2024届海南省高三上学期一轮复习调研考试（12月联考）数学试题含答案

这是一份2024届海南省高三上学期一轮复习调研考试（12月联考）数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
2．三沙市，海南省南部.根据所给信息可得“小张在海南省”是“小张在三沙市”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据必要不充分条件的概念可得结论.
【详解】若小张在海南省，则小张未必在三沙市.若小张在三沙市，则小张必在海南省.
故“小张在海南省”是“小张在三沙市”的必要不充分条件，
故选：C.
3．若某等差数列的前3项和为27，且第3项为5，则该等差数列的公差为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】B
【分析】由等差数列的性质求解即可.
【详解】设该等差数列为，则，则，
所以公差.
故选：B.
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数的定义域，奇偶性可排除C，D；再求的值，可排除A，即可得出答案.
【详解】的定义域为，排除选项D.
因为，
所以为奇函数，排除选项C.
因为，所以排除选项A.
故选：B.
5．若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【分析】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，再根据圆的面积公式，结合球内的垂径定理列式求解即可.
【详解】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，则，，则，.
设球的半径为，球心到平面的距离为，则，所以.
故选：A
6．已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据题意可得或的解集，再分和两种情况求不等式的解集.
【详解】由题意可知，当时，，当时，，
当或时，，
当时，，则，由已知可得，解得，又，所以；
当时，，则，
由已知可得或，解得或，又，所以.
综上，可得不等式的解集为.
故选：A
7．如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可.
【详解】因为分别为的中点，所以.
因为为的重心，所以，
所以.
故选：B.
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，构造函数，利用导数得出函数单调性即可得解.
【详解】由，，，
设函数，则，
当时，，单调递减，
因为，
所以，所以.
故选：A
二、多选题
9．已知复数，，，则（ ）
A．B．的实部依次成等比数列
C．D．的虚部依次成等差数列
【答案】ABC
【分析】由题意由复数乘除法分别将化简，再由复数加法、共轭复数的概念即可判断A；复数的实部、虚部以及等差数列、等比数列的概念即可判断BD，由复数模的运算即可判断C.
【详解】因为，，所以，所以，故A正确；
因为，，的实部分别为1，3，9，所以，，的实部依次成等比数列，故B正确；
因为，，的虚部分别为，，1，所以，，的虚部依次不成等差数列，故D错误；
，故C正确.
故选：ABC.
10．若函数则（ ）
A．的最小正周期为10B．的图象关于点对称
C．在上有最小值D．的图象关于直线对称
【答案】AD
【分析】由正弦型函数的周期公式可求A，通过代入求值的方法可判断BD选项，利用正弦函数的图象与性质可判断C.
【详解】，A正确.
因为，所以的图象不关于点对称，B错误.
因为，所以的图象关于直线对称，D正确.
若，则，由的图象可知，
在上有最大值，没有最小值，C错误.
故选：AD.
11．在正四棱台中，，，则（ ）
A．该正四棱台的体积为
B．直线与底面所成的角为60°
C．线段的长为
D．以为球心，且表面积为的球与底面相切
【答案】BCD
【分析】由台体的公式可判断A；求出直线与底面所成的角可判断B；求出线段的长可判断C；求出以为球心，且表面积为的球的半径可判断D.
【详解】连接，，过作，垂足为.
因为，，所以，，
所以，，
所以该正四棱台的体积，A错误.
直线与底面所成的角为，由，所以，B正确.
，C正确.
设以为球心，且表面积为的球的半径为，则，解得，
所以以为球心，且表面积为的球与底面相切，D正确.
故选：BCD.
12．已知函数，，若关于的方程有3个实数解，，，且，则（ ）
A．的最小值为4B．的取值范围是
C．的取值范围是D．的最小值是13
【答案】BCD
【分析】作出函数的图象，即可根据对数的运算可得，，结合函数图象以及基本不等式即可求解ABC，利用导数求解函数的单调性，即可求解D.
【详解】作出的大致图象，如图所示.
，其中，所以，
则，，.所以，
当且仅当，即时，等号成立，但，A错误.
当时，是偶函数，则，
所以，，B，C均正确.
因为，所以.
设函数，则，
当时，，当时，，所以，D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．向量在向量上的投影向量为，则 .
【答案】2
【分析】根据投影向量的定义即可求得答案.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以.
故答案为：2
14．数列是单调递 （填“增”或“减”）数列，该数列的前项和为 .
【答案】 减
【分析】由指数函数的性质可判断数列的单调性，再利用等比数列的前n项和公式求解即可.
【详解】因为是单调递增数列，所以是单调递减数列.
该数列的前项和.
故答案为：减；.
15．烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 .
【答案】
【分析】根据公式和已知条件直接求解即可
【详解】因为水的初始温度为，所以，解得，所以，
则，所以加热到第时，水温的瞬时变化率是.
故答案为：
16．的值为 .
【答案】
【分析】根据两角差的正切公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识求得正确答案.
【详解】
，
所以.
故答案为：
四、解答题
17．已知函数（且，为常数）的图象经过点，.
(1)求的值；
(2)设函数，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.
【详解】（1）因为的图象经过点，，
所以，两式相减得，
又且，解得或（舍去），则.
（2）由（1）得，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，
，
故在上的值域为.
18．的内角所对的边分别为，且，
(1)求角；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化，结合同角关系即可求解，
（2）根据余弦定理，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）由及正弦定理，可得.
因为，所以.
又，所以，则，
又，所以.
（2）由余弦定理得，
当，时，取得最小值，所以的最小值为.
19．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，D，E分别为，的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直即可求证线面垂直，进而可证明面面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解角.
【详解】（1）证明：因为，，，所以，所以.
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）取的中点，连接.
由于，所以，
因为平面平面，且平面平面，平面，
故平面，
以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，其中轴与平行，则，，，，，.
设平面的法向量为，，，
则令，得.
设平面的法向量为，，
则令，得.
因为，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
20．已知为等比数列的前项和，，且，.
(1)若为等差数列，求数列的通项公式；
(2)若为等比数列，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设的公比为，由已知条件求出或2，再由为等差数列，得，根据等差数列通项公式即得.
（2）利用错位相减求和即可.
【详解】（1）设的公比为，则，
，①
由，即，
得，得，
即，解得或2.
将代入①，得，不符合条件；
将代入①，得，且，
所以为等差数列，所以.
（2）由（1）可知，，得，
若为等比数列，则，
由，
得，
则，
故.
21．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程，
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导解得，然后求得切线方程；
（2）结合函数导数研究函数的单调性，从而求得函数的最小值；
【详解】（1），，.
故曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）得.
令函数，则，所以是增函数.
，，
所以存在，使得，即.
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
.
因为，所以，
所以.
故.
22．已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若，证明：当，且时，恒成立.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，，利用导数的符号解决函数的单调性问题；
（2）由的导函数的导函数，当，且时，，得在上单调递增，令函数，当时，令，，所以在上单调递增，得出在上单调递增，进而得出，整理可得证.
【详解】（1）当时，.
当时，；当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
所以在处取得极小值，且极小值为无极大值.
（2）设
的导函数 ，令 ，的导函数.
当，且时，，
所以在上单调递增，所以，
当且仅当时，等号成立.
令函数，，
令
则.
当时，，所以在上单调递增，
则，所以在上单调递增，
则，即，
因为，所以，
又，所以.
【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域