2024届四川省绵阳市江油市太白中学高三上学期12月月考数学（理）试题含答案

这是一份2024届四川省绵阳市江油市太白中学高三上学期12月月考数学（理）试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则等于（ ）
A．(-1，1]B．C．[3，4)D．
【答案】C
【分析】先解出集合A、B，再求.
【详解】由题意，集合，
又因为集合，
所以.
故选：C.
2．若复数z满足，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据复数的运算法则求得复数，再求其共轭复数即可.
【详解】因为，故.
故选：C．
3．已知命题，命题函数的定义域是，则以下为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】推导出命题是真命题，命题是假命题，从而是假命题，是真命题，是假命题，是假命题．
【详解】因为命题是真命题，
因为函数的定义域为，所以命题函数的定义域是是假命题，
所以在A中，是假命题，故A错误；
在B中，是真命题，故B正确；
在C中，是假命题，故C错误；
在D中，是假命题，故D错误．
故选：B．
4．函数，则的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】判断奇偶性，再利用函数值的正负排除三个错误选项，得正确结论．
【详解】，为偶函数，排除BC，
又时，，时，，排除A，
故选：D．
5．设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】当时，可得，但此时数列不单调，根据数列的单调性，结合充分、必要条件的判定方法，即可得答案.
【详解】当时，，虽然有，但是数列为摆动数列，并不是递增数列，所以不充分；
反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，
故选：B．
【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，数列的单调性，着重考查推理分析的能力，属基础题.
6．如图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果表示（ ）
A．的值B．的值
C．的值D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行输出的结果是什么.
【详解】模拟程序框图的运行过程，如下：
输入，
，是，
，是，
，，是，
否，
输出.
故选：C.
7．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：）
A．3.1419B．3.1417C．3.1415D．3.1413
【答案】A
【解析】先设圆的半径为，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果.
【详解】设圆的半径为，则圆的面积为，正六边形的面积为，因而所求该实验的概率为，则.
故选A
【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.
8．天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用频率和概率的关系得到答案.
【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个，
故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为.
故选：B
9．某产品近期销售情况如下表：
根据上表可得回归方程为，据此估计，该公司8月份该产品的销售额为
A．19.05B．19.25C．19.5D．19.8
【答案】D
【分析】由已知表格中的数据求得,代入线性回归方程求得,再在回归方程中取求得值即可.
【详解】,
,得，
，
取，得，故选D.
【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，明确线性回归方程恒过样本中心点是关键，属于基础题.
10．如图，为了测量两个信号塔塔尖之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点与（在同一铅垂平面内）．已知在点处测得点的仰角为，点的仰角为，在点处测得点的仰角为，点的仰角为，且米，则（ ）
A．米B．400米C．米D．米
【答案】D
【分析】将实际问题抽象出几何图形，在多个三角形中解三角形，从而得出实际问题的解.
【详解】如图，过作，垂足为，过作，垂足为.
由题意可知，，
,
在中，,即，
;
在中，,且,
由正弦定理得，,即，即，
在中，,且，
由余弦定理得，解得，
故选：D.
11．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意观察式子特征可知对二项式两边同时求导，并由赋值法即可求得结果.
【详解】根据题意，对原式两边求导可得：
，
令，可得.
故选：C．
12．已知函数的定义域为，，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
【答案】D
【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
【详解】因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
故选：D.
【点睛】方法点睛：对于形如类的抽象函数，常用赋值法解决问题.
二、填空题
13．已知向量，，且，则 ．
【答案】
【分析】由向量平行,可得的坐标形式，之后可得答案.
【详解】由题，因，则，解得，则.
得.
故答案为:
14．若，α是第三象限角，则 ．
【答案】
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得，再把所求的式子切化弦，利用二倍角公式，求得结果．
【详解】解：因为，且是第三象限角，，
则，
故答案为：．
15．接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法．我国自年月日起实施全民免费接种新冠疫苗．截止到年月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者任选其中一种．若人去接种新冠疫苗，恰有人接种同一种疫苗的概率为 ．
【答案】
【分析】计算出人去接种新冠疫苗的不同结果数，以及恰有人接种同一种疫苗的不同结果数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题意，每位接种者等可能地从种任选一种接种，
由分步乘法计算原理知，共有不同的结果，
恰有人接种同一种疫苗，可先从5人中任选3人并成一组，有种结果，
这个小团体有种疫苗可选，另外两人各有种疫苗可选，故共有种，
故恰有三人接种同一种疫苗共有种不同结果，
由古典概型概率计算公式得：．
故答案为：.
16．若直线与函数的图象相切，则 .
【答案】1
【分析】利用导数的几何意义即可求得答案.
【详解】由题意，可得，
因为直线与函数的图象相切，故设切点为，
则，故，则，
故，
故答案为：1
三、解答题
17．人工智能（AI）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（AI）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在该知识竞赛中的情况，现采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示．将分数不低于850分的学生称为“最佳选手”．

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生分数的中位数；
(2)现采用分层抽样的方法从分数落在，内的两组学生中抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“最佳选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)，670
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）根据频率之和为求得，根据中位数的求法求得中位数.
（2）根据超几何分布的知识求得分布列，进而求得数学期望.
【详解】（1）由题意知，
解得，
分数段对应的频率为0.1，对应的频率为0.35，对应的频率为0.25，
设中位数为x，则．
由，解得．
（2）由题意知从分数段对应的学生中抽取5人，
从对应的学生中抽取2人，随机变量的所有可能取值为0，1，2．
则，
，
，
随机变量X的分布列为
所以．
18．已知的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)在中，角，，所对的边分别是为，，，若，求角的大小以及的取值范围．
【答案】(1) ;(2) ,.
【详解】 试题分析：（1） 根据三角恒等变换的公式，得，根据周期，得，即，即可求解的值；
（2）根据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简，可得，可得，进而求得，即可求解的取值范围.
试题解析：
(1)∵
，由函数的最小正周期为，即，得，∴，∴ ．
（2）∵，∴由正弦定理可得 ，∴ ．∵，∴．∵，．∵，∴，∴，∴，∴．
19．的内角的对边分别为，，，已知，是边上一点，，.
(1)求；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用余弦的倍角公式和正弦定理进行化简，得到，即可求出结果；
（2）根据条件，先利用向量的运算得到，再利用余弦定理得到，再利用重要不等式即可求出结果.
【详解】（1）由，得到，
即，由正弦定理可得，
又，所以，
化简整理得：，又，，
；
（2）因为，
所以，
又，所以，
.
又，所以
，
整理得，，即，
所以，即，
又，当且仅当时，取等号，
所以，即，
所以，，故，得到，
即，即的最大值为.
20．记等差数列的前项和为，已知，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出公差，排除不合要求的结果，得到通项公式；
（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1）设数列的公差为，
由，得．
因为，
所以，
整理得，
所以，即，
解得或．
当时，，所以，符合题意；
当时，，所以，不符合题意，舍去，
所以．
（2）由（1）知，则，
所以，
则，
两式相减，得
令，
则，
两式相减，得，
所以，
所以，
所以．
21．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若曲线在上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的极值.
（1）曲线在上任意一点处切线的倾斜角均为钝角即为对任意的恒成立，参变分离后可求参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
故，
当时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取极小值且极小值为.
（2）因为，所以，
因为曲线在上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，
故对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
当时，，此时，
当时，即对任意恒成立，
设，
则，
故在上为增函数，故，故，即；
当时，即对任意恒成立，
同理有在上为增函数，故，
故，即，
综上，.
【点睛】思路点睛：含参数的不等式的恒成立问题，可以通过对原函数的分类讨论求出参数的取值范围，也可以通过参变分离后结合导数求出新函数的值域或范围，从而得到参数的取值范围.
22．已知曲线C的参数方程为（为参数），直线l的倾斜角为，且过点．
(1)求曲线C的普通方程与直线l的参数方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的倾斜角．
【答案】(1)，（为参数）；
(2)或
【分析】（1）将曲线C利用参数方程转普通方程，根据直线l的倾斜角与过定点写出参数方程即可.
（2）将直线的参数方程代入，设，两点所对的参数为，利用韦达定理代入中，化简即可求解.
【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），得，
，，即.
因为直线l的倾斜角为，且过点，所以直线l的参数方程（为参数），
（2）将直线的参数方程代入，
可得，即，
设，两点所对的参数为，，
一正一负，
，而，，
，，，
解得，为直线的倾斜角，，
，或，
直线的倾斜角为或.
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设的最小为m，若正实数a，b，c满足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】(1)通过讨论，化简绝对值不等式求其解；(2)根据(1)求出，再利用基本不等式求的最小值.
【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得；
当时，原不等式等价于，解得；
当时，原不等式等价于，解得．
综上所述，原不等式的解集是．
（2）因为，
所以，
则．
因为，，，
所以，
即，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为8．
月份
2
3
4
5
6
销售额（万元）
15.1
16.3
17.0
17.2
18.4
0
1
2