2024届天津市静海区第一中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届天津市静海区第一中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据交集、补集的定义可求.
【详解】由题设可得，故，
故选：B.
2．设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】由等比数列的通项公式可得，，
当且时，则，且单调递减，则是递减数列，故充分性满足；
当是递减数列，可得或，故必要性不满足；
所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件.
故选：A
3．函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.
【详解】方法一：因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除；
当时，，即，因此，故排除A.
故选:D.
方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
又，所以排除A.
故选：D.
4．设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.
【详解】，而，则，即，
所以.
故选：B
5．已知，则的值为（ ）
A．1B．0C．D．2
【答案】C
【分析】利用指数与对数互化的公式表示出，再利用换底公式和对数的运算性质化简计算.
【详解】因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得.
故选：C
6．若三棱锥中，已知底面，，，若该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设知三棱锥是相应正六棱柱内的一个三棱锥，由此知该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，求出正六棱柱的外接球半径即可得．
【详解】三棱锥中，已知底面，，，
故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，
所以外接球的直径，则，
所以该球的表面积为．
故选：C．

7．已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象可由的图象上所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到
D．函数的图象可由的图象上所有点向左平移个单位得到
【答案】B
【分析】首先化简函数，再根据三角函数的性质，求最小正周期判断A，整体代入法判断对称中心判断B，利用函数图象变换法则即可判断CD.
【详解】，
所以函数的最小正周期，故A正确；
当时，，
所以不是函数的一个对称中心，故B错误；
由的图象上所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到，
故C正确；
将的图象上所有点向左平移个单位得到，故D正确.
故选：B
8．已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】C
【分析】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，运用双曲线的定义和条件可得，，，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【详解】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，
由双曲线的定义可得，
由，可得，，，
由可得，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
即有，化简可得，
所以双曲线的离心率．
故选：C．
9．设，函数，若在区间内恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解法一：利用排除法，分别令和求解函数的零点进行判断，
解法二：分类讨论，分在区间有个零点且在区间没有零点，在区间有个零点且在区间有个零点和在区间有个零点且在区间有个零点三种情况求解即可
【详解】法一（排除法）：令，则，当时，在区间有个零点，当时，，，在区间有个零点，综上所述，在区间内有个零点，符合题意，排除A､C.
令，则，当时，在区间有个零点，当时，，，在区间有个零点，综上所述，在区间内有个零点，符合题意，排除B，故选D.
法二（分类讨论）：①当在区间有个零点且在区间没有零点时，满足，无解；
②当在区间有个零点且在区间有个零点时，满足，解得；
③当在区间有个零点且在区间有个零点时，满足，解得，
综上所述，的取值范围是，
故选：D.
二、填空题
10．已知复数是纯虚数，则实数 .
【答案】1
【分析】由复数的除法运算、纯虚数的概念即可求得参数.
【详解】由题意，
由题意复数是纯虚数，则且，解得.
故答案为：1.
11．抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为 .
【答案】2
【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦的中点到准线的距离，最后求出弦的中点的横坐标.
【详解】抛物线的准线的方程为：，焦点为,分别过，
作，垂足为，在直角梯形中，，
由抛物线的定义可知：，因此有，
所以点的横坐标为.
故答案为：2.
12．已知圆截直线所得弦长是，则的值为 ．
【答案】2
【解析】化圆的方程为标准方程，可得圆心和半径，求得圆心到直线的距离d，代入弦长公式，即可求得答案.
【详解】圆可变形为：，
所以圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，
根据弦长公式可得，
因为，解得.
故答案为：2
13．设数列 的通项公式为，其前项和为，则
【答案】20
【分析】先由的周期性及函数值特点，分析数列的特点；再根据这个特点求解即可.
【详解】由可得：周期为，，，，.
因为，
所以
，
所以数列的前项和具有周期为的周期性，且这样一个周期内的和为 4 ，
所以.
故答案为：20
14．已知，，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，，
所以，当且仅当时取等号，即时，有最小值，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用等式把代数式变形为.
15．如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为1，设，则 ；是平面图形边上的动点，则的取值范围是 .
【答案】 1
【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，根据三点共线，得到，设，求得，令，转化为求该直线在轴上截距的取值范围，得到目标函数的最优解，代入即可求解.
【详解】以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
因为三点共线，且，所以，
由正六边形的内角均为，且边长为，可得，
设，可得，
则，
令，则，
当该直线经过点时，截距最大，对应的最大，此时最大值为，
当该直线经过点时，截距最小，对应的最小，此时的最小值为，
所以.
故答案为：；.
三、解答题
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，的面积为.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】(1)已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a；
(2)由余弦定理求出b，再根据正弦定理即可求出sinA；
(3)根据sinA求出csA，再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值.
【详解】（1）∵，∴由正弦定理得，
又的面积为，∴，解得，
∴；
（2）由余弦定理有，∴.
由正弦定理.
（3）∵B＝150°，∴A＜90°，∴由sinA＝得，，
∴，.
∴.
17．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，是棱PD的中点，且，．
（I）求证：； （Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）若是上一点，且直线与平面成角的正弦值为，求的值．
【答案】（I）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）1．
【详解】试题分析：(I)，，所以平面PAC；(II)建立空间直角坐标系，求出两个法向量，平面MAB的法向量，是平面ABC的一个法向量，求出二面角；(III)设，平面MAB的法向量，解得答案．
试题解析：
证明：(I)连结AC．因为为在中，
，，
所以，所以．
因为AB//CD，所以．
又因为地面ABCD，所以．因为，
所以平面PAC．
(II)如图建立空间直角坐标系，则．
因为M是棱PD的中点，所以．
所以，． 设为平面MAB的法向量，
所以，即，令，则，
所以平面MAB的法向量．因为平面ABCD，
所以是平面ABC的一个法向量．
所以．因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为．
(III)因为N是棱AB上一点，所以设，．
设直线CN与平面MAB所成角为，
因为平面MAB的法向量，
所以．
解得，即，，所以．
18．设椭圆的右焦点为F，左右顶点分别为A，B．已知椭圆的离心率为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知P为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交y轴于点Q，若四边形的面积是三角形面积的3倍，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知线段长度与离心率，求解出的值，然后根据求解出的值，则椭圆方程可求；
（2）根据条件将问题转化为三角形与三角形的面积比，由此得到关于的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值得的坐标，则可求直线方程.
【详解】（1）因为，，，所以，
所以，所以，
所以椭圆方程为；
（2）如图，因为四边形与三角形的面积之比为，
所以三角形与三角形的面积比为，
所以，所以，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，
联立，所以，
所以，，
所以，解得，
当时，，
当时，，
故直线的方程为.
19．已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列和的通项公式.
(2)记，求数列的前项和.
(3)记，求.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）首先根据与的关系得到，再根据等比数列的性质即可得到；
（2）利用裂项相消法即可得结果；
（3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果.
【详解】（1）当时，，解得.
当时，，
所以，
即是以首先，公比为的等比数列，即.
因为，成等比数列，
所以，即，解得.
所以.
（2）由（1）得
，
则
（3），
因为，
设，前项和为，
则，
，
.
所以
20．已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，证明：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出，利用导数几何意义结合点斜式方程即可求出切线方程；
（2）求出导函数，按照和分类讨论研究函数的单调性即可；
（3）把原不等式作差变形得，结合，把不等式证明转化为问题，构造函数，求导，利用函数的单调性求得最值即可证明.
【详解】（1）当时，，，所以，
又，由导数的几何意义知，
曲线在点处的切线方程为，即.
（2）因为，所以，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得，
函数在区间上单调递增，
由，得，
函数在区间上单调递减.
（3）要证，
即证，
即证，
设，则
故在上单调递增，又，所以，
又因为，所以，
所以，
①当时，因为，所以；
②当时，令，则，
设，则，设，
则，因为，所以，
所以即在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，，
即.
综上可知，当时，，
即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的常见形式是，一般可构造“左减右”的函数，即先将不等式移项，构造函数，转化为证不等式，进而转化为证明，因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可.