2024届河北省沧州市高三上学期12月联考数学试题含答案

这是一份2024届河北省沧州市高三上学期12月联考数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得或，
所以，
则，又，
所以.
故选：C
2．若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】写出复数的实部与虚部，再判断其正负，再结合复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，实部为，虚部为，
因为，所以，，
所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限.
故选：D
3．已知是等比数列的公比，则“”是“数列是递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】结合等比数列的通项公式，举反例即可判断其充分必要性，从而得解.
【详解】对于等比数列，
当时，取，则，
此时是摇摆数列，即充分性不成立；
当是递减数列时，取，则，
显然满足条件，但不成立，即必要性不成立；
综上，“”是“数列是递减数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4．2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（ ）
A．18B．24C．36D．48
【答案】B
【分析】分第一棒为丙、第一棒为甲或乙两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】当第一棒为丙时，排列方案有种；
当第一棒为甲或乙时，排列方案有种；
故不同的传递方案有种.
故选：B
5．已知体积为1的正四棱台上、下底面的边长分别为，若棱台的高为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由棱台的体积公式及立方差公式计算可得.
【详解】由题意，正四棱台的体积，
所以.
故选：A
6．已知定义域为的函数满足，，当时，，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】依题意可得为奇函数，再由，推出是周期为的周期函数，由求出的值，最后根据周期性计算可得.
【详解】因为定义域为的函数满足，则为奇函数，
又，所以，
所以，则是周期为的周期函数，
又因为，即，
又当时，，所以，解得，
所以，
所以.
故选：A
7．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.
【详解】因为，
所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图，
又，所以为等边三角形，
则，故，
所以向量在向量上的投影向量为
．
故选：B．
8．已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为，过且与平行的直线与双曲线及直线依次交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不妨设为，求出过且与平行的直线方程，联立求出点坐标，再求出点坐标，根据在双曲线上代入求出.
【详解】由题意知，渐近线方程为，不妨设为，
则过且与平行的直线方程为，
由，解得，则，
由、、三点共线且，则，
设，则，，
所以，即，解得，
即，
又点在双曲线上，所以，化简得，解得或（舍去）.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题的关键是表示出、点的坐标，从而求出双曲线的离心率.
二、多选题
9．下列不等关系成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可.
【详解】对于A：当时，，故A错误；
对于B：因为，则，又，即，所以，故B正确；
对于C：因为，则，又，即，所以，
所以，故C正确；
对于D：如，，满足，，但是，故D错误；
故选：BC
10．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．直线到平面的距离为2
C．点到直线的距离为D．平面截正方体的截面的面积为
【答案】ABD
【分析】依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】依题意，建立空间直角坐标系，如图，
，
对于A，，
则，故A正确；
对于B，易得平面的法向量为，而，
所以，又平面，所以平面，
所以点到平面的距离即直线到平面的距离，即，故B正确；
对于C，，，
所以，
则点到直线的距离为，故C错误；
对于D，记的中点为，连接，则，
所以，显然，即，
所以四点共面，即平行四边形为平面截正方体的截面，
由勾股定理易得，故平行四边形是菱形，
又，所以，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11．为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）的数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．
下列推断正确的是（ ）
A．这200名学生阅读量的平均数大于25本
B．这200名学生阅读量的中位数一定在区间内
C．这200名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内
D．这200名学生中的初中生阅读量的分位数一定在区间内
【答案】AB
【分析】根据统计图表数据一一分析即可.
【详解】对于A：由表中数据可知，男生的平均阅读量为本，女生的平均阅读量为本，
男生人，女生人，这200名学生阅读量的平均数为，故A正确；
对于B：由于，阅读量在内有人，在内有人，在内有人，
所以这200名学生阅读量的中位数一定在区间内，故B正确；
对于C：设在区间内的初中生有人，由于在内有人，
故且，，
而，
即这200名学生中的初中生阅读量的分位数不可能在区间内，故C错误；
对于D：当时，初中生共有人，
，故分位数为第个与第个的平均数，因此在区间内，
当时，初中生共有人，
，故分位数为第个数，因此在区间内，故D错误；
故选：AB
12．已知圆与圆的公共弦长为，直线与圆相切于点为上一点，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．点的轨迹方程是
C．直线截圆所得弦的最大值为
D．设圆与圆交于两点，则的最大值为
【答案】BC
【分析】两圆方程作差求出公共弦方程，再由公共弦长求出，即可判断B，设，即可得到，从而求出点的轨迹方程，即可判断B，不妨取，设的坐标为，则直线的方程为，求出到直线的距离最小值，即可求出弦长最大值，即可判断C，设中点为，则，求出的最大值，即可判断D.
【详解】圆的圆心与坐标原点重合，
对于A：依题意，两圆方程相减得到，
由弦长为，所以，解得，故A错误；
对于B：设，由，所以，故B正确；
对于C：不妨取，则圆即，
设的坐标为，则直线的方程为，
则到直线的距离，因为，
所以当时，此时直线截圆所得弦的最大值为，故C正确；
对于D：取中点为，则
，
圆的圆心为，则，
所以，故D错误；
故选：BC
其中圆上点处的切线方程为．
理由如下：
①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，
所以，
又过点，
由点斜式可得，，
化简可得，，
又，
所以切线的方程为；
②若切线的斜率不存在，则，
此时切线方程为．
综上所述，圆上点处的切线方程为．
【点睛】关键点睛：本题关键是求出动点的轨迹方程，对于D中将转化为，从而只需求的最大值.
三、填空题
13．已知，则 ．
【答案】/
【分析】首先求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为，所以，
所以
.
故答案为：
14．的展开式中，的系数为 ．
【答案】1680
【分析】根据二项式定理展开式通项公式，直接计算即可得到结果.
【详解】依题意，，由通项公式，
又的展开式的通项公式，
所以的展开式通项公式为，
则令时，，
所以含的项，
即的系数为1680，
故答案为：1680.
15．已知是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积为 ．
【答案】
【分析】确定椭圆方程，，得到，再根据余弦定理得到，，计算面积得到答案.
【详解】椭圆，直线的斜率为，则，
设，，，则，
，即，解得，，
故.
故答案为：.
16．已知是定义域为的可导函数，是的导函数，若，（为自然对数的底数），则在上的最大值为 ．
【答案】
【分析】依题意可得，则（为常数），再由求出，即可得到解析式，最后利用导数求出函数的最大值.
【详解】因为，，则，
所以，
所以（为常数），
又，所以，解得，
所以，，
则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是由导数的运算法则得到，从而得到（为常数），到达求出解析式的目的.
四、解答题
17．已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，.
(2)
【分析】（1）根据等差、等比数列公式法求出通项；
（2）利用等比数列前项和公式以及裂项相消法求出结果.
【详解】（1）设数列的公差为，
则解得
所以，.
（2），
则
.
18．在锐角中，角所对的边分别为，，．
(1)求角；
(2)若，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，利用正弦定理将边化角，从而得解；
（2）在中由余弦定理求出，即可得到为等边三角形，再在中利用正弦定理计算可得.
【详解】（1）因为，，所以，由正弦定理可得，
又，所以，则，
因为，所以.
（2）在中，由余弦定理，
即，解得或，
当时，又，则，
所以，则，
所以，此时，与为锐角三角形矛盾，
所以，又则，所以为等边三角形，
则，，
在中，由正弦定理，即，
所以.
19．如图，在直三棱柱中，，是的中点．
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见详解.
(2)
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法证明线线垂直，求二面角夹角的余弦值.
【详解】（1）易知，，，所以：可以为原点，建立如图空间直角坐标系.
则，，，，，.
，.
，∴，∴.
（2）设平面的法向量为，则
，
取，那么.
设平面的法向量为，则
，
取，那么.
则：，，，
所以.
即为所求二面角的余弦值.
20．比亚迪, 这个在中国乘用车市场嶡露头角的中国品牌, 如今已经在全球汽车品牌销量前十中占据一席之地．这一成就不仅是比亚迪的里程硨，更是中国新能源汽车行业的里程碑，标志着中国已经在全球范围内成为了新能源汽车领域的强国．比亚迪旗下的宋plus自2020年9月上市以来，在SUV车型中的月销量遥遥领先，现统计了自上市以来截止到2023年8月的宋plus的月销量数据．
(1)通过调查研究发现，其他新能源汽车的崛起、购置税减免政策的颁布等，影响了汽车的月销量，现将残差过大的数据剔除掉，得到2022年8月至2023年8月部分月份月销量（单位：万辆）和月份编号的成对样本数据统计．
请用样本相关系数说明与之间的关系可否用一元线性回归模型拟合？若能，求出关于的经验回归方程；若不能，请说明理由．（运算过程及结果均精确到0.01）（若，则线性相关程度很高，可用一元线性回归模型拟合）
(2)为庆祝2023年“双节”（中秋节和国庆节），某地店特推出抽奖优惠活动，奖项共设一、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励1万元、5千元、2千元，抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为．现有甲、乙两人参加了抽奖活动（每人只有一次抽奖机会），假设他们是否中奖相互独立，求两人所获奖金总额超过1万元的概率．
参考公式：样本相关系数，．
参考数据：，．
【答案】(1)能，
(2)
【分析】（1）利用公式计算出相关系数，从而得解；
（2）分析所求概率甲、乙两人的获奖情况，从而得解.
【详解】（1）依题意，，
因为，所以，
因为，，
所以，
则，
故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，
此时，
则，
所以关于的经验回归方程为.
（2）依题意，甲、乙两人所获奖金总额超过1万元必须两人中至少有一人获得一等奖 ，
所以甲、乙两人所获奖金总额超过1万元的概率为.
21．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，其中两点的横坐标之积为．
(1)求的值；
(2)若在轴上存在一点，满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由求出；
（2）依题意可得，利用余弦定理得到，再分别求出、，即可得到，代入韦达定理计算可得.
【详解】（1）设，，由，化简得，
依题意，所以，，
因为，所以，解得.
（2）由（1）可知，
由，所以，
由余弦定理可得，
又，，其中，，，，
，
所以
，
同理可得，
所以，即，
所以，
所以，因为，
所以，又，，
所以，解得.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22．已知函数（e为自然对数的底数）．
(1)当时，求函数的极值；
(2)证明：，当时，．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极值.
（2）分析可得即证，又，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证.
【详解】（1）当时定义域为，
则，
所以当或时当时，
所以的单调递增区间为，，单调递增区间为，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
即，.
（2）依题意要证，
即证，
因为，只需证明，
又，所以，
令，，
则，
令，则，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
又，，，
所以，使得，
所以当时，即，则在上单调递增，
当时，即，则在上单调递减，
当时，即，则在上单调递增，
又，，所以，即，
所以，则不等式得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.




性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中
25
36
44
11
高中
月份
2022.8
2022.9
2022.12
2023.1
2023.2
2023.3
2023.4
2023.6
2023.7
202.8
月份编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
月销量（单位：万辆）
4.25
4.59
4.99
3.5
63.72
3.01
2.46
2.72
3.02
3.28