,的参数方程为（为参数）. (2)
【分析】(1)由参数方程、普通直角坐标方程及极坐标方程间的关系转化即可；(2)结合(1)的结论，设，利用点到直线的距离公式可得到的表达式，利用三角函数求最值即可得到的最小值，即的最小值，进而可以得到点的直角坐标．
【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），
消去，得，
由，
即，
，即，
的参数方程为（为参数）.
（2）设曲线上动点为Q，则点到直线的距离：
d=,
当时，即时，取得最小值，即的最小值为，
，.
【点睛】本题考查了直角坐标方程，参数方程，及极坐标方程间的转化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了利用三角函数求最值，属于基础题．
23．已知不等式的解集为 ．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，，求证：.
【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）根据，，进行分类讨论，求出不等式的解集，由此能求出a+b．
（2）由x＞0，y＞0，，知 ，由此利用作商法和基本不等式的性质能证明x+y≥9xy．
【详解】（Ⅰ）原不等式等价于或或，
解得或，即 ∴，，
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，且，，
∴ ，
当且仅当，时取“”,∴.
【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查了基本不等式求最值，运用了推理论证能力、运算求解能力，是中档题．
参加“强基培训”
不参加“强基培训”
男生
25
35
女生
5
25
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879