2023-2024学年百师联考高三上学期一轮复习联考（四）数学含答案

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1．A 【解析】．故选A．
2．B 【解析】．故选B．
3．C 【解析】．故选C．
4．C 【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以两圆的圆心距为，两圆内含时，即，解得，所以当两圆有公切线时，或，所以“或”是“圆与圆存在公切线”的充要条件．故选C．
5．D 【解析】由题意得．故选D．
6．D 【解析】作的中点，连接．，则或其补角（为钝角时）的余弦值即为所求．，则异面直线与的夹角的余弦值为．故选D．
7．A 【解析】由题意得为偶函数且在上单调递增，又，．故选A．
8．B 【解析】因为函数在上有两个极值点，所以在上有两个变号零点，．令，，令，得，令，得在上递增，在上递减．．故选B．
9．AC 【解析】A选项，时，曲线为，曲线的离心率为，故A选项正确；B选项，时，曲线为，则曲线的渐近线方程为，故B选项错误；C选项，若曲线是双曲线，则，则曲线的焦点一定在轴上，故C选项正确；D选项，若曲线是圆，则，即，令，则的最大值为，故D选项错误．故选AC．
10．BCD 【解析】，，，故A错误，BCD正确．故选BCD．
11．ACD 【解析】A选项，，故A正确；B选项，，故B错误；C选项，设，由，可得，因为为的外心，所以，故，由已知，，所以，所以，由球的截面性质可得平面，所以三棱锥的体积，故C正确；D选项，设，令，则，令当时，的最大值为，故D正确．故选ACD．
12．ABD 【解析】的定义域为，则，故切线方程为，即，故A正确．由得，在区间单调递减，在区间单调递增，所以，故B正确，C错误．恒成立，其中，所以，记，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，则实数的取值范围为，D正确．故选ABD．
13． 【解析】，，．
14． 【解析】由，得，因为解得，又，由余弦定理得，解得．
15． 【解析】（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），故的最小值为．
16． 【解析】因为为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为，则，由椭圆的定义，得，所以为射线与椭圆交点时，取最小值，因为直线方程为，设，联立消去得或（舍）．
17．解：（1）
，
的最小正周期为．
令，
得，
化简得，
的单调减区间为．
（2），
．
令，则，
，
，
在上的值域为．
18．解：（1）当时，
，
，
，
．
当时，
．
经检验，当时，满足上式，
．
（2）
设的前10项和为，
．
19．解：（1）在中，，
，
，
，
．
在中，，
，
．
另解：，
，
．
（2）在中，，
，
，当且仅当时，等号成立．
，
的最大值为．
，
的最大值为．
20．（1）证明：连接交于点，连接，延长与延长线交于点．
因为，所以，所以，所以，则．
又因为，所以为的中位线，则．
因为平面平面，所以平面．
（2）解：因为，所以．
如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
则．
设为平面的一个法向量，
则即令，解得．
又平面的一个法向量，
设所求夹角为，则．
21．（1）解：由题意得的方程为．又，
不妨设，代入抛物线，解得．
（2）证明：①当直线中有一条直线斜率存在时，
不妨设直线的斜率不存在，则，此时直线的斜率为0．
，．
②当直线斜率均存在时，
记直线斜率为，直线斜率为到直线的距离为，到直线的距离为，
设，则，
．
由得，则，
．
因为，同理，
，则．
22．（1）解：令，得，令，则，
令，得，令，得．则在单调递增，在单调递减．
当时，，当时，，
若要与有两个交点，则．
（2）证明：易知，令．
设，
令，则在上单调递减，且，则存在唯一的，使在单调递增，在单调递减．
又，则在上，即在上恒成立．
设，则，
令，则，则在上单调递减，在上单调递增，则，
则，则在上单调递增，又，所以，即在上恒成立．
令得到，由且在上单调递增，则；
令得到，由且在上单调递减，则．
则．