2023-2024学年湖南省衡阳市第八中学高三上学期第五次月考数学试题含答案

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总分：150分 考试时间：120分钟；
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.
1. 如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则|z1＋z2|＝( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
2. 函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知圆为的外接圆，，，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
4. 直线、是异面直线，、是平面，若，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 至少与、中的一条相交B. 至多与、中的一条相交
C. 与、都相交D. 与、都不相交
5. 已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
①“”是“”的充要条件；
②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件．
A. ①真命题；②假命题B. ①假命题；②真命题
C. ①真命题；②真命题D. ①假命题；②假命题
7. 已知是定义在上的单调函数，满足，且.若，则与的关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 数列是递增数列D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 单位向量与的夹角为锐角，则的取值可能为（ ）
A B. C. D.
10. 中，内角A，B的对边分别为a，b，则下列能成为“”的充要条件的有（ ）
A. B. C. D.
11. 若将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为B. 在区间上单调递减
C. 是函数图象的一个对称轴D. 的图象关于点对称
12. 商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从，两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，为止，下列说法正确的是（ ）

A. 甲从必须经过到达的方法数共有9种
B. 甲从到的方法数共有180种
C. 甲、乙两人在处相遇的概率为
D. 甲、乙两人相遇的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 二项式的展开式的中间项系数为 _____．
14. 记函数在处的导数为，则________．
15. 设是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上一个动点，且的取值范围为，则椭C的长轴长为______．
16. 已知是单位向量，向量满足，且，其中，且．则下列结论中，正确结论的序号是___________．
①；
②；
③存在x，y，使得；
④当取最小值时，．
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求值.
18. 已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前10项和．
19. 某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向，两个目标投掷，先向目标掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标概率为，套中目标的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为．
（1）求小明恰好套中2次的概率；
（2）求的分布列及数学期望．
20. 如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面且．
（1）证明：平面.
（2）求平面与平面的夹角的大小．
21. 已知抛物线的焦点为，点在上，且的最小值为1.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，过点的直线与相交于，两点，且，不重合，判断直线是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
22 设.
（1）讨论的单调性；
（2）设，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.